黃玉平

一、問題提出

檢驗(yàn)教學(xué)質(zhì)量，最常用也最有效的手段，是進(jìn)行測試。在當(dāng)今大數(shù)據(jù)廣泛應(yīng)用的時(shí)代，每次測試結(jié)束后，各種閱卷系統(tǒng)都能導(dǎo)出每個(gè)學(xué)生每道題的得分，如果能對(duì)這些得分情況進(jìn)行深入分析，能夠發(fā)現(xiàn)和提示教學(xué)中可能存在優(yōu)勢與不足，優(yōu)勢可以促進(jìn)管理者發(fā)現(xiàn)優(yōu)秀的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不足則提醒管理者尋找教學(xué)改進(jìn)的措施，從而不斷提高教學(xué)水平。

當(dāng)考完一套試題，許多教師會(huì)進(jìn)行試卷整體及各小題的得分率進(jìn)行分析，研究各個(gè)群體解得較理想的題，解得不理想的題，評(píng)判的標(biāo)準(zhǔn)就是一個(gè)問題。

本文將全市同一個(gè)年級(jí)的學(xué)生做為全體，將其中每個(gè)學(xué)校的學(xué)生或每個(gè)班級(jí)的學(xué)生做為群體。

一些分析軟件，將全體得分率超0.7以上的設(shè)為容易題，評(píng)價(jià)為解答較好的題;得分率在0.3與0.7之間的為中檔題，評(píng)價(jià)為解答一般的題;低于0.3的為難題，評(píng)價(jià)為解答較差的題。這種絕對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的方式，適合對(duì)整套試題進(jìn)行難度分布的評(píng)價(jià)，不適合對(duì)具體某個(gè)群體的解答情況進(jìn)行評(píng)價(jià)。例如，某次考試，某群體在第1小題得分率為0.8，如果按絕對(duì)標(biāo)準(zhǔn)，屬解答較好的題，如果其它基礎(chǔ)更弱的群體很多都考了0.8以上，那么這個(gè)群體在第1小題的解答情況就不太理想了，反之，這個(gè)群體在第10小題得分率為0.2，按絕對(duì)標(biāo)準(zhǔn)，屬解答很差的題，如果這是各群體中解答情況最好的，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過其它群體的得分率，那么第10小題反而是這個(gè)群體解答很好的題。

在一些學(xué)校，特別是初中和小學(xué)，會(huì)將同一個(gè)年級(jí)的每個(gè)班的每個(gè)小題的得分進(jìn)行排序，這種方法在各班為平行班，基礎(chǔ)相近時(shí)，可以起到一定評(píng)判的作用，例如全年級(jí)有24個(gè)班，A班全卷平均分排名全年級(jí)第4，第8小題平均得分排名全年級(jí)第23，可以提示A班第8小題解答相對(duì)較弱。這種用排名次對(duì)基礎(chǔ)不同的群體答題情況進(jìn)行評(píng)價(jià)的辦法，比較粗糙，例如：某班基礎(chǔ)最強(qiáng)，全卷平均分和各小題得分均排名第1，無法評(píng)判這個(gè)班哪個(gè)小題解答較理想，哪個(gè)解答不理想。

試題研究中，難度系數(shù)是被廣泛應(yīng)用的一個(gè)概念，一道題的難度系數(shù)的簡單定義是：考試的全體人員在這道題上的平均分得分率，即全體人員在這題的得分之和與這道題滿分值與人數(shù)之積的比。

一個(gè)較容易的題，基礎(chǔ)較好的群體會(huì)解得很好，基礎(chǔ)較弱的群體則會(huì)水平低一些;一個(gè)較難的題，各群體的得分率都大幅下降，群體之間的差異很大，如果沒有與群體水平對(duì)應(yīng)的評(píng)判斷標(biāo)準(zhǔn)，很難判斷各群體的答對(duì)情況是否正常，難以從中獲得反思，從而不能充分發(fā)揮考試的價(jià)值。

