王朋朋，程 杰，張艷昆，趙士偉，孟慶軍

（32217部隊(duì)，山東 煙臺(tái) 264100）

1 引言

水深是重要的水文要素之一，壓力測深是目前主要的測深原理。壓力式水深測量儀器檢定裝置以準(zhǔn)確度高、技術(shù)性能穩(wěn)定、使用范圍廣等優(yōu)點(diǎn)被用作壓力計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)器。壓力式水深測量儀器檢定裝置按照工作介質(zhì)分為氣體活塞壓力測量儀器檢定裝置和液體活塞壓力測量儀器檢定裝置，兩者工作原理一致，但影響量有細(xì)微差別。評(píng)定其測量不確定度是壓力計(jì)量人員的一項(xiàng)重要工作。李迪對(duì)活塞壓力計(jì)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了不確定度評(píng)定，著重分析了專用砝碼的影響［1］；黃智淵等對(duì)氣體活塞壓力計(jì)進(jìn)行了測量不確定評(píng)定［2，3］；李楊眉等對(duì)海洋壓力測量儀器的校準(zhǔn)結(jié)果進(jìn)行了不確定分析［4，5］；其他學(xué)者還對(duì)活塞式壓力計(jì)的活塞有效面積進(jìn)行了大量研究［6，7］；李文博等用蒙特卡洛法對(duì)氣壓傳感器進(jìn)行檢定結(jié)果的不確定度進(jìn)行評(píng)定［8］。

上述研究工作主要針對(duì)單一工作介質(zhì)的活塞壓力計(jì)，多采用GUM法理論分析及針對(duì)單次測量結(jié)果的不確定度評(píng)定，沒有對(duì)氣體活塞壓力計(jì)和液體活塞壓力計(jì)的不確定度進(jìn)行綜合分析。據(jù)此，本文采用自適應(yīng)MCM 和GUM 法分別對(duì)0.005級(jí)的氣體活塞壓力測量儀器檢定裝置和液體活塞壓力測量儀器檢定裝置進(jìn)行了測量不確定度評(píng)定，并通過自適應(yīng)MCM 對(duì)GUM 法進(jìn)行了驗(yàn)證。

2 壓力式水深測量儀器檢定裝置測量原理

壓力式水深測量儀器檢定裝置的主標(biāo)準(zhǔn)器是活塞式壓力計(jì)。其主要是基于流體靜力學(xué)原理和帕斯卡原理設(shè)計(jì)的，作為測量壓力的標(biāo)準(zhǔn)裝置，它由活塞系統(tǒng)、砝碼和底座3部分組成?；钊綁毫τ?jì)的工作原理如圖1所示?；钊到y(tǒng)工作時(shí)，活塞桿應(yīng)穩(wěn)定懸浮于活塞筒中并處于標(biāo)稱工作位置。此時(shí)作用于活塞底部向上的力F（F＝p×A，p為壓強(qiáng)，A為活塞桿面積）與加于活塞上的砝碼所產(chǎn)生的重力相平衡。被測壓力可以由砝碼所受重力和活塞桿面積計(jì)算，對(duì)于一定的活塞桿面積，改變砝碼質(zhì)量就可以測量不同的壓力。為了避免產(chǎn)生靜摩擦力，在工作時(shí)使活塞桿與活塞筒之間可相對(duì)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，從而使活塞桿處于活塞筒的標(biāo)稱工作位置，與活塞筒之間有一個(gè)均勻的介質(zhì)層。

圖1 活塞壓力計(jì)工作原理圖Fig.1 Working principle diagram of piston pressure gauge

根據(jù)活塞式壓力計(jì)的工作原理知，其所測得的壓力可由砝碼質(zhì)量和活塞面積共同表示。實(shí)際工作中，必須考慮活塞壓力計(jì)的其他影響因素，通過修正使其對(duì)活塞壓力計(jì)輸出壓力準(zhǔn)確度的影響減到最小。這里面，需要考慮活塞壓力計(jì)的溫度變化以及壓力形變的影響，應(yīng)進(jìn)行溫度、壓力形變修正，也要考慮工作介質(zhì)的表面張力影響因素，還要對(duì)質(zhì)量進(jìn)行浮力修正。

