趙 斌，賈 智，王 東，歐靜寧

(蘭州交通大學(xué) 自動化與電氣工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

軌道電路是以兩根鋼軌作為傳輸導(dǎo)體，傳輸列車控制信息，同時(shí)也是牽引回流的通道，是保證列車安全高效運(yùn)行的重要鐵路信號基礎(chǔ)設(shè)備[1-2]。鋼軌互阻抗作為軌道電路設(shè)計(jì)中的重要電氣參數(shù)，其值大小直接影響軌道電路的傳輸性能。因此，準(zhǔn)確計(jì)算鋼軌互阻抗對軌道電路傳輸性能分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義。

目前，針對導(dǎo)體互阻抗的計(jì)算，國內(nèi)外研究人員做了大量研究。在國外，文獻(xiàn)[3]考慮了大地影響，研究架空導(dǎo)體的互阻抗，推導(dǎo)出互阻抗計(jì)算公式，即Carson公式，為鋼軌互阻抗計(jì)算提供了理論基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[4]將大地等效為一組回流導(dǎo)體，簡化了Carson互阻抗公式，提出Deri地阻抗公式，由于計(jì)算時(shí)進(jìn)行了簡化，其計(jì)算誤差較大。為準(zhǔn)確計(jì)算鋼軌阻抗，文獻(xiàn)[5-6]利用有限元法計(jì)算了鋼軌自、互阻抗，將實(shí)測數(shù)據(jù)同有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了有限元法在計(jì)算鋼軌阻抗時(shí)具有較高精度，表明有限元法可以準(zhǔn)確計(jì)算鋼軌阻抗，但有限元計(jì)算較復(fù)雜且所需的計(jì)算資源較大。文獻(xiàn)[7-8]利用Carson公式，提出一種直接計(jì)算架空導(dǎo)線與埋地導(dǎo)體之間互阻抗的算法，計(jì)算量大且精度不高。在國內(nèi)，文獻(xiàn)[9]建立軌道電路模型，并通過有限元法仿真分析了軌道電路鋼軌阻抗的影響因素；對于軌道電路互阻抗計(jì)算，由于鋼軌鋪設(shè)在地面一定高度之上，因此也需將鋼軌看為架空線計(jì)算其阻抗值。文獻(xiàn)[10]考慮大地影響，推導(dǎo)了相鄰軌道電路互阻抗簡化表達(dá)式，由于直接采用Deri地阻抗公式，并利用泰勒級數(shù)展開，近似計(jì)算了軌道互阻抗，其計(jì)算精確度依然有待提高。文獻(xiàn)[11]針對架空線阻抗的計(jì)算，提出用函數(shù)代替的方法簡化計(jì)算Carson公式的校正項(xiàng)，避免了計(jì)算收斂困難的問題，總結(jié)出一種計(jì)算精度較高的架空線阻抗計(jì)算新方法，但該方法步驟較多，計(jì)算復(fù)雜。文獻(xiàn)[12]利用阻抗分解法，將鋼軌阻抗分解為內(nèi)阻抗和外阻抗，并分別采用二維和三維有限元模型進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算精度高，但對計(jì)算機(jī)要求較高且對技術(shù)人員有一定的要求，計(jì)算過程也較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[13-14]提出矩函數(shù)方法和截?cái)喾ǎ?jì)算了Carson自阻抗公式的校正項(xiàng)，但未應(yīng)用在互阻抗計(jì)算分析上?；谝陨险撌?，有限元仿真計(jì)算精度高但過于復(fù)雜，而利用Carson公式計(jì)算有砟軌道電路鋼軌互阻抗時(shí)，求解困難，為此，本文提出一種新的精度高且便于計(jì)算鋼軌互阻抗的方法。

本文根據(jù)Carson公式計(jì)算互阻抗，針對采用Carson公式計(jì)算鋼軌互阻抗時(shí)無窮上限積分和被積函數(shù)高頻震蕩的問題，采用核函數(shù)分段線性逼近和截?cái)喾ㄇ蠼饣プ杩?，得到互阻抗?jì)算公式。為驗(yàn)證該算法的合理性和準(zhǔn)確性，利用電磁場有限元法仿真分析軌道電路模型。根據(jù)本文算法、有限元法和Carson單項(xiàng)近似法，分別計(jì)算鋼軌互阻抗，并以有限元仿真計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)計(jì)算相對誤差，對比可知，采用本文算法得到的誤差更小，電阻值誤差和電感值誤差均小于8%。因此，本文算法具有較高的精度。基于本文算法，分析了電流頻率、土壤電導(dǎo)率、軌道高度對互阻抗的影響規(guī)律，從而為軌道電路鋼軌互阻抗的計(jì)算及優(yōu)化軌道電路的傳輸性能提供可靠的理論參考。