筆者發(fā)現(xiàn)，某個(gè)群體對(duì)某個(gè)試題的實(shí)際得分率，主要受到兩個(gè)因素的影響：試題本身的因素，群體的水平高低。同樣的試題，水平高的群體，得分率相對(duì)較高。經(jīng)過對(duì)考試后統(tǒng)計(jì)出的各群體實(shí)際得分率表的長期觀察和思考，本文對(duì)試題難度的表示提出了一種新的模型：難度指數(shù)模型。

本文提出試題難度的指數(shù)模型，并給出一種評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：用同樣的試題相對(duì)某個(gè)群體的難度指數(shù)與它相對(duì)全體人群的難度指數(shù)的差距，作為這個(gè)群體解答這個(gè)試題的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

二、解決方案

（一）將試題得分化為試題得分率

用得分率比直接用得分更科學(xué)：得分率排除了試題滿分值對(duì)結(jié)果的干擾。例如A題滿分值為12分，實(shí)際得分6分，B題滿分值為10分，實(shí)際得分也是6分，表面上兩題得分相同，實(shí)際A題得分率為0.5，B題得分率為0.6。

群體A對(duì)試題N的得分率（或通過率）：設(shè)群體 A 的人數(shù)為 ，群體A解答試題N的得分?jǐn)?shù)之和為M，試題N的滿分值為F，則群體A對(duì)試題N的得分率。

（二）將較難試題分解為若干環(huán)節(jié)

將試題看做由幾個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，環(huán)節(jié)可以理解為更小的試題。對(duì)同一個(gè)群體，不同試題的得分率由各題所包括的每個(gè)環(huán)節(jié)的得分率決定。較難的試題，一方面是環(huán)節(jié)越多，另一方面是這些環(huán)節(jié)中得分率低的也越多。上圖是試題N由三個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成的示意圖，三個(gè)環(huán)節(jié)呈串聯(lián)狀態(tài)，只有連續(xù)正確解答三個(gè)環(huán)節(jié)，才能完成試題N的解答。

（三）定義“標(biāo)準(zhǔn)微環(huán)節(jié)”和“最簡單題”：若全體對(duì)某一批試題的得分率的平均值為0.85，由稱這批試題為全體的“最簡單題”，規(guī)定全體的“最簡單題得分率為0.85，同時(shí)，稱全體得分率為0.85的環(huán)節(jié)為全體的“標(biāo)準(zhǔn)微環(huán)節(jié)”。計(jì)算每個(gè)群體在這批試題上的各題得分率平均值，得到每個(gè)群體的“最簡單題得分率”，稱同樣得分率的環(huán)節(jié)為該群體的“標(biāo)準(zhǔn)微環(huán)節(jié)”。筆者在實(shí)踐中觀察了近十年，在某個(gè)城市，由于各群體生源格局相對(duì)固定，每個(gè)群體這樣的“最簡單題得分率”相當(dāng)穩(wěn)定，例如，最好的群體各科都在0.95左右，居第二的群體則在0.92左右，最弱的群體則在0.6左右。

如果將一個(gè)試題分解為一些環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，并且將每個(gè)環(huán)節(jié)都看作由一定數(shù)量的“標(biāo)準(zhǔn)微環(huán)節(jié)”串聯(lián)構(gòu)成，則可以認(rèn)為：每道試題由一定數(shù)量的標(biāo)準(zhǔn)微環(huán)節(jié)構(gòu)成，試題得分率與標(biāo)準(zhǔn)微環(huán)節(jié)的數(shù)量呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系，即：標(biāo)準(zhǔn)微環(huán)節(jié)數(shù)量越多的題，得分率越低;對(duì)于某個(gè)群體來說，將一個(gè)試題分解為該群體的“標(biāo)準(zhǔn)微環(huán)節(jié)”，其數(shù)量與得分率呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系，其底數(shù)為該群體“標(biāo)準(zhǔn)微環(huán)節(jié)”的得分率。