當(dāng)活塞處于工作位置時(shí)，活塞所產(chǎn)生（或者測量）壓力的計(jì)算修正公式如式（1）：

式中：A0為在參考溫度和零壓力下活塞系統(tǒng)的有效面積，m2；λ為壓力形變系數(shù)，為常量，1／MPa；α為活塞組熱膨脹系數(shù)，為常量，1／℃；t為活塞工作溫度，℃；mi為壓力測試點(diǎn)相應(yīng)的活塞桿及專用砝碼質(zhì)量總和，kg；g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?，由于其?shí)測誤差僅為10－7量級(jí)，可取為常量，m／s2；ρa(bǔ)為空氣密度，kg／m3；ρmi為砝碼（或活塞、連接件、承重盤）密度，為常量，kg／m3；ρl為介質(zhì)密度，kg／m3；Γ為活塞表面張力系數(shù)，N／m；pi為壓力名義值，MPa；h為活塞參考平面與測量平面的差，m。

為了計(jì)算方便，對(duì)式（1）進(jìn)行變換，令：

則有：

3 GUM法評(píng)定測量不確定度

3.1 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)壓力式水深測量儀器檢定裝置的測量原理，測量模型如式（1）所示。

3.2 測量不確定度評(píng)定

3.2.1 活塞及砝碼組件質(zhì)量誤差引入的不確定度分量u（M）

活塞專用砝碼以及活塞與連接件質(zhì)量的不確定度是活塞壓力計(jì)不確定度的重要來源，根據(jù)式（2），考慮影響量，可以得到靈敏系數(shù)：

根據(jù)不確定度傳播率得：

以相對(duì)不確定度表示為：

（1）活塞以及活塞承重盤、專用砝碼等的質(zhì)量不確定度u（mi）

根據(jù)活塞壓力計(jì)檢定證書知，活塞及專用砝碼允許誤差為±0.001%，假設(shè)服從均勻分布則按B類不確定度評(píng)定，標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

用相對(duì)不確定度表示為：

式中：mi為壓力測試點(diǎn)相應(yīng)的活塞桿及專用砝碼質(zhì)量之和，kg。

（2）空氣密度的不確定度u（ρa(bǔ)）

我國空氣密度范圍為（1.2±0.05）kg／m3，假設(shè)服從均勻分布，k＝，則按B類不確定度評(píng)定，標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

用相對(duì)不確定度表示為：

3.2.2 活塞有效面積引入的不確定度分量u（A）

根據(jù)式（3），得到靈敏系數(shù)：

根據(jù)不確定度傳播率得，

以相對(duì)不確定度表示為：

其中活塞系統(tǒng)的熱膨脹系數(shù)α取決于活塞桿以及活塞筒的材料，對(duì)于某種材料而言，此項(xiàng)一般為常數(shù)，故引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度可以忽略；形變系數(shù)λ取決于活塞桿和活塞筒的材質(zhì)以及結(jié)構(gòu)，此項(xiàng)一般為常數(shù)，故引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度可以忽略。

（1）活塞在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下有效面積A0的不確定度u（A0）

根據(jù)活塞壓力計(jì)檢定證書可知活塞面積的檢定結(jié)果為（A0±ΔA）／cm2，假設(shè)活塞面積服從均勻分布，，則按B類不確定度評(píng)定，標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（A0）／m2為：

以相對(duì)不確定度表示為：

（2）活塞溫度測量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（t）

在活塞工作時(shí)，由于摩擦等因素會(huì)使活塞系統(tǒng)溫度上升。這時(shí)，測量活塞的溫度然后對(duì)于活塞有效面積進(jìn)行溫度修正是必須的。根據(jù)活塞壓力計(jì)的使用說明書，溫度誤差±0.2℃（20℃時(shí)），假設(shè)服從正態(tài)分布，k＝2，則按B類不確定度評(píng)定，標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

以相對(duì)不確定度表示為：

3.2.3 工作介質(zhì)表面張力引入的不確定度u（pF）

表面張力對(duì)于液體介質(zhì)的活塞有影響，對(duì)于純氣體介質(zhì)活塞可以忽略不計(jì)。

根據(jù)表面張力計(jì)算式（5），可得到靈敏系數(shù)為：

根據(jù)不確定度傳播率得：

以相對(duì)不確定度表示為：

（1）活塞表面張力系數(shù)的不確定度u（Γ）

使用的測壓介質(zhì)，其張力系數(shù)在30 mN／m左右，其不確定度主要由溫度變化造成，變化范圍為25～35 mN／m。

假設(shè)服從均勻分布，k＝，則按B類不確定度評(píng)定，標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

