林革
說到希帕索斯悖論,首先要提到的是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派和畢達(dá)哥拉斯定理.
畢達(dá)哥拉斯是一位與孔子、釋迦牟尼幾乎同時代的古希臘著名數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家. 他創(chuàng)辦了一個著名的學(xué)派——畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,其宗旨是“萬物皆數(shù)”.
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為:世界上的萬事萬物都可以用數(shù)來表示,一切事物都由數(shù)構(gòu)成. 無論什么事物,大到天體,小到塵埃,都有一定的長短、高低、大小、輕重等數(shù)量,沒有數(shù)量的事物是不存在的. 總之,一切事物都必須而且只能通過數(shù)得到解釋,宇宙的本質(zhì)和規(guī)律就是數(shù)的和諧,也就是說,宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比. 顯然“萬物皆數(shù)”中的數(shù)就是有理數(shù).
畢達(dá)哥拉斯定理就是著名的勾股定理,即直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊平方之和. 據(jù)說畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)這個定理有一段有趣的淵源.
有一次,畢達(dá)哥拉斯被邀請到朋友家做客,客人們高談闊論,他卻一言不發(fā),靜靜地坐在那里. 他本來就是一個沉默寡言、不愛湊熱鬧的人,平時除了思考數(shù)學(xué)問題和別人溝通交談外,沒有任何別的事情能讓他多費口舌. 畢達(dá)哥拉斯一直低頭看地上鋪的花磚(花磚形狀如圖1),屋里沒人感到奇怪.
花磚上的圖形有正方形和三角形,黑白相間且有規(guī)律地排列著,這好像沒什么特別的,可畢達(dá)哥拉斯竟被這個司空見慣的圖案吸引住了. 他幾乎忘記了自己是來做客的,竟彎下腰去,在靠邊的花磚上算了起來.
畢達(dá)哥拉斯在直角三角形的一條直角邊上寫上a,另一條直角邊上寫上b,在斜邊上寫上c(如圖1). 以a為邊的正方形面積a2恰好等于兩個灰色三角形面積的和,以b為邊的正方形面積b2恰好等于兩個白色三角形面積的和,以c為邊的正方形面積c2恰好等于兩個灰色三角形與兩個白色三角形面積的和,即c2 = a2 + b2. 由此,畢達(dá)哥拉斯得出結(jié)論:以c為邊的大正方形面積等于以a或b為邊的兩個小正方形面積的和.
畢達(dá)哥拉斯和他的門徒在給出這條定理的證明后欣喜若狂,宰了100頭牛,舉辦了盛大的“百牛宴”以示慶賀. 因此,勾股定理也被稱為“百牛定理”.
不過,具有諷刺意味的是,畢達(dá)哥拉斯定理的發(fā)現(xiàn)和證明導(dǎo)致畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的宗旨被動搖了.
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中的一個青年弟子希帕索斯,在研究正方形的對角線時發(fā)現(xiàn),這條對角線既不能用整數(shù)表示,也不能用整數(shù)之比(分?jǐn)?shù))表示. 因為,如果能用整數(shù)或整數(shù)之比表示,則必然帶來不可克服的矛盾. 具體推導(dǎo)如下:
假設(shè)正方形的邊長為1,如圖2,
則根據(jù)勾股定理可知斜邊w2 = 12 + 12 = 2,這個w一定不是整數(shù),
因為12 = 1,22 = 4,
而12 < w2 < 22,
又因為1和2是兩個連續(xù)的自然數(shù),
所以w只能是夾在1和2之間的分?jǐn)?shù).
假設(shè)這個分?jǐn)?shù)為[mn],
必須說明該分?jǐn)?shù)是既約分?jǐn)?shù)(m,n已經(jīng)約去了所有的公因數(shù)),
可得結(jié)論:m,n之中至少有一個奇數(shù)(若兩者都是偶數(shù),則存在公因數(shù)2,這與前提假設(shè)矛盾).
∵[m2n2] = 2, ∴m2 = 2n2.
又∵2n2為偶數(shù),∴ m2為偶數(shù),
如果m為奇數(shù),那么m可以表示成2p + 1,
則m2 = (2p + 1)2=4(p2 + p) + 1也是奇數(shù),這與上面得到的m2為偶數(shù)矛盾.
∴m必為偶數(shù).
又∵m,n二者中至少有一個奇數(shù),m必為偶數(shù),
∴n必為奇數(shù).
m為偶數(shù),可設(shè) m=2p,即m2=4p2=2n2,得n2=2p2,
也就是說n2為偶數(shù),則n必為偶數(shù). 這又與上面得到的n必為奇數(shù)矛盾.
不難看出,同一個數(shù)n既是奇數(shù)又是偶數(shù).
但是我們都知道,一個數(shù)要么是奇數(shù),要么是偶數(shù),不能既是奇數(shù)又是偶數(shù).
因此,以上循環(huán)必然產(chǎn)生矛盾,人們把這種循環(huán)稱為希帕索斯悖論.
推導(dǎo)過程之所以出現(xiàn)矛盾的結(jié)論,無外乎以下兩種原因:一種是前提錯誤,一種是推導(dǎo)過程錯誤. 以上的推導(dǎo)過程中使用了兩個前提:一個是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“一切現(xiàn)象可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比”的信念,另一個就是畢達(dá)哥拉斯定理. 然而,由二者都推出了矛盾.
顯然,上述推導(dǎo)過程毫無差錯,那么問題只能出在前提上. 畢達(dá)哥拉斯定理是已證明為正確的定律,這樣只能說明畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信念不成立. 希帕索斯悖論的發(fā)現(xiàn)如同一聲晴天霹靂,動搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派整個信念大廈的基礎(chǔ),引起了學(xué)派極大的恐慌,以至于希帕索斯最終為了真理付出了生命的代價.
然而“青山遮不住,畢竟東流去”,人們又發(fā)現(xiàn)了其他不能用整數(shù)或整數(shù)之比表示的數(shù),如[3],[5],[7],[π]等,如今這些無理數(shù)已經(jīng)被大眾普遍接受.
雖然希帕索斯被拋到大海里淹死,但希帕索斯悖論是淹不死的. 這些事實像潮水一樣猛烈地沖擊著傳統(tǒng)觀念,促使人們重新審視“一切數(shù)都是整數(shù)或整數(shù)比”的有理數(shù)理論,這就是歷史上的第一次數(shù)學(xué)危機. 當(dāng)然,從本質(zhì)上嚴(yán)格來說,這種危機并不是數(shù)學(xué)本身的危機,而是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”(整數(shù)或整數(shù)之比)信念的危機.
(作者單位:揚州職業(yè)大學(xué))
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·提升版2021年1期