環(huán)節(jié)四：運(yùn)用不等式，求最值：

得分率預(yù)測：本題中，環(huán)節(jié)一相對(duì)簡單，由于有兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，假設(shè)相當(dāng)于 2 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)微環(huán)節(jié)，環(huán)節(jié)二則比較復(fù)雜，假設(shè)相當(dāng)于 4 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)微環(huán)節(jié)，環(huán)節(jié)三有較復(fù)雜的計(jì)算，因此假設(shè)相當(dāng)于 5 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)微環(huán)節(jié)，環(huán)節(jié)四用到不等式，假設(shè)相當(dāng)于 4 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)微環(huán)節(jié)，這樣全部加起來，相當(dāng)于 15 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)微環(huán)節(jié)。

假設(shè)群體A和群體 B 的“最簡單題得分率”分別為0.9，0.8，則群體A和群體B對(duì)此題估計(jì)得分率分別為：fT （ A） = 0.915 = 0.2， fT （B） = 0.815 = 0.03 。

真實(shí)的結(jié)果是，這道試題的得分率確實(shí)相當(dāng)?shù)停词故侨凶顝?qiáng)的學(xué)校，也僅有不到三分之一的學(xué)生能夠正確解答。

（四）難度指數(shù)定義：某個(gè)試題對(duì)全體的“標(biāo)準(zhǔn)微環(huán)節(jié)”數(shù)量，就是這個(gè)試題相對(duì)全體的難度指數(shù)。對(duì)于某個(gè)群體，某個(gè)試題的相對(duì)本群體的“標(biāo)準(zhǔn)微環(huán)節(jié)”數(shù)量，即這個(gè)試題相對(duì)本群體的難度指數(shù)。

難度指數(shù)計(jì)算方法：在一份試卷各題中，將全市得分率最高的一批試題按得分率由高到低排列，其中得分率在0.7至0.95之間的試題一般須占全卷小題數(shù)量的30%，即8個(gè)以上，若這批試題的全市得分率的平均值在0.85左右，則將它們表示為“全市最簡單題”。全市各群體在這批試題上的得分率，是它們的“最簡單題得分率”。實(shí)踐中，基礎(chǔ)最好的群體（學(xué)校）“最簡單題得分率”在 95%左右，基礎(chǔ)最弱的群體則在60%至80%之間。

如果整卷試卷過難，則將所有題按全體得分率由高到低排列，取前三分之一（至少八個(gè)試題）的得分率的平均值，通過折算的辦法，得到理想的全體最簡單題得分率：

與此同時(shí)，將某群體對(duì)這批試題的得分率的平均值，同樣折算為理想的此群體最簡單題得分率，且。

（五）難度指數(shù)的計(jì)算方法：若某題N的全體得分率為，則此題全體的難度指數(shù)為（當(dāng)時(shí)，改用計(jì)算）。若某題N的群體A得分率為，且群體A“最簡單題得分率”為，則此題對(duì)群體A的難度指數(shù)為（當(dāng)時(shí)，改用）。

三、運(yùn)用舉例

例1.用“最簡單題得分率”衡量各群體基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)質(zhì)量水平以及進(jìn)步情況。教學(xué)質(zhì)量越高的群體，最簡單題得分率越高。同一批對(duì)象，每一個(gè)群體的相鄰兩次考試的“最簡單題得分率”比較，可以分析出每個(gè)群體的基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)質(zhì)量是否提高。

例2.判斷某一次考試中，各群體在不同試題的優(yōu)劣情況。某一次考試，對(duì)于試卷中每一個(gè)試題，用試題對(duì)全體的難度指數(shù)與試題對(duì)某群體的難度指數(shù)之差，判斷某群體在哪些試題上解答優(yōu)于全體（差值為正數(shù)），哪些弱于全體（差值為負(fù)數(shù)），特別是差的絕對(duì)值較大的那些試題，應(yīng)特別注意。可以將試卷按知識(shí)板塊或考查的學(xué)科核心素養(yǎng)等類別將若干題合并為新的題，按以上方法計(jì)算，可以每個(gè)群體判斷這些板塊或相應(yīng)的學(xué)科核心素養(yǎng)解答是優(yōu)，還是弱，從而判斷是否加強(qiáng)這些方面的教學(xué)。

