呂 騫，丁徐鍇，陳 鶴，賈 佳，李宏生

(1.東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210096；2.東南大學(xué) 微慣性儀表與先進導(dǎo)航技術(shù)教育部重點實驗室，江蘇 南京 210096)

0 引 言

微半球諧振陀螺儀是一種基于科里奧利效應(yīng)工作的高精度新型固體振動陀螺[1,2]，一種沒有高速轉(zhuǎn)子和活動支承，由半球殼的徑向振動駐波的進動效應(yīng)來感應(yīng)基座旋轉(zhuǎn)的陀螺儀。其具有體積小、重量輕、功耗低、結(jié)構(gòu)簡單、可靠性高、工作壽命長等獨特優(yōu)點[3]，被國際慣性技術(shù)學(xué)界認為是21世紀最適用于航空航天器捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的理想器件[4,5]。

然而，由于工藝的限制，微半球諧振子加工過程中存在許多不理想的因素，如吹制過程中溫場不均勻、成型后研磨釋放不水平等。而這些加工誤差導(dǎo)致微半球諧振子機械結(jié)構(gòu)出現(xiàn)偏差，破壞其結(jié)構(gòu)的對稱性[6]。從測控系統(tǒng)角度來看，這類誤差將導(dǎo)致諧振子的工作模態(tài)頻率出現(xiàn)裂解，且模態(tài)主軸軸向也不再是任意方向，這將嚴重影響了陀螺儀的性能。

為了確定諧振子模態(tài)主軸位置，李巍等人[7]通過推導(dǎo)振動位移的表達式并通過安裝兩組激勵電極及位移傳感器來測試模態(tài)主軸方位。王錦等人[8]分析不同角度檢測電極處的頻率響應(yīng)特性，通過頻率響應(yīng)參數(shù)計算諧振子模態(tài)主軸軸向。

本文將根據(jù)理想振動式陀螺儀的通用運動方程對微半球諧振子誤差模型進行推導(dǎo)，再根據(jù)推導(dǎo)所得的微半球諧振基本誤差模型研究微半球諧振子的頻率誤差，提出了一種可以通過電掃頻所得數(shù)據(jù)計算微半球諧振子頻率主軸方位角的方法，在微半球諧振子結(jié)構(gòu)誤差研究和機械修調(diào)領(lǐng)域具有指導(dǎo)意義。

1 微半球諧振子基本誤差模型推導(dǎo)

理想振動式陀螺儀的通用運動方程如下[9,10]

(1)

式中x,y為理想諧振子運動主軸方向的位移；ω0為理想諧振子工作模態(tài)的固有頻率；Q0為品質(zhì)因數(shù)；Ω為基座旋轉(zhuǎn)的角速度；η為角度增益系數(shù)；η′為向心力增益系數(shù)；gx，gy為理想諧振子沿主軸方向施加的外界加速度。

(2)

其中，

設(shè)L=[x,y]T則

Lω=PωL

(3)

式中Pω為諧振子沿{x,y}軸位移至頻率主軸方向位移的旋轉(zhuǎn)矩陣。將式(3)代入式(2)可得

(4)

當(dāng)諧振子運動環(huán)向諧波數(shù)n=2時

①大寫字母表示形狀、特征、性質(zhì)，如：U-tube U形管；I-beam工字鋼；T-ruler丁字尺；Y-section三通接頭管。

(5)

而諧振子阻尼誤差同樣可以利用兩模態(tài)時間常數(shù)結(jié)合阻尼主軸方位角建模。在式(4)加入阻尼項后，可以得到微半球諧振子運動的基本誤差模型

(6)

(7)

式中θτ為諧振子阻尼主軸方位角，τ{1,2}為諧振子兩個工作模態(tài)的時間常數(shù)。

由于式(6)并未顯式表示質(zhì)量誤差，而在陀螺儀測控系統(tǒng)設(shè)計中質(zhì)量攝動引起的誤差是無法避免的，故引入質(zhì)量攝動矩陣[11]，可將式(6)改為

(8)

式中m0為諧振子模態(tài)等效質(zhì)量；F為諧振子所受外力的向量矩陣；[ε]為非理想諧振子質(zhì)量攝動系數(shù)矩陣。[ε]的表達式如下

式中ε{1,2}為理想諧振子質(zhì)量攝動系數(shù)，其值通常均為小量。

2 微半球諧振子模態(tài)主軸方位測算原理

設(shè)在諧振子工作在n=2模態(tài)

F=f+KTL

(9)

式中f為作用在工作模態(tài)的等效基頻靜電力;KT則為等效靜電剛度矩陣，其表達式為

式中kT11為激勵電壓在x軸向上產(chǎn)生的靜電剛度，kT12和kT21為激勵電壓在x與y軸向間產(chǎn)生的耦合靜電剛度，kT22為激勵電壓在y軸向上產(chǎn)生的靜電剛度。當(dāng)兩個軸向上所加的激勵電壓大致相同時，kT11≈kT22。

將式(9)代入式(8)，則得

(10)

對式(10)進行拉氏變換，可得

(11)

