胡純嚴(yán)，胡良平，2*

（1. 軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2. 世界中醫(yī)藥學(xué)會(huì)聯(lián)合會(huì)臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)委員會(huì)，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927＠163.com）

對(duì)高維表資料進(jìn)行獨(dú)立性分析的基本思路是將高維表降為二維表，降維的重要舉措就是按一個(gè)因素的全部水平或多個(gè)因素的全部水平組合對(duì)資料進(jìn)行分層，從而使每層中的資料都是一個(gè)二維表資料。一種特殊的高維表就是分層后的二維表為2×2 表（即含一個(gè)二值的原因變量和一個(gè)二值的結(jié)果變量），簡記為“g×2×2 表”。針對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，本文將介紹CMHχ2檢驗(yàn)［1-3］和加權(quán)χ2檢驗(yàn)［3-5］兩種方法，并通過實(shí)例，介紹使用SAS 軟件［1］實(shí)現(xiàn)計(jì)算的具體方法。

1 與高維表資料獨(dú)立性檢驗(yàn)有關(guān)的概念

1.1 高維表（g×2×2表）資料的表達(dá)模式

高維表（g×2×2表）資料的表達(dá)模式見表1。

表1 高維表（g×2×2表）資料的第h層2×2表資料的表達(dá)模式

1.2 高維表資料獨(dú)立性檢驗(yàn)的含義

設(shè)高維表資料中有K個(gè)因素（或自變量），1 個(gè)定性的結(jié)果變量。除了采用回歸分析可以同時(shí)考察K個(gè)因素對(duì)定性結(jié)果變量的影響之外，差異性分析的思路是將K-1 個(gè)因素當(dāng)作分層變量，只研究剩余的一個(gè)因素對(duì)二值定性結(jié)果變量的影響，這被稱為將高維表降維后使其成為二維表。顯然，在分層變量（它可以是1個(gè)因素，也可以是多個(gè)因素的水平組合）的每個(gè)水平下，都有一張二維表。假定分層變量有g(shù)（g≥2）個(gè)水平，則有g(shù)張2×2 表（注：本文不考慮g張R×C表）。研究者關(guān)心的是各層2×2 表資料中“原因變量”與“結(jié)果變量”之間是否獨(dú)立（不獨(dú)立時(shí)，就意味著存在關(guān)聯(lián)），為了回答這個(gè)問題，需要進(jìn)行高維表資料的獨(dú)立性檢驗(yàn)。在文獻(xiàn)［1，3，6-7］中，實(shí)現(xiàn)此檢驗(yàn)的方法叫做廣義CMHχ2檢驗(yàn)；而在文獻(xiàn)［4-5］中叫做加權(quán)χ2檢驗(yàn)。

2 高維表資料獨(dú)立性檢驗(yàn)及SAS實(shí)現(xiàn)

2.1 高維表資料加權(quán)χ2檢驗(yàn)的具體算法

2.1.1 隱含權(quán)重的加權(quán)χ2檢驗(yàn)的具體算法

在g×2×2 表資料中，設(shè)含有g(shù)個(gè)水平的因素為重要非試驗(yàn)因素，按其分層可得到g個(gè)2×2 表資料。于是，可按如下的公式將g個(gè)2×2 表資料整合成一個(gè)χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量χ2W［3］：

式（3）表明，χ2W服從自由度為1的χ2分布。

【說明】在式（1）、式（2）、式（3）中，看不見反映各層2×2 表資料重要性的“權(quán)重Wh”，故稱式（3）為“隱含權(quán)重的加權(quán)χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量”。

2.1.2 突顯權(quán)重的加權(quán)χ2檢驗(yàn)的具體算法

文獻(xiàn)［4-5］提供了另一個(gè)突顯權(quán)重的加權(quán)χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，見式（4）、式（5）、式（6）：

將式（5）～式（10）代入式（4），可得到式（11）：

對(duì)式（11）進(jìn)行變形，得到式（12）：

對(duì)式（12）做進(jìn)一步變形，可得到式（13）：

比較式（3）與式（13）可知，它們是完全相同的。

【說明】“隱含權(quán)重的加權(quán)χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量”實(shí)際上是在原本有“權(quán)重”的式（11）的基礎(chǔ)上，將g×2×2 表資料中“各層原始數(shù)據(jù)以及行合計(jì)和列合計(jì)”代入公式中的有關(guān)變量并進(jìn)行變形后的“結(jié)果或形式”。在本質(zhì)上，只有一個(gè)“突顯權(quán)重的加權(quán)χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量”。

2.2 高維表資料CMH χ2檢驗(yàn)的具體算法

文獻(xiàn)［1-2］介紹了廣義CMHχ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其三種變形。下面再介紹一種類似于加權(quán)χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的CMHχ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量［3］，見式（14）：

