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        巧用同角三角關(guān)系式破解數(shù)學(xué)難題

        2021-09-10 17:15:26杜占杰
        天府?dāng)?shù)學(xué) 2021年1期
        關(guān)鍵詞:次方證法關(guān)系式

        杜占杰

        摘 要:同角三角函數(shù)基本關(guān)系式是三角函數(shù)里面的重要內(nèi)容之一,它既是對三角函數(shù)定義的規(guī)律總結(jié)又是誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)基礎(chǔ),學(xué)習(xí)中不僅要理解公式的含義,進行簡單的代換,而且要對公式靈活變換應(yīng)用,這不僅是夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的需求,也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與實踐能力的手段。

        同角三角函數(shù)基本關(guān)系式是三角函數(shù)一章中重要的一節(jié)內(nèi)容,在學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)的定義后,由定義推導(dǎo)出兩個基本的同角關(guān)系式,我們稱之為:同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即:平方關(guān)系sin2a+cos2a=1,商數(shù)關(guān)系。這兩個公式的推導(dǎo)可以結(jié)合三角函數(shù)的定義來進行。推導(dǎo)過程比較容易理解,但要靈活應(yīng)用公式學(xué)生有較多的困難。所以教師的講解說明特別重要,一定要讓學(xué)生理解同角的含義也就是公式中的角度a要一致,a的取值為任意角?!凹埳系脕斫K覺淺,絕知此事要躬行”,任何知識定理的學(xué)習(xí)都不可能一蹴而就,也不可能僅憑教師的幾句講解就能完全理解,由于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,基礎(chǔ)知識,思維能力各不相同,所以學(xué)習(xí)效果也大相庭徑。教師要做的就是盡可能照顧到絕大多數(shù)同學(xué),因材施教,從基本的題型開始訓(xùn)練,步步為營,因而題目的選擇就非常重要了,過于簡單,大部分同學(xué)一看就會,毫無挑戰(zhàn)性,那就起不到提高能力水平的作用,如果題目太難,大部分同學(xué)望而生畏,直接放棄,這樣的教學(xué)也是失敗無疑。根據(jù)筆者對學(xué)生多年教學(xué)的經(jīng)驗,題目選擇要參考所帶班級學(xué)生的實際情況,是學(xué)生跳一跳能夠得著的,符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。

        鑒于所帶學(xué)生基礎(chǔ)較差,數(shù)學(xué)思維能力薄弱,動手實踐能力不夠,公式應(yīng)用以最基本的題目開始,一方面提高學(xué)生學(xué)習(xí)自信,另一方面鍛煉學(xué)生的運算能力,會算要保障能算對。

        同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式應(yīng)用之一:求值.

        已知tanα=-,且α是第二象限角,求α的正弦和余弦值.

        解由題意得

        sin2α+cos2α=1,①

        .②

        由②,得sinα=-cosα,代入①式得

        6cos2α=1,cos2α=.因為α是第二象限角,所以cosα=-,代入③式得sinα=-cosα=-×(-)=.

        題目本身不難,但涉及到二元一次方程組的解法,有部分學(xué)生在解方程時出現(xiàn)困難,所以這里可以及時復(fù)習(xí)方程組的解法,比如加減消元法,代入消元法等,查缺補漏,數(shù)學(xué)知識的積累在于平時的點點滴滴,切不可掉以輕心。

        同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式應(yīng)用之二:化簡:

        Sin4a+sin2acos2a+cos2a

        本題目涉及到的三角函數(shù)有2次方和4次方,對于有高次方的問題,一般來說引導(dǎo)學(xué)生將高次方降次,但要保證不改變原式的值,也可以通過將低次變高次與原來的高次方正負抵消,思路比結(jié)果要重要,所以多給學(xué)生留思考的時間,鼓勵學(xué)生多維度思考,不要輕易否定學(xué)生不成熟的想法。通過筆者引導(dǎo),學(xué)生交流探討,有這樣兩種不同的解題思路:

        方法一:前兩項提公因式sin2a可得sin2a(sin2a+cos2a)+cos2a,由于括號中的部分為平方和公式直接為1,則上式化為sin2a+cos2a=1

        方法二:將第二項中的cos2a用公式替換為1-sin2a可得sin4a+sin2a(1-sin2a)+cos2a=Sin4a+sin2a-sin4a+cos2a=sin2a+cos2a=1

        反思本題,化簡過程的變形可以是降低次數(shù)也可以是升高次數(shù),不論何種運算目的都是要將復(fù)雜的式子簡化,所以不必過于拘泥用何種形式,方法越多越利于學(xué)生思維拓展與培養(yǎng)。

        同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式應(yīng)用之三:證明.

        證法1:

        因為

        所以

        證法2:因為左邊

        右邊

        所以 ?左邊=右邊.即原等式成立.

        證法3:將原式交叉相乘可得:

        Cos2a=(1+sina)(1-sina)即:cos2a=1-sin2a式子成立。即原等式成立。

        上述三種證法從不同的角度給出證法,都能很好的解決問題,這些方法無好壞之分,適合學(xué)生本人的就是好方法,教師適當(dāng)引導(dǎo),指點即可,具體的思路,操作實踐需由學(xué)生自主決定。給出不同的方法是為了讓學(xué)生借鑒吸收,取人之長,拓寬自己的解題思路。

        培養(yǎng)逆向思維,公式中“1”的妙用,學(xué)生習(xí)慣于公式的順推,也就是公式的展開,因為不論公式的推導(dǎo)還是講解都是順著進行的,但數(shù)學(xué)中的逆行思維必不可少,有時候的逆向思維可以起到意想不到的作用。

        例:求證:

        本題的證明看似無從下手,但如果能意識到“1”的特殊性,便會柳暗花明又一村,這里的“1”不僅僅代表生活中的數(shù)量關(guān)系,1個人,1張桌子,它在三角函數(shù)中有特殊的含義:

        1=sin2a+cos2a,如果能將上式中的1轉(zhuǎn)換過來,那么這道題便可迎刃而解了。所以有時候的化簡或證明,在實際操作中不一定是把復(fù)雜的往簡單的方向變,有時候反其道而行之往往起到意想不到的效果。

        綜上,三角函數(shù)的學(xué)習(xí)方法靈活多變,平方關(guān)系,商數(shù)關(guān)系可以經(jīng)過不同的變換而形成新的表達式,例如移項、、平方等,不同的形式應(yīng)用到不同類型題目會化繁為簡,化難為易,至于用哪種形式不能一概而論,要具體問題具體分析。正如教學(xué)有法,教無定法,貴在得法。學(xué)生的自主探索,合作探究固然重要,但學(xué)習(xí)的能力,時間有限,學(xué)生不可能高屋建瓴,整體把握,這就需要教師的引導(dǎo),激發(fā)給學(xué)生提供必要的腳手架幫助學(xué)生完成學(xué)習(xí)過程。

        參考文獻:

        [1]李邦河.數(shù)的概念的發(fā)展[J].數(shù)學(xué)通報,2009,48(8):1-3.

        [2]章建躍,陶維林.注重學(xué)生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報,2009,48(6):19-24,48(7):29-31.

        [3]章建躍.數(shù)學(xué)概念教學(xué)中培養(yǎng)創(chuàng)造能力[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2009(11)

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