1 鋼軌阻抗的計(jì)算

1.1 鋼軌互阻抗

單線軌道模型示意見圖1，其主要包括鋼軌、底座和大地[15]。當(dāng)鋼軌1和鋼軌2組成的軌道電路中存在軌道電路信號電流和牽引電流回流時(shí)，會在鋼軌的內(nèi)部和周圍形成交變磁場?；プ杩怪饕怯善叫袖撥壷g電磁感應(yīng)形成的，相當(dāng)于兩根鋼軌之間形成一條具有低絕緣電阻的電氣回路。除此之外，還應(yīng)考慮電流流經(jīng)大地時(shí)，兩根鋼軌與地回路之間的阻抗。本文對于鋼軌互阻抗采用Carson公式進(jìn)行求解。

圖1 單線軌道模型示意

鋼軌互阻抗計(jì)算模型[16]見圖2。對鋼軌1和鋼軌2之間的互阻抗進(jìn)行求解,互阻抗的計(jì)算可分成2個部分，即

圖2 鋼軌互阻抗計(jì)算模型

( 1 )

( 2 )

( 3 )

式中：j為虛數(shù)單位；h1和h2分別為鋼軌1和2距離大地的高度；D12為鋼軌1與鏡像鋼軌2之間的距離；d12為鋼軌1和鋼軌2之間的水平距離；ω為信號角頻率；μ0為真空磁導(dǎo)率。

( 4 )

式中：t為積分變量；γ為復(fù)傳播常數(shù)的幅值；ρ為大地電阻率。

( 5 )

式中：

( 6 )

其中,C=0.577 215 664 901 532 86…，為歐拉常數(shù)；f為電流頻率。

1.2 Carson地阻抗公式的改進(jìn)

本文對鋼軌-大地回路互阻抗公式中的無窮積分項(xiàng)進(jìn)行改進(jìn)，提出用AET(Asymptotic Extra Technique)法[18]對簡化后的公式進(jìn)行處理。然后采用分段線性近似對核函數(shù)的實(shí)部和虛部進(jìn)行求解。

對式( 4 )進(jìn)行積分代換，令t=γλ，可得以λ為積分變量的反常積分，即

( 7 )

式中：

p=(h1+h2)γq=d12γ

( 8 )

對比式( 4 )和式( 7 )可知，由于式( 7 )中被積函數(shù)與頻率等參數(shù)無關(guān)，因此，更適合于互阻抗計(jì)算。為便于計(jì)算，本文定義核函數(shù)為

( 9 )

圖3 核函數(shù)實(shí)部

圖4 核函數(shù)虛部

(10)

式中：

(11)

用AET法對式( 7 )中的無限區(qū)間進(jìn)行截?cái)?，可得?12)，并且由式(13)可求得式(12)中核函數(shù)的實(shí)部和虛部的有限上限λrm和λim。

(12)

(13)

根據(jù)式(9)～式(13)，可得

(14)

(15)

式中：m為核函數(shù)近似精度的數(shù)量級大小，取m=-7。

對于式(14)和式(15)的非線性方程，可采用牛頓迭代法[19]進(jìn)行求解計(jì)算。在Matlab中調(diào)用Taylor級數(shù)展開式將非線性方程線性化，得到其近似表達(dá)式，并不斷對舊值進(jìn)行迭代遞推出新值，得到非線性方程的近似根。同時(shí)將區(qū)間[0,λrm]和[0,λim]細(xì)分為有限區(qū)間，在每個積分區(qū)間上間隔采樣，并對采樣點(diǎn)間的曲線進(jìn)行線性近似，從而對式( 9 )進(jìn)行求解。圖5為核函數(shù)虛部fi的分段線性逼近原理圖，同理，實(shí)部fr與此相同。