以相對(duì)不確定度表示為：

（2）活塞在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下有效面積的不確定度u（A0）

活塞有效面積引入的不確定度u（A0）如前面所述。

3.2.4 與活塞工作位置的位置差帶來的不確定度u（pH）

根據(jù)壓差計(jì)算式（4），可得到靈敏系數(shù)：

根據(jù)不確定度傳播率得，

以相對(duì)不確定度表示為：

（1）氣／液柱差不確定度u（h）

根據(jù)活塞壓力計(jì)使用說明書，活塞的工作位置為0±Δhmm，其中氣體活塞壓力計(jì)為0±2 mm，液體活塞壓力計(jì)為0±1 mm。設(shè)服從均勻分布，k＝，則按B類不確定度評(píng)定，標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

（2）介質(zhì)密度的不確定度u（ρl）

如果介質(zhì)是氣體，由于氣體的可壓縮性，在進(jìn)行高度差修正時(shí)應(yīng)考慮不同壓力檢定點(diǎn)介質(zhì)密度的變化，對(duì)于氮?dú)饪梢圆捎檬剑?6）計(jì)算其密度。

式中：pATM為當(dāng)?shù)卮髿鈮?，Pa。

根據(jù)不確定度傳播率，標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

以相對(duì)不確定度表示為：

對(duì)于液體，其可壓縮性較小，近似為常數(shù)，不確定度可以忽略，即u（ρl）＝0。

3.2.5 活塞軸線垂直度θ帶來的不確定度u（pθ）

活塞的安裝以及活塞本身結(jié)構(gòu)有可能造成活塞軸線的不垂直，從而使加在活塞有效面積上的力小于活塞桿以及砝碼所產(chǎn)生的重力。如果θ為軸線傾斜角度，那么軸線傾斜可能帶來的影響量即為（1－cosθ）pi。規(guī)程規(guī)定，活塞安裝垂直度要小于2′。假設(shè)服從均勻分布，k＝，則按B類不確定度評(píng)定，標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（pθ）／Pa為：

以相對(duì)不確定度表示為：

3.2.6 活塞壓力計(jì)分辨力的影響u（r）

根據(jù)活塞壓力計(jì)的使用說明書，氣體活塞壓力計(jì)的分辨力r＝1×10－3Pa，液體活塞壓力計(jì)的分辨力r＝1 Pa，假設(shè)服從均勻分布，k＝，則按B類不確定度評(píng)定，標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（r）／Pa為：

3.2.7 壓力標(biāo)準(zhǔn)裝置的測量重復(fù)性引入的不確定度uA

壓力標(biāo)準(zhǔn)裝置在各個(gè)檢測點(diǎn)重復(fù)測試10次，測量重復(fù)性的不確定度分量用不確定度的A類評(píng)定方法得到。根據(jù)壓力標(biāo)準(zhǔn)裝置的重復(fù)性實(shí)際計(jì)算結(jié)果可以忽略不計(jì)。

3.3 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

根據(jù)不確定度的傳播率得，壓力測量標(biāo)準(zhǔn)的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度用式（29）計(jì)算。