式(11)給出了基頻靜電力f至諧振子位移的傳遞函數(shù)。其中,T{x,y}/f{x,y}(s)為{x,y}軸向靜電力到{x,y}軸位移的傳遞函數(shù)。T(s)中副對角線傳遞函數(shù)反映了諧振子模態(tài)之間的耦合，若其為零，則諧振子沿{x,y}軸向的運動互相獨立，其模態(tài)主軸與{x,y}重合。但實際上由于加工誤差的存在，微半球諧振子模態(tài)主軸與{x,y}軸之間總存在誤差角θω。

將式(5)和式(7)代入式(11)。同時，為了便于分析微半球諧振子頻率誤差的特點，可先忽略阻尼誤差，則有τx=τy=τ0,2/τc=0。又由于質(zhì)量攝動引起的誤差對頻率誤差影響較小，故可忽略，取ε1=ε2=0。進而，可得

(12)

由于真空封裝的全對稱微半球諧振子的Q值較高[12～15]，因此可忽略其阻尼對于諧振頻率的影響，又當(dāng)兩個軸向上所加的激勵電壓大致相同時，kT11≈kT22=kT0，則式(12)中傳遞函數(shù)的兩對極點分別為

(13)

(14)

式中 上標(biāo)*指共軛。又根據(jù)式(12)解得傳遞函數(shù)Tx/fx(s)的一對零點可由下式確定

(15)

將式(13)和式(14)代入式(15)，可得

(16)

式(13)和式(14)表明，傳遞函數(shù)T(s)的極點反映了諧振子在當(dāng)前偏置電壓下的模態(tài)頻率。而根據(jù)式(16)，可以通過電掃頻的方式，利用Tx/fx(s)的零、極點確定諧振子工作模態(tài)主軸方位角。

3 實驗與仿真驗證

3.1 實驗測算

為驗證式(16)對確定微半球諧振子頻率主軸方位角的有效性，搭建測試實驗平臺對微半球諧振子進行電掃頻實驗。微半球諧振子及實驗平臺如圖1所示。

圖1 微半球諧振子及實驗平臺

考慮到在推導(dǎo)式(16)過程中忽略了阻尼項，本文分別試驗了Q值為1 930(1#諧振子)和13 390(2#諧振子)的兩個微半球諧振子，以實驗微半球諧振子Q值大小不同對式(16)計算主軸方位角的影響。

首先對兩個微半球諧振子進行電掃頻。為了保證掃頻過程中兩個模態(tài)靜電力剛度近似相同(kT11≈kT22)，對兩個模態(tài)電極加相同的直流激勵電壓，并對x模態(tài)加交流激勵電壓進行電掃頻，得到微半球諧振子x模態(tài)的幅頻特性曲線如圖2所示。

圖2 電掃頻所得微半球諧振子x模態(tài)的幅頻特性曲線

對所得數(shù)據(jù)進行分析，得到兩個諧振子的零極點頻率值如表1所示。并根據(jù)式(16)計算得兩個微半球諧振子的頻率主軸方位角分別為30.36°和34.75°。

表1 微半球諧振子零極點頻率值

3.2 仿真檢驗

用MATLAB對式(12)的Tx/fx(s)進行建模仿真，驗證實驗結(jié)果。由于無法直接得到式(12)中的靜電力剛度kT11,kT22，故首先對兩個微諧振子進行靜電力剛度實驗，得到微半球諧振子x模態(tài)諧振頻率與電極所加直流電壓的關(guān)系數(shù)據(jù)，并對其進行二次擬合，結(jié)果曲線如圖3所示。根據(jù)圖3可知，較低的直流激勵電壓對模態(tài)諧振頻率的影響極小，故可在仿真時忽略項kT11/m0,kT22/m0。

圖3 微半球諧振子x模態(tài)諧振頻率與靜電力關(guān)系曲線

下一步根據(jù)所得兩個微諧振子的模態(tài)諧振頻率(極點頻率)及計算所得方位角進行仿真，結(jié)果如圖4所示。根據(jù)圖4可知，仿真所得的零點頻率分別為5 587.1 Hz和6 664.5 Hz，與實際測量所得零點位置頻率基本重合。

圖4 微半球諧振子x模態(tài)仿真幅頻特性曲線

根據(jù)以上結(jié)果可知，式(16)可以有效確定微半球諧振子的模態(tài)主軸方位角，且微諧振子值Q越大，計算結(jié)果越準(zhǔn)確。

4 結(jié) 論

本文對微半球諧振陀螺儀的諧振子誤差模型進行了研究，首先根據(jù)理想振動式陀螺儀的通用運動方程推導(dǎo)出微半球諧振子的誤差基本模型；再根據(jù)該基本誤差模型提出了一種可以通過電掃頻測算微半球諧振子頻率主軸方位角的方法；通過實驗測量兩個Q相差較大的微半球諧振子頻率主軸方位角分別為30.36°和34.75°，利用仿真驗證了本文方法測得的主軸方位角的有效性。本文所介紹的微半球諧振子頻率主軸方位角計算方法對于在微半球諧振子結(jié)構(gòu)誤差研究和機械修調(diào)領(lǐng)域具有指導(dǎo)意義。