范習(xí)昱

摘 要：解三角形內(nèi)容在各省高考中是基礎(chǔ)內(nèi)容，也是必考內(nèi)容，是考生的得分基礎(chǔ).筆者精選部分高考題，加以分類例析，總結(jié)出求解此類問(wèn)題的規(guī)律，希望對(duì)讀者有所啟發(fā).

關(guān)鍵詞：解三角形;高考題;分類例析

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）10-0026-04

在高考中，相比其它知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于解三角形這一內(nèi)容來(lái)說(shuō)，其?？碱}型和考查方式相對(duì)較為固定，難度也不算太大，是考生的基礎(chǔ)得分處，其重要性不言而喻.在我的教學(xué)實(shí)踐中，卻總發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生依然顯得頗為困難，失分嚴(yán)重.在近十年的各地的高考試卷中，特精選了部分經(jīng)典的高考題加以分類例析，從此類問(wèn)題的常規(guī)解題思路出發(fā)，分析和總結(jié)了一些具有規(guī)律性的東西，希望對(duì)讀者有幫助.

一、求解三角形中的角與邊或其它相關(guān)要素

例1 △ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若

c=2，b=6，B=60°，則C=.

解析 由已知B，b，c

求C可聯(lián)想到使用正弦定理：

bsinB=csinCsinC=csinBb，代入可解得：

sinC=12.

由c<b，可得：C<B=60°，所以C=30°.

例2 已知a，b，c

分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且有

acosC+3asinC-b-c=0.

（1）求A;

（2）若a=2，且△ABC的面積為3，求b，c.

解析 （1）acosC+3asinC-b-c=0

sinAcosC+3sinAsinC-sinB-sinC=0

sinAcosC+3sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0

sinAcosC+3sinAsinC-sinAcosC-sinCcosA-sinC=0

即3sinA-cosA=12sin（A-π6）=1

sin（A-π6）=12

∴A-π6=π6或A-π6=5π6（舍），∴A=π3.

（2）S△ABC=12bcsinA=3bc=4，

a2=b2+c2-2bccosA4=b2+c2-bc，

∴b2+c2-bc=4bc=4b2+c2=8bc=4，可解得b=2c=2.

例3 設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，如果（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且a=3，那么△ABC外接圓的半徑為（）.

A.1B.2C.2D.4

解析 因?yàn)椋╝+b+c）（b+c-a）=3bc，所以（b+c）2-a2=3bc，化為b2+c2-a2=bc，所以cosA=b2+c2-a22bc=12，又因?yàn)锳∈（0，π），所以A=π3，由正弦定理可得2R=asinA=332=2，所以R=1，故選A.

反思總結(jié)

求解三角形的某個(gè)角或者邊，是高考中解三角形?？碱}型中最為基礎(chǔ)的一類，難度一般不大，主要考查正余弦定理的直接應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在與邊角的合理互化，出現(xiàn)多解要注意檢驗(yàn)取舍.一些高考題中還會(huì)考查三角形的外接圓的半徑或者面積公式，但學(xué)生只要用對(duì)公式，有一定的轉(zhuǎn)化能力還是可以順利求解的.

練一練A：

1.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=23，c=22，1+tanAtanB=2cb，則∠C=（）.

A.π6 B.π4 C.π4或3π4 D.π3

2.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，

∠ADC=60°，AB=27，BD=4.

（1）求△ABD的面積.

（2）若∠BAC=120°，求AC的長(zhǎng).

練一練A答案：

1.利用正弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系，原式可化為：1+sinAcosBcosAsinB=2sinCsinB，

去分母移項(xiàng)得：sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，所以

sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，所以cosA=12.由同角三角函數(shù)得sinA=32.

由正弦定理：asinA=csinC，解得sinC=22，所以∠C=π4或3π4（舍），故選B.

2.（1）由題意，∠BDA=120°

在△ABD中，由余弦定理可得AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos120°

即28=16+AD2+4ADAD=2或AD=-6（舍），

∴△ABD的面積S=12·DB·DA·sin∠ADB=12×4×2×32=23.

（2）在△ABD中，由正弦定理得

ADsinB=ABsin∠BDA，代入得sinB=2114，由B為銳角，故cosB=5714，

所以sinC=sin（60°-B）=sin60°cosB-cos60°sinB=217，在△ADC中，由正弦定理得ADsinC=ACsin∠CDA，∴2217=

AC32，解得AC=7.

二、判斷三角形的形狀

例4 在

△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，若c=2acosB，則三角形一定是（）.