例3.命題時(shí)，除了預(yù)測每個(gè)試題的全體得分率外和整個(gè)試卷的全體平均分外，還可以預(yù)測每個(gè)試題的全體難度指數(shù)，并根據(jù)每個(gè)群體的最簡單題得分率，預(yù)測每個(gè)群體每個(gè)試題的得分率，從而預(yù)測整個(gè)試卷每個(gè)群體的平均分，與目標(biāo)平均分對(duì)比，及時(shí)加以調(diào)整，更好地控制試卷的難度。

例4.預(yù)測各群體或個(gè)人的提升空間，提供明確的發(fā)展目標(biāo)。

在某份試卷中，當(dāng)群體的簡單題得分率由 0.8提升到 0.9時(shí)，則此群體預(yù)測總分由59分提升到 90分，提高了31分;如果這個(gè)群體的簡單題得分率由0.9提高到0.95，則此群體預(yù)測總分可提升到114分，提高了24分。再如某個(gè)學(xué)生，如果最簡單題得分率為0.98，則這個(gè)學(xué)生的預(yù)測總分為134分。

四、思考

1.用試題“難度指數(shù)”替代“難度系數(shù)”來分析試題，能獲得對(duì)試題更準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)。試題的復(fù)雜程度和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)決定它的客觀難度指數(shù)。不同的群體由于各自基礎(chǔ)掌握程度不同及知識(shí)面的寬窄不同，解答同一題的得分率差距非常大，因此不能用直接用各群體實(shí)際解答得分率高低來簡單評(píng)判它們解答某個(gè)試題的水平是否符合預(yù)期。本文用全體的難度指數(shù)做為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定，參考意義較大。

2.本文提出的總體“簡單題得分率”與各群體“簡單題得分率”，能夠揭示學(xué)生學(xué)習(xí)成效產(chǎn)生的根源?？偡指叩?，其“簡單題得分率”也明顯地高，兩者呈高度相關(guān)的關(guān)系，大多數(shù)情況兩者的相關(guān)系數(shù)都在0.9 以上?！昂唵晤}得分率”的變高還是變低，直接反映了基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)的質(zhì)量變高還是變低，為評(píng)價(jià)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)提供了可行的數(shù)據(jù)依據(jù)。

3.認(rèn)識(shí)到試題難度是個(gè)客觀的量，能得出結(jié)論：要提升群體的總分，必須提升群體解答各個(gè)簡單問題的得分率，并且在思想方法上不能有遺漏，必須在平時(shí)大力培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。因此課堂教學(xué)必須切實(shí)突出教學(xué)重點(diǎn)，解決學(xué)生理解知識(shí)產(chǎn)生與發(fā)展過程中存在的問題，大力提升知識(shí)的理解程度和運(yùn)用的能力，使學(xué)生的素養(yǎng)得到真正的改善。

4.用難度指數(shù)進(jìn)行各題與總分預(yù)測，也存在一定的偏差：簡單題得分率比較高的群體，在較難的題上得分預(yù)測往往偏高;簡單題得分率比較低的群體，在較難的題上得分預(yù)測往往偏低平。在實(shí)踐中往往要結(jié)合各群體最初的成績與本次考試的簡單題得分率進(jìn)行回歸分析，用回歸以后的簡單得分率期望值進(jìn)行各題與總分預(yù)測。

參考文獻(xiàn)：

[1]鮑建生.中英兩國初中數(shù)學(xué)期望課程綜合難度的比較【J】.全球教育展望，2002 （9）：48-52.