圖5 核函數(shù)虛部分段線性逼近

如圖5所示，對于第k個有限單元，當(dāng)λk<λ<λk+1時(shí)，核函數(shù)的實(shí)部和虛部可表示為

式中:NR和NI分別為核函數(shù)實(shí)部和虛部的樣本點(diǎn)總數(shù)，即將核函數(shù)的實(shí)部和虛部分別分為NR-1和NI-1個有限區(qū)間。可知所取樣本點(diǎn)數(shù)越多，劃分區(qū)間越密，其分段線性近似精度越高。在本文核函數(shù)近似精度的約束下，實(shí)部和虛部的樣本點(diǎn)數(shù)分別取值為3 000和5 000。

(18)

(19)

式(19)中積分部分可以采用分部積分法直接計(jì)算，得到

(20)

式中：

(q2+2pq+p2qλ)sin(qλ)]

(21)

(22)

2 有限元仿真驗(yàn)證

有限元法可以用于求解鋼軌阻抗[9,20]。同時(shí)，文獻(xiàn)[5]利用有限元法仿真計(jì)算了BS113A型鋼軌的自、互阻抗，并與實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果表明有限元法在計(jì)算鋼軌阻抗時(shí)具有較高精度。因此，為研究本文所提出的鋼軌互阻抗數(shù)值計(jì)算方法的準(zhǔn)確性和精確性，本文依據(jù)現(xiàn)場情況建立有砟軌道電路有限元電磁場仿真模型，并在多物理場耦合軟件Comsol中對鋼軌互阻抗進(jìn)行有限元仿真計(jì)算。將仿真結(jié)果與本文方算法結(jié)果和Carson單項(xiàng)近似結(jié)果對比分析。

在鋼軌互阻抗計(jì)算中，以60 kg/m的P60型鋼軌為研究對象，并按照鋼軌的實(shí)際尺寸對鋼軌模型進(jìn)行繪制。由于鋼軌是非線性鐵磁材料，易被磁化且具有磁滯現(xiàn)象，為了計(jì)算結(jié)果的精確性，考慮磁導(dǎo)率的非線性變化，由文獻(xiàn)[16]中的磁化曲線數(shù)據(jù)得到鋼軌B-H曲線參數(shù)。對道床和大地根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置材料屬性，各部分材料屬性如表1所示。由于軌道線路位于無限開放區(qū)域，直接仿真計(jì)算存在一定誤差，為此，需對無限開放區(qū)域進(jìn)處理，在Comsol軟件中，利用無限元的柱坐標(biāo)變換將無限開放區(qū)域轉(zhuǎn)換為有限區(qū)域，互阻抗有限元仿真模型見圖6。

表1 材料參數(shù)

圖6 互阻抗有限元仿真模型

考慮鋼軌的集膚效應(yīng)，添加物理場為磁場，并進(jìn)行頻域研究，激勵設(shè)置為50 Hz牽引回流。由電導(dǎo)率和電流頻率確定集膚深度，對模型網(wǎng)格剖分，鋼軌網(wǎng)格剖分及集膚效應(yīng)結(jié)果見圖7。對模型的歐姆損耗和磁場儲能進(jìn)行體積分，計(jì)算可得鋼軌交流互阻抗。

圖7 軌道電路有限元計(jì)算模型網(wǎng)格剖分

對仿真后的電磁場模型進(jìn)行處理，計(jì)算磁通電流密度和體積損耗密度。由圖8可以看出整個電磁場模型的電磁損耗分布，可知鋼軌和大地的損耗最多，其次是混凝土底座，空氣和無限元域的損耗最少。軌道電路既是軌道電路信號電流的通道，也是牽引回流的通道，當(dāng)有交流信號流經(jīng)鋼軌時(shí)，會在鋼軌周圍產(chǎn)生交變磁場，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，會在鋼軌、軌道板和大地中產(chǎn)生感應(yīng)電流，感應(yīng)電流的流動會產(chǎn)生焦耳熱，從而導(dǎo)致其能量損耗。渦流損耗的大小主要與導(dǎo)體的電導(dǎo)率有關(guān)，且導(dǎo)體的磁導(dǎo)率越大，所造成的能量損耗就越大。由表1的材料參數(shù)可知，鋼軌、大地、軌道板和空氣的電導(dǎo)率值呈遞減設(shè)置，致使其各材料的能量損耗也呈現(xiàn)出分布不均的現(xiàn)象。

圖8 整體模型有限元計(jì)算

根據(jù)表1中的參數(shù)，可分別基于本文算法和Carson單項(xiàng)近似法計(jì)算鋼軌互阻抗，將所得結(jié)果與有限元仿真計(jì)算結(jié)果相比較。互阻抗中的電阻部分和電感部分的對比分別見圖9和圖10。