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

解析 ∵c=2acosB，由正弦定理c=2RsinC，a=2RsinA，∴sinC=2sinAcosB

∵A，B，C為△ABC的內(nèi)角，∴sinC=sin（A+B），A，B∈（0，π），

∴sin（A+B）=2sinAcosB，sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，整理得sin（A-B）=0，

∴A-B=0，即A=B.故△ABC一定是等腰三角形.故選C.

例5 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b2+c2=a2+bc，若sinB·sinC=sin2A，則△ABC的形狀是（）.

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等邊三角形D.腰直角三角形

解析 因?yàn)閟inB·sinC=sin2A，所以b2R·c2R=（a2R）2，也就是a2=bc，所以b2+c2=2bc，從而b=c，故a=b=c，△ABC為等邊三角形.故選C.

反思總結(jié)

判斷三角形的形狀是高考中解三角形中常見的題型，頻率很高，由于都是涉及三角形的核心知識(shí)并且起點(diǎn)低深受命題者的青睞.解題的關(guān)鍵是將題目的條件一般是含有邊和三角函數(shù)方程統(tǒng)一為邊或者角的形式，再進(jìn)行化簡(jiǎn)就可以判斷出來(lái).值得注意的是，這類題往往會(huì)結(jié)合三角恒等變換，比如兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等等，這對(duì)考生的三角恒等變換能力提出了很高的要求.

練一練B：

1.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c且滿足acosB-bcosA=c，則△ABC是（）.

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

2.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若acosA=bcosB=ccosC，則△ABC是（）.

A.直角三角形B.鈍角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

練一練B答案：

1.解析 利用正弦定理asinA=bsinB=csinC化簡(jiǎn)已知的等式得：

sinAcosB-sinBcosA=sinC，即sin（A-B）=sinC，

∵A，B，C為三角形的內(nèi)角，∴A-B=C，即A=B+C=π2，

則△ABC為直角三角形，故選B.

2.解析 ∵acosA=bcosB=ccosC，由正弦定理得：a=2R·sinA，b=2R·sinB，c=2R·sinC代入得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，∴進(jìn)而可得

tanA=tanB=tanC，∴A=B=C，則△ABC是等邊三角形.故選D.

三、求解三角形中相關(guān)要素的最值或范圍

例6 在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，c=22，b2-a2=16，

則角C的最大值為.

解析 在△ABC中，由角C的余弦定理可知：

cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-b2-a222ab=3a2+b24ab≥32，

又因?yàn)?<C<π，所以Cmax=π6.

當(dāng)且僅當(dāng)a=22，b=26時(shí)等號(hào)成立.

例7 已知△ABC的三邊a，b，c成等比數(shù)列，a，b，c所對(duì)的角分別為A，B，C，則sinB+cosB的取值范圍是.

解析 ∵△ABC的三邊a，b，c成等比數(shù)列，

∴ac=b2=a2+c2-2accosB≥2ac-2accosB，得cosB≥12

，

又∵0<B<π，∴B∈（0，π3]，B+π4∈（π4，7π12]，

可得sinB+cosB=2sin（B+π4）∈（1，2]，故答案為（1，2].

例8 在△ABC中三個(gè)內(nèi)角∠A，∠B，∠C，所對(duì)的邊分別是a，b，c，若

（b+2sinC）cosA=-2sinAcosC，且a=23，則△ABC面積的最大值是.

解析 ∵（b+2sinC）cosA=-2sinAcosC，

∴bcosA=-2（sinCcosA+sinAcosC）=-2sin（A+C）=-2sinB，則bsinB=-2cosA，結(jié)合正弦定理得-2cosA=asinA=23sinA，即tanA=-3，∠A=23π.

由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=-12，化簡(jiǎn)得b2+c2=12-bc≥2bc，故bc≤4，S△ABC=12bcsinA≤12×4×32=3，故答案為3.

練一練C：

1.在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，b=3，則△ABC面積的取值范圍是.

練一練C答案：

解析 ∵△ABC中A，B，C成等差數(shù)列，∴B=π3.

由正弦定理得asinA=csinC=bsinB=3sinπ3=2，∴a=2sinA，c=2sinC，

∴S△ABC=12acsinB=34ac=3sinAsinC=3sinAsin（2π3-A）=3sinA（32cosA+12sinA）=

32sinAcosA+32sin2A=34sin2A+32·

1-cos2A2=

34sin2A-34cos2A+34=32sin（2A-π6）+34，

∵△ABC為銳角三角形，∴

0<A<π2，0<2π3-A<π2，解得

π6<A<π2，

∴π6<2A-π6<5π6，∴12<sin（2A-π6）≤1，

∴32<32sin（2A-π6）+

34≤334，故△ABC面積的取值范圍是（

32，334].