在式（14）中，nh11、mh11和vh11分別為第h層2×2 表資料中第（1，1）格上的“觀察頻數(shù)”“期望頻數(shù)或理論頻數(shù)”和“方差”，后兩項(xiàng)的計(jì)算分別見式（15）、式（16）：

在上面兩式中，H0為該假設(shè)檢驗(yàn)的無效假設(shè)或稱為零假設(shè)，其具體表述如下。

H0：在各層2×2 表資料中，行、列兩變量間互相獨(dú)立。

將式（15）和式（16）代入式（14）中后再變形，得到式（17）：

2.3 高維表資料獨(dú)立性檢驗(yàn)的SAS實(shí)現(xiàn)

2.3.1 問題與數(shù)據(jù)

【例1】文獻(xiàn)［5］提供了如下資料，試分析新療法與舊療法的治愈率是否相等。見表2。

表2 新療法與舊療法對(duì)某疾病的效果

2.3.2 多項(xiàng)研究中兩關(guān)鍵變量之間獨(dú)立性檢驗(yàn)的SAS實(shí)現(xiàn)

【例2】沿用例1 中的“問題與數(shù)據(jù)”，通常設(shè)“組別”為“分層因素”，研究者關(guān)心的是“治療方法”與“治療結(jié)果”之間是否存在關(guān)聯(lián)性。與其等價(jià)的表述或假設(shè)是：H0：“治療方法”與“治療結(jié)果”之間互相獨(dú)立；H1：“治療方法”與“治療結(jié)果”之間不獨(dú)立。試基于表2 資料，檢驗(yàn)前面給出的“檢驗(yàn)假設(shè)”。

【分析與解答】

解法一，采用加權(quán)χ2檢驗(yàn)。設(shè)所需要的SAS 程序如下：

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

W-chisq=2.153 W-p=0.1422916183

以上輸出的結(jié)果是：χ2W=2.153，P=0.142292。

【統(tǒng)計(jì)結(jié)論】由以上輸出結(jié)果可知：χ2W=2.153，P=0.142292＞0.05，說明“治療方法”與“治療結(jié)果”之間的關(guān)聯(lián)性無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

【專業(yè)結(jié)論】在消除年齡因素的影響之后，可以認(rèn)為：新療法與舊療法對(duì)應(yīng)的治愈率相等（說明“治療方法”與“治療結(jié)果”之間互相獨(dú)立）。

解法二，采用CMHχ2檢驗(yàn)。設(shè)所需要的SAS 程序如下：

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

以上輸出的結(jié)果是：χ2CMH=2.1334，P=0.1441。

【統(tǒng)計(jì)結(jié)論】由以上輸出結(jié)果可知：χ2CMH=2.1334，P=0.1441＞0.05，說明“治療方法”與“治療結(jié)果”之間的關(guān)聯(lián)性無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

【專業(yè)結(jié)論】在消除年齡因素的影響之后，可以認(rèn)為：新療法與舊療法的治愈率相等。

3 討論與小結(jié)

3.1 討論

本文所介紹的統(tǒng)計(jì)分析方法主要適用于g×2×2表資料，而不適用于g×R×C表資料（R與C中至少有一個(gè)大于2）；本法的優(yōu)點(diǎn)是適用面較寬，即不論分層后的2×2表資料來自何種設(shè)計(jì)類型，均可使用；檢驗(yàn)假設(shè)可籠統(tǒng)表述為：在分層后的各2×2表資料中，H0：“原因變量”與“結(jié)果變量”之間互相獨(dú)立，H1：“原因變量”與“結(jié)果變量”之間不獨(dú)立；從公式推導(dǎo)的最終結(jié)果可知，對(duì)于前述的“檢驗(yàn)假設(shè)”而言，加權(quán)χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值與CMHχ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值接近相等。

3.2 小結(jié)

本文針對(duì)g×2×2 表資料獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，呈現(xiàn)了兩種不同形式的加權(quán)χ2檢驗(yàn)公式和CMHχ2檢驗(yàn)公式，通過公式推導(dǎo)和變形，揭示出兩種不同形式的加權(quán)χ2檢驗(yàn)公式是完全相同的；同時(shí)，還揭示出加權(quán)χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與CMHχ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在數(shù)值上是接近相等的。通過一個(gè)實(shí)例，展示了基于SAS 軟件實(shí)現(xiàn)加權(quán)χ2檢驗(yàn)和CMHχ2檢驗(yàn)的全過程，并對(duì)SAS輸出結(jié)果進(jìn)行解釋，做出統(tǒng)計(jì)結(jié)論和專業(yè)結(jié)論。