圖9 互電阻計(jì)算方法比較

圖10 互電感計(jì)算方法比較

由圖9和圖10可知，較于Carson單項(xiàng)近似計(jì)算結(jié)果，本文計(jì)算結(jié)果和有限元仿真結(jié)果更為接近，其求解結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了本文算法的正確性。

為研究樣本點(diǎn)數(shù)對本文算法精度的影響，在電流頻率為10～10 000 Hz范圍內(nèi)，分別取NR=3 000、6 000、9 000、12 000計(jì)算鋼軌互電阻，同時(shí)分別取NI=5 000、10 000、15 000、20 000時(shí)計(jì)算鋼軌互電感。分別將其所得計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，并以NR=3 000和NI=5 000時(shí)的計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)，計(jì)算鋼軌互電阻和互電感在不同樣本點(diǎn)數(shù)時(shí)的相對誤差。相對誤差計(jì)算式為

(23)

式中：y0為取基本樣本點(diǎn)NR=3 000時(shí)的互電阻值及NI=5 000時(shí)的互電感值；y為取其他樣本點(diǎn)時(shí)的鋼軌阻抗值。計(jì)算所得鋼軌互電阻和互電感精度的相對誤差見圖11和圖12，并分別以δ1和δ2進(jìn)行表示。

圖11 互電阻精度誤差

圖12 互電感精度誤差

由圖11可知，當(dāng)頻率在10～10 000 Hz范圍內(nèi)，取NR=6 000,9 000,12 000時(shí)的互電阻與NR=3 000時(shí)的互電阻的相對誤差均隨著頻率的增加而減小，但誤差值均在0.07%以內(nèi)，表明當(dāng)NR>3 000時(shí)，樣本點(diǎn)數(shù)的增加對本文方法互電阻計(jì)算精度的影響很小。

由圖12可知，NI=10 000,15 000,20 000時(shí)的互電感與NI=5 000時(shí)的互電感的相對誤差隨著頻率的增加呈現(xiàn)非線性變化，但誤差值均在0.06%之內(nèi)，表明當(dāng)NI>5 000時(shí)，樣本點(diǎn)數(shù)的增加對本文方法互電感計(jì)算精度的影響很小。因此，選擇基本樣本點(diǎn)數(shù)NR=3 000和NI=5 000。

根據(jù)不同樣本點(diǎn)數(shù)取值時(shí)計(jì)算鋼軌互阻抗發(fā)現(xiàn)，所取樣本點(diǎn)數(shù)越多，分段線性近似精度就越高，本文計(jì)算結(jié)果越逼近有限元仿真結(jié)果，但是近似精度的變化率較小。樣本點(diǎn)的增多，導(dǎo)致計(jì)算所耗時(shí)間和所耗計(jì)算資源也會增加。故本文所取樣本點(diǎn)數(shù)既能保證計(jì)算精度且節(jié)省系統(tǒng)資源。在同一計(jì)算機(jī)配置下，有限元仿真計(jì)算時(shí)間約為本文算法計(jì)算時(shí)間的1.5倍，因此本文算法相較于有限元法的計(jì)算效率更高。

圖13和圖14是以有限元計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)，利用式(23)計(jì)算本文算法和Carson單項(xiàng)近似法與其值的相對誤差。其中，y表示本文方法和Carson單項(xiàng)近似法計(jì)算的鋼軌互阻抗值，y0表示有限元法計(jì)算的鋼軌互阻抗值。圖13、圖14中δ3、δ4分別表示本文算法與有限元法及Carson單項(xiàng)近似法與有限元法的互電阻和互電感的相對誤差。

圖13 互電阻計(jì)算誤差

圖14 互電感計(jì)算誤差

由圖13和圖14可知，兩種方法電阻和電感誤差都隨著頻率的增大而增大。10～10 000 Hz內(nèi)，本文算法所得電阻誤差的最大值為8%，小于單項(xiàng)近似法所得電阻誤差最大值16%。在10～10 000 Hz內(nèi)，本文算法所得電感誤差的最大值為8%，小于單項(xiàng)近似法所得電阻誤差最大值18%。因此，本文算法計(jì)算所得鋼軌互阻抗更加精確。