各壓力測試點(diǎn)的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度見表1～3。

3.4 擴(kuò)展不確定度

取置信因子k＝2，擴(kuò)展不確定度根據(jù)式（30）計(jì)算得出。

各個(gè)壓力測試點(diǎn)的擴(kuò)展不確定度見表1～3。

表1 標(biāo)準(zhǔn)不確定度一覽表Tab.1 List of standard uncertainty

表2 氣體活塞壓力計(jì)不確定度列表Tab.2 List of gas piston pressure gauge uncertainty

表3 液體活塞壓力計(jì)不確定度列表Tab.3 List of liquid piston pressure gauge uncertainty

4 自適應(yīng)MCM評(píng)定測量不確定度

根據(jù)壓力測深的原理，建立的測量模型如式（1）所示。

每個(gè)輸入量都由一個(gè)概率密度函數(shù)（PDF）表征，PDF由輸入量的信息推導(dǎo)得到。表4為所有輸入量及設(shè)定的PDF。

表4 輸入量的大小、不確定度和設(shè)定分布列表Tab.4 Input size，uncertainty，and set distribution

根據(jù)自適應(yīng)MCM的步驟［9～13］，編程得到滿足條件的各輸入量的隨機(jī)數(shù)，取標(biāo)準(zhǔn)不確定度的有效數(shù)字位數(shù)為1位，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的有效數(shù)字首位為1或2時(shí)，給出2位有效數(shù)字［14］，確定數(shù)值容差δ，運(yùn)用自適應(yīng)MCM獲得壓力的估計(jì)值p、標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（p）及在約定包含概率為95%時(shí)的包含區(qū)間。

對(duì)GUM法和自適應(yīng)MCM獲得的包含區(qū)間進(jìn)行比較，當(dāng)滿足式（31）和式（32），則GUM不確定度框架可通過驗(yàn)證，結(jié)果見表5和表6。

由表5和表6可知，自適應(yīng)MCM與GUM法給出的氣體活塞壓力計(jì)和液體活塞壓力計(jì)的壓力估計(jì)值和標(biāo)準(zhǔn)不確定度具有很好的一致性，且各個(gè)檢測點(diǎn)GUM法均驗(yàn)證通過。

表5 氣體活塞壓力計(jì)自適應(yīng)MCM與GUM法結(jié)果對(duì)比列表Tab.5 Comparison of adaptive MCM method and GUM method for gas piston pressure gauge kPa

表6 液體活塞壓力計(jì)自適應(yīng)MCM與GUM法結(jié)果對(duì)比列表Tab.6 Comparison of adaptive MCM method and GUM method for liquid piston pressure gauge MPa

在驗(yàn)證過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)不確定度取兩位有效數(shù)字時(shí)，氣體活塞壓力計(jì)在5 000 kPa測試點(diǎn)、液體活塞壓力計(jì)在40 MPa和50 MPa時(shí)GUM法均未通過驗(yàn)證。因此合理的數(shù)值容差取值非常重要，實(shí)際測試中，測量結(jié)果位數(shù)的選取應(yīng)考慮儀器的測量精度和使用要求，還要考慮標(biāo)準(zhǔn)儀器的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的有效位數(shù)。

5 結(jié)論

本文分別采用GUM 法和自適應(yīng)蒙特卡洛法（自適應(yīng)MCM）對(duì)壓力式水深檢定裝置進(jìn)行不確定度評(píng)定，并使用自適應(yīng)蒙特卡洛法對(duì)GUM法進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明，雖然壓力測量模型比較復(fù)雜，兩種方法均適合用來評(píng)定其測量不確定度，并且在標(biāo)準(zhǔn)不確定度有效位數(shù)取1位時(shí)，GUM法在各個(gè)檢測點(diǎn)均通過了驗(yàn)證，但自適應(yīng)蒙特卡洛法適用條件更廣泛，精確度也更高。采用自適應(yīng)蒙特卡洛法對(duì)GUM法進(jìn)行驗(yàn)證時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)不確定度有效位數(shù)的選擇對(duì)驗(yàn)證結(jié)果影響很大，取兩位有效數(shù)字時(shí)，有些檢測點(diǎn)沒有通過驗(yàn)證。經(jīng)分析，自適應(yīng)程序中判斷收斂的判據(jù)為數(shù)值容差，數(shù)值容差的大小與標(biāo)準(zhǔn)不確定度的有效位數(shù)有關(guān)，一般為一個(gè)很小的數(shù)，其大小反映了實(shí)際測量中的準(zhǔn)確性和不確定度評(píng)定的可靠性，沒有通過驗(yàn)證的檢測點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度和壓力估計(jì)值在自適應(yīng)MCM和GUM法時(shí)雖然具有較好的一致性，但在數(shù)值容差較小（有效數(shù)字為2位）時(shí)沒有通過驗(yàn)證，在放寬了數(shù)值容差（有效數(shù)字取1位）后驗(yàn)證通過，因此數(shù)值容差取值的合理性很重要。