向勇 冉瓊英

摘 ?要：“將軍飲馬”問題是初中數(shù)學(xué)的重要模型，利用該模型解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題是考查學(xué)生能力的常用題型。最小值或最短路徑問題更是廣泛運(yùn)用于解決代數(shù)及幾何問題。

關(guān)鍵詞：將軍飲馬 ? 最小值

唐代詩人李頎在《古從軍行》中寫道：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河?！?翻譯過來：白天登山觀察報警的烽火臺，黃昏時牽馬飲水靠近交河邊。這兩句詩中就蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)問題，即“將軍飲馬”問題。

【將軍飲馬】問題：將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的城堡B地開會，怎樣走才能使路程最短（圖一）？

解決這個問題的數(shù)學(xué)依據(jù)：軸對稱的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間距離最短（圖二）。該數(shù)學(xué)模型中包含的最短距離問題，在初中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，我結(jié)合日常教學(xué)歸納如下：

一、在幾何圖形中的應(yīng)用：

例1、（如圖1）等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC于D，E是AC上一點(diǎn)，且AE=2，M是AD上一點(diǎn)，求EM+MC的最小值。

簡析（如圖2）：由已知，B、C關(guān)于AD對稱，連接B、E與AD的交點(diǎn)即為M的位置。線段BE的值就是EM+MC的最小值。

變式：如圖3，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，點(diǎn)M、N分別是AC、AB上的點(diǎn)，求BM+MN的最小值。

提示：（如圖4），作點(diǎn)N關(guān)于AC的對稱點(diǎn)N’，當(dāng)∠AN’B=90o時，BN’的值就是BM+MN的最小值。

例2：如圖5，在矩形ABCD中，AB=10，AD=20，點(diǎn)E、P分別是邊BC和對角線BD上任一點(diǎn)，求PC+PE的最小值。

解析：作點(diǎn)C關(guān)于BD的對稱點(diǎn)C（圖6），則CC’⊥BD，易求出BD= ，BG= ，在ΔBCC’中，當(dāng)CE⊥BC時C’E的值（16）即是PC+PE的最小值。

例3、如圖7，已知圓O的直徑CD=4，∠AOD=60°，點(diǎn)B是AD的中點(diǎn)，直徑CD上任一點(diǎn)P，求PA+PB的最小值。

簡析：作點(diǎn)A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)A’（如圖8），由已知可得：∠BOA'=90°，在等腰RtΔA'OB求出BA'的值即為PA+PB的最小值。

二、在函數(shù)知識中的應(yīng)用：

例4、如圖9，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A（2，0），B（0，4），設(shè)原點(diǎn)為O，線段OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動點(diǎn)，求當(dāng)P的坐標(biāo)為多少時，PC+PD的值最小，并求這個最小值。（最小值為 ）

例5、如圖10，已知點(diǎn)A（-2，0），將OA繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)120o得OB。是否存在過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的對稱軸上一點(diǎn)C，使△BOC的周長最小，若存在，求C點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請說明理由。

解析：要使△BOC的周長最小，只需CB+CO的值最小即可。根據(jù)已知可求出經(jīng)過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的對稱軸為直線x=-1，故所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為直線AB與直線x=-1的交點(diǎn)坐標(biāo)。直線AB的解析式為 ，所以點(diǎn)C的為 。

三、在求代數(shù)式值中的應(yīng)用：

例6、求代數(shù)式 的最小值。

解析：設(shè) ，將a、b表示在數(shù)軸上如圖11所示，a+b的最小值即可轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題求出（最小值為 13）。

四、中考中的最小值問題：

例7、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，點(diǎn)D、E分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，求CD+DE的最小值。

簡析：作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C'，過點(diǎn)C'作BC的垂線C'E'交AB于D'，則C'E'=CD+DE為最小值。通過△CC'E'～△ABC即求出C'E'。