黃治元

摘 要：處理含參數(shù)的最值問題、恒成立問題，在無法分離參數(shù)時(shí)通常需要分類討論，但往往討論及其繁瑣.本文通過實(shí)例闡述如何做到快捷高效的分類討論，以便學(xué)生以后遇到此類問題時(shí)可以省時(shí)省力.

關(guān)鍵詞：參數(shù);恒成立;特值檢驗(yàn);極限

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0067-03

含參數(shù)的最值問題、恒成立問題是高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)問題，解題方法一般是通過對參數(shù)進(jìn)行分類討論，但分類情況比較多時(shí)就會顯得繁瑣復(fù)雜.若先縮小參數(shù)范圍再加以討論，則往往會優(yōu)化解題過程.一、利用特值檢驗(yàn)，縮小參數(shù)范圍

對于某個(gè)一般性的數(shù)學(xué)問題，如果一時(shí)難以解決，那么可以先解決它的特殊情況，即從研究對象的全體轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繉儆谶@個(gè)全體中的一個(gè)對象或部分對象.

例1 已知函數(shù)fx=x2-x+3，x≤1x+2x，x>1，設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式fx≥x2+a在R上恒成立，則a的取值范圍是（）.

A. -4716，2 B. -4716，3916

C.-23，2D. -23，3916

解析 這是2017年天津市高考理科試題選擇題第8題，標(biāo)準(zhǔn)解答如下：

不等式fx≥x2+a為 -fx≤x2+a≤fx*，

當(dāng)x≤1時(shí)，*式即為-x2+x-3≤x2+a≤x2-x+3，-x2+x2-3≤a≤x2-32x+3，

又-x2+x2-3=-x-142-4716≤-4716當(dāng)x=14時(shí)取等號，

x2-32x+3=x-342+3916≥3916當(dāng)x=34時(shí)取等號，

所以，-4716≤a≤3916.當(dāng)x>1時(shí)，*式為

-x-2x≤x2+a≤x+2x，-32x-2x≤a≤x2+2x.

又 -32x-2x=-32x+2x≤-23當(dāng)x=233時(shí)取等號，

x2+2x≥2x2·2x=2當(dāng)x=2時(shí)取等號，

所以-23≤a≤2.

綜上，-4716≤a≤2.

故選A.

評注 此法思路過程雖嚴(yán)謹(jǐn)清晰，但有點(diǎn)“小題大做”，不符合選擇題的解題特點(diǎn).快速找出正確答案才是上策，解法如下：

不等式fx≥x2+a在R上恒成立，特別地，當(dāng)x=0，2時(shí)

f0=3≥af2=3≥1+a-3≤a≤3-4≤a≤2-3≤a≤2 ，由排除法，選A.

例2 已知a>0，函數(shù)fx=x2+x-a-3在區(qū)間-1，1上的最大值是2，則a=.

解析 函數(shù)fx帶有雙重絕對值，絕對值函數(shù)問題一般是先去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，但本題去掉內(nèi)層絕對值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)后不易確定相應(yīng)的自變量x的范圍，這給后續(xù)分類討論帶來不便.若先縮小參數(shù)a的范圍，問題得到解決.

解法如下：f0=a-3=a-3≤2a>01≤a≤5，

∴當(dāng)x∈-1，1時(shí)，fx=x2-x+a-3.

∴f-1=a-1≤2-1≤a≤3，從而1≤a≤3.

∴fx=x2-x+a-3，x∈-1，1，1≤a≤3

設(shè)t=x2-x-3，x∈-1，1，則t∈-134，-1，

且gt=t+a在-134，-1上的最大值為2.

∴g-134=a-134=2g-1=a-1≤2①

或g-1=a-1=2g-134=a-134≤2②

即134-a=2a-1≤2或a-1=2134-a≤2a=54或3.

評注 在得知1≤a≤3的情況下，求解①，②也更快捷.

例3 設(shè)函數(shù)fx=3ax-x+a2，其中a∈R.

若對任意x∈a，a+1，恒有fx≥-1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 先縮小參數(shù)a的取值范圍找其使命題成立的必要條件，有時(shí)該必要條件也恰好是使命題成立的充分條件，接下來證明其充分性即可.

因?yàn)閷θ我鈞∈a，a+1，恒有fx≥-1，所以fa≥-1fa+1≥-1，即3a2-4a2≥-13aa+1-2a+12≥-1 ，解得 -1≤a≤0.