3 鋼軌互阻抗影響因素分析

3.1 考慮電流頻率對鋼軌互阻抗的影響

在電氣化區(qū)段，鋼軌中流經(jīng)的不僅有牽引電流還有信號電流。軌道電路信號電流為1 700～2 600 Hz，而牽引電流頻率為50 Hz。為了研究在寬頻條件下鋼軌互阻抗的變化規(guī)律，將電流頻率范圍設(shè)置為10～10 000 Hz[21]。

由圖9和圖10可知，鋼軌交流互電阻與互電感隨頻率呈非線性變化。具體來說，鋼軌互電阻隨著頻率呈正相關(guān)變化，在低頻時(shí)變化較緩慢，隨頻率的增大變化率逐漸增大。鋼軌互電感隨著頻率的增加而減小，在低頻時(shí)變化明顯，隨頻率的增大，變化越來越小，且逐漸趨于平穩(wěn)，這是因?yàn)榇蟮氐臏u流效應(yīng)起到了去磁作用。另外，頻率越大，去磁作用越強(qiáng)，互感越小。

3.2 考慮土壤電阻率對鋼軌互阻抗的影響

受不同環(huán)境、氣候的影響，會導(dǎo)致不同地理位置的土壤電阻率的變化。為研究土壤電阻率對軌道電路鋼軌互阻抗的影響規(guī)律，分別取頻率f=1 700、2 000、2 300、2 600 Hz，取土壤電導(dǎo)率為1～1 000 Ω/m。計(jì)算得到不同土壤電阻率下鋼軌互電阻和互電感隨頻率的變化曲線如圖15和圖16所示。

圖15 互電阻與土壤電阻率的關(guān)系

圖16 互電感與土壤電阻率的關(guān)系

由圖15和圖16可知，當(dāng)土壤電阻率在1～1 000 Ω/m范圍內(nèi)變化時(shí)，鋼軌互電阻和互電感均隨土壤電阻率的增大呈現(xiàn)上升趨勢。這是由于電阻率的增加，勢必導(dǎo)致大地渦流效應(yīng)的減弱，使得去磁效應(yīng)減小。且土壤電阻率一定時(shí)，頻率越高鋼軌互電阻越大。而對于互電感，在同一土壤電阻率下，鋼軌互電感隨頻率的增大而減小。綜合不同土壤電阻率對鋼軌互電阻和互電感的變化，可以得出，土壤電阻率對互電阻影響較大而對互電感影響較小。

3.3 考慮軌道離地高度對鋼軌互阻抗的影響

受不同路況、環(huán)境的影響，軌道高度也會有所不同。因此，進(jìn)行軌道高度對鋼軌互阻抗大小的影響分析。軌道高度分別取hi=0.2、0.4、0.6、0.8 m，取電流頻率為10～10 000 Hz，計(jì)算不同軌道高度下鋼軌互電阻和互電感的隨頻率的變化曲線，見圖17和圖18。

圖17 互電阻與軌道高度的關(guān)系

圖18 互電感與軌道高度的關(guān)系

由圖17和圖18可知，鋼軌互電阻和互電感隨軌道高度呈現(xiàn)非線性變化，其中互電阻隨頻率的增大呈上升趨勢，在同一頻率下，鋼軌互電阻隨軌道高度的增大呈負(fù)相關(guān)變化。對于互電感，隨著頻率的增大呈現(xiàn)下降趨勢，在同一頻率下，鋼軌互電感隨軌道高度呈現(xiàn)正相關(guān)變化。可以得出，軌道高度為0.2～0.8 m的范圍內(nèi)，軌道高度對鋼軌互電阻的影響較小，而對鋼軌互電感的影響較大。

4 結(jié)論

(1) 基于核函數(shù)分段線性逼近和截?cái)喾ㄓ?jì)算Carson公式時(shí)，避免了無窮積分區(qū)間及被積函數(shù)高頻振蕩問題。將本文計(jì)算結(jié)果、Carson單項(xiàng)近似結(jié)果與FEM仿真結(jié)果比較，本文計(jì)算方法誤差小于8%，計(jì)算精度更高。

(2) 由本文算法計(jì)算分析可知，鋼軌互電阻隨電流頻率的增大而增大，而鋼軌互電感隨電流頻率的增大而減小；鋼軌互電阻和鋼軌互電感均隨土壤電阻率增大而增大；鋼軌互電阻隨軌道高度的增大而減小，而鋼軌互電感隨軌道高度的增大而增大。