反思總結(jié)

求解三角形中邊、角或者面積等三角形相關(guān)要素的最值或范圍是高考解三角形題型的常考題型，也是讓學(xué)生感到較為困難的題型.解三角形題型的最值問(wèn)題最為本質(zhì)的方法是構(gòu)建某個(gè)角的三角函數(shù)，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求其最值或者范圍.有時(shí)也轉(zhuǎn)化為邊，這時(shí)可以利用基本不等式進(jìn)行放縮求最值，但對(duì)于求范圍來(lái)說(shuō)并不理想，這也是轉(zhuǎn)化為邊之后處理方式的最大弊端，在學(xué)生作業(yè)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)求解范圍不全的情況.彌補(bǔ)的方法是尋找邊之間的其它不等關(guān)系，比如三角形中任意兩邊之和大于第三邊等等一些邊之間的關(guān)系，再次利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮求最值.

四、基于解三角形的簡(jiǎn)單綜合問(wèn)題

例9 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知m=a，c-2b，n=cosC，cosA，且m⊥n.

（1）求角A的大小;

（2）若b+c=5，△ABC的面積為3，求a.

解析 （1）由m⊥n，可得m·n=0，即2bcosA=acosC+ccosA，

即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosA=sinA+C，

∵sinA+C=sinπ-B=sinB，∴2sinBcosA=sinB，即sinB2cosA-1=0，

∵0<B<π，∴sinB≠0，∴cosA=12，

∵0<A<π，∴A=π3.

（2）由S△ABC=3，可得S△ABC=12bcsinA=3，∴bc=4，又b+c=5，

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b+c2-3bc=13，∴a=13.

例10 設(shè)f（x）=sinxcosx-cos2（x+π4）.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）在銳角△ABC中，角A，B，C，的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（A2）=0，a=1，求△ABC面積的最大值.

解析 （1）由題意f（x）=12sin2x-1+cos（2x+π2）2=12sin2x-12+12sin2x=sin2x-12.

由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ（k∈Z），可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ（k∈Z）;

由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ（k∈Z），得π4+kπ≤x≤3π4+kπ（k∈Z）;

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-π4+kπ，π4+kπ]（k∈Z）;單調(diào)遞減區(qū)間是[π4+kπ，3π4+kπ]（k∈Z）.

（2）∵f（A2）=sinA-12=0，∴sinA=12，

由題意A是銳角，所以 cosA=32.

由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，

可得1+3bc=b2+c2≥2bc

∴bc≤12-3=2+3，且當(dāng)b=c時(shí)成立.

∴12bcsinA≤2+34.∴△ABC面積最大值為2+34.

反思總結(jié)

三角函數(shù)綜合題有時(shí)以向量為背景進(jìn)行命制，比如結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直與平行的充要條件、向量的數(shù)量積等等，其本質(zhì)依然是考察三角恒等變換或者三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).對(duì)于這類問(wèn)題，我們的基本策略是將向量條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為三角條件，即關(guān)于三角形中邊角的三角方程或者表達(dá)式，然后依照案例的方法就可以解決.

練一練D：

1.在△ABC中，AB=7，BC=5，AC=6，則AB·BC等于（）.

A.19B.-19C.18D.-18

2.已知△ABC的面積為S，且AB·AC=S.

（1）求tan2A的值;

（2）若B=π4，CB-CA=3，求△ABC的面積S.

練一練D答案：

1.解析 ∵AB=7，BC=5，AC=6，

∴cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=72+52-622×7×5=1935，

AB·BC=AB·BC·cos（π-B）=7×5×（-1935）=-19.

故選B.

2.（1）設(shè)△ABC的角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c.

∵AB·AC=S，∴bccosA=12bcsinA，

∴cosA=12sinA，∴tanA=2.

∴tan2A=2tanA1-tan2A=-43.

（2）CB-CA=3，即AB=c=3，

∵tanA=2，0<A<π2，

∴sinA=255，cosA=55.

∴sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB

=255·22+55·22=31010.

由正弦定理知：

csinC=bsinBb=csinC·sinB=5，

S=12bcsinA=125·3·255=3.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳國(guó)林.三角函數(shù)問(wèn)題靈活多變，多維探究發(fā)散思維[J].廣東教育（高中版），2020（11）：22-24.

[責(zé)任編輯：李 璟]