下面證明，當(dāng)a∈-1，0時(shí)，對任意x∈a，a+1，恒有fx≥-1.

（1）當(dāng)a≤x≤0時(shí)，fx=-x2+ax-a2，fa=f0=-a2≥-1，故fx≥minfa，f0≥-1成立;

（2）當(dāng)0≤x≤a+1時(shí)，fx=-x2-5ax-a2，fa+1≥-1，f0≥-1，

故fx≥minfa+1，f0≥-1成立;

由此，對任意x∈a，a+1，恒有fx≥-1.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1，0.

例4 已知函數(shù)fx=x2-ax，ffx≤2在1，2上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為.

解析 利用從一般到特殊的解題思想，特值檢驗(yàn)縮小參數(shù)a的范圍，猜測實(shí)數(shù)a的最大值，先猜后證.

由ffx=fx2-ax=x2-axx2-ax-a知ffx≤2，即x2-axx2-ax-a≤2對x∈1，2上恒成立，特別地，

當(dāng)x=1，2時(shí)， 有

1-a1-2a≤24-2a4-3a≤2

-2≤a-12a-1≤2①-1≤a-23a-4≤1②

由①得，2a2-3a+3≥02a2-3a-1≤0

3-174≤a≤3+174③;

由②得，3a2-10a+9≥03a2-10a+7≤0

1≤a≤73④

由③④得，1≤a≤3+174

另一方面，當(dāng)a=3+174時(shí)

由于fx=x2-ax圖象對稱軸x=a2<1，所以fx=x2-ax在1，2上遞增，

∴當(dāng)x∈1，2時(shí)，f1≤fx≤f2，

又f2=4-2a=4-3+172=5-172<12≤a2

所以fx=x2-ax在f1，f2上遞減，

由f1≤fx≤f2

得ff2≤ffx≤ff1

又-2≤ff1≤2-2≤ff2≤2，

所以-2≤ffx≤2，

即ffx≤2.

綜上，amax=3+174.

二、利用極限思想，縮小參數(shù)范圍

極限思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，靈活地借助極限思想解題，往往可以避免復(fù)雜的討論，優(yōu)化解題過程.

例5 設(shè)a∈R，若x>0時(shí)，均有[a-1x-1]x2-ax-1≥0，則a=.

解析 此題是2012年浙江理科卷最后一個(gè)填空題.經(jīng)初步分析知，需要對不等式中的兩個(gè)因式的正負(fù)進(jìn)行討論，也需對因式a-1x-1中一次項(xiàng)系數(shù)a-1的正負(fù)進(jìn)行討論.討論情況有些復(fù)雜，先考慮縮小參數(shù)a的取值范圍.

注意到，當(dāng)x→+∞時(shí)，x2-ax-1→+∞，

∴a-1>0a>1

a-1x-1x2-ax-1≥0對x>0恒成立，

x-1a-1x2-ax-1≥0對x>0恒成立，

x=1a-1是方程x2-ax-1=0的根，

a=32.

例6 若不等式ax+3x2-b≤0對任意的x∈0，+∞恒成立，則（）.

A. ab2=9B. a2b=9，a<0

C. b=9a2，a<0D. b2=9a

解析 含有兩個(gè)參數(shù)的不等式恒成立問題，分類討論情形復(fù)雜，優(yōu)先考慮縮小參數(shù)范圍.

注意到，當(dāng)x→0+時(shí)，ax+3>0，從而x2-b≤0b>0.

當(dāng)x→+∞時(shí)，x2-b>0，從而ax+3≤0，a<0.

∴ax+3x2-b≤0對任意的x∈0，+∞恒成立，

ax+3ax+bx-b≤0對任意的x∈0，+∞恒成立，

x+3ax-b≥0對任意的x∈0，+∞恒成立-3a=ba2b=9，a<0.

故選B.

含參數(shù)的最值問題、恒成立問題，優(yōu)先考慮縮小參數(shù)的范圍以達(dá)到簡化分類討論或是避免分類討論的目的.至于選擇怎樣的特殊值來檢驗(yàn)縮小參數(shù)范圍，這需要一個(gè)嘗試的過程，一般會選擇區(qū)間的端點(diǎn)值（或取其極限），或是選擇給定區(qū)間內(nèi)的某個(gè)便于計(jì)算的值，這因題而異.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳國林.應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)，破解數(shù)學(xué)問題[J].數(shù)理天地（高中版），2018（07）：11-12.

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