張玉元，張?jiān)?，?慧

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

剪力滯效應(yīng)是由于面內(nèi)不均勻的剪切變形引起彎曲正應(yīng)力沿橫向呈曲線分布的一種力學(xué)行為[1-3]。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究剪力滯效應(yīng)運(yùn)用最廣泛的方法是能量變分法[4-5]，其實(shí)質(zhì)是通過(guò)勢(shì)能駐值原理建立箱形梁截面控制微分方程，并結(jié)合邊界條件導(dǎo)出相應(yīng)物理量的解析解運(yùn)用。文獻(xiàn)[6-7]選取剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度為廣義位移，將剪力滯翹曲變形從彎曲變形狀態(tài)中分離出來(lái)，作為一種獨(dú)立的變形狀態(tài)進(jìn)行分析。此分析方法物理意義明確，求解過(guò)程簡(jiǎn)單，易于工程人員理解和應(yīng)用。文獻(xiàn)[8-9]將剪力滯效應(yīng)引起的腹板平截面縱向位移納入箱梁翹曲位移中，能量變分法建立了剪力滯翹曲變形的解析理論。文獻(xiàn)[10]選取最大剪切轉(zhuǎn)角差為廣義位移，將初等梁和剪力滯翹曲變形狀態(tài)進(jìn)行解耦分析，運(yùn)用能量變分法建立了以最大剪切轉(zhuǎn)角差為未知量的控制微分方程。文獻(xiàn)[11]從箱梁橫截面剪力流分布規(guī)律入手，重新定義了剪力滯翹曲位移函數(shù)及修正模式。文獻(xiàn)[12]將剪切變形納入箱梁翹曲位移模式中，使兩種變形狀態(tài)得到了耦合求解，從而降低了求解的復(fù)雜性，提高了撓度的計(jì)算精度。

對(duì)于箱梁總勢(shì)能表達(dá)式中的剪切應(yīng)變能計(jì)算，文獻(xiàn)中只考慮了縱向位移的偏導(dǎo)數(shù)，忽略了切向位移的影響，導(dǎo)致剪切應(yīng)變能得不到正確表達(dá)。此外，諸多文獻(xiàn)已揭示了考慮剪力滯效應(yīng)的截面縱向應(yīng)力分布規(guī)律，對(duì)翹曲應(yīng)力分布狀態(tài)的研究卻甚少。

本文運(yùn)用廣義坐標(biāo)法定義矩形箱梁的切向位移模式，選取剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度為廣義位移，運(yùn)用能量變分法建立考慮切向位移影響的箱梁剪力滯效應(yīng)解析理論。通過(guò)求解簡(jiǎn)支和懸臂箱梁算例，進(jìn)一步分析切向位移對(duì)箱梁剪力滯系數(shù)、附加撓度和廣義力矩的影響。

1 剪力滯翹曲位移與切向位移

如圖1所示，oxyz為直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)o位于截面形心處，s為截面周向坐標(biāo)；b1、b2分別為頂板和底板半寬，hu、hb分別為頂、底板中面至形心軸的距離，h為頂?shù)装逯忻嬷g的距離，tu、tb分別為頂、底板的厚度，tw為腹板厚度。矩形箱梁在任意對(duì)稱豎向分布荷載q(z)作用下將發(fā)生撓曲變形，其橫截面上任一點(diǎn)的剪力滯翹曲位移uω(s，z)為

圖1 矩形箱梁簡(jiǎn)圖

uω(s,z)=ω(s)f′(z)

(1)

式中：f為剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度；ω(s)為相應(yīng)于附加撓曲轉(zhuǎn)角-f′(z)的翹曲位移函數(shù)。

選取余弦函數(shù)[8]來(lái)描述翹曲位移模式，則矩形箱梁各板的剪力滯翹曲位移函數(shù)ω(s)為

(2)

式中：η為翹曲應(yīng)力自平衡修正系數(shù)；β為底板翹曲位移修正系數(shù)，即β=(b2/b1)2(hb/hu)。

根據(jù)幾何方程及胡克定律，由式(1)可得箱梁橫截面任一點(diǎn)的翹曲應(yīng)力σω(s,z)為

(3)

(4)

式中：Ix為箱梁全截面對(duì)x軸的慣性矩；I1、I2分別為箱梁頂板和底板對(duì)x軸的慣性矩。

與剪力滯翹曲應(yīng)力σω相應(yīng)的廣義力矩Mω可定義為

(5)

式中：Iω為剪力滯翹曲慣性矩。

(6)

將式(3)和式(5)整理可得翹曲應(yīng)力σω的另一表達(dá)式為

(7)

為了準(zhǔn)確描述箱梁彎曲變形時(shí)切向位移沿箱室中面的分布模式，利用Ansys有限元軟件計(jì)算繪制了矩形箱梁的切向位移分布，見圖2。根據(jù)分布圖可得箱梁的翹曲變形切向位移vω(s,z)為

圖2 矩形箱梁切向位移分布圖

vω(s,z)=φ(s)f(z)

(8)

式中：φ(s)為切向位移分布函數(shù)。

根據(jù)圖2可得矩形箱梁左半室的切向位移分布函數(shù)φ(s)為

(9)

式中：α1、α2分別為頂板和底板的切向位移修正系數(shù)。

根據(jù)幾何方程及胡克定律，由式(1)、式(8)可得箱梁截面任一點(diǎn)的翹曲剪應(yīng)力τω(s,z)為

(10)

箱梁發(fā)生翹曲變形時(shí)，各板在相應(yīng)的二維板面內(nèi)應(yīng)滿足平衡微分方程。如圖3所示，在箱梁截面上任取一點(diǎn)P，t為微元體箱室壁厚，則位于P點(diǎn)處的微元體沿縱向(z軸)建立平衡微分方程為

圖3 箱梁截面任一點(diǎn)P處的微元體

(11)

此處采用賦值法確定切向位移的修正系數(shù)，令f=f0sin(πz/l)，將其代入式(3)、式(10)、式(11)，并令s=b1，即可求得頂板切向位移修正系數(shù)α1的表達(dá)式為

(12)

式中：μ為泊松比。

同理，可求得底板切向位移修正系數(shù)α2為

(13)

2 控制微分方程及邊界條件

由彈性力學(xué)可知，箱形梁翹曲應(yīng)變能為

(14)

箱梁翹曲正應(yīng)變?chǔ)纽叵鄳?yīng)的應(yīng)變能U1為

(15)

箱梁翹曲剪應(yīng)變?chǔ)忙叵鄳?yīng)的應(yīng)變能U2為

(16)

式中：

(17)

外力勢(shì)能為

(18)

箱梁剪力滯翹曲總勢(shì)能可表達(dá)為

Π=U1+U2+V=

(19)

對(duì)總勢(shì)能泛函進(jìn)行一階變分運(yùn)算，并令δΠ=0，化簡(jiǎn)可得關(guān)于附加撓度的控制微分方程為

(20)

式中：k為考慮切向位移影響的Reissner參數(shù)，即

(21)

關(guān)于附加撓度的微分方程式(20)為一個(gè)四階常系數(shù)非齊次線性微分方程，其通解的一般形式為

f=C1+C2z+C3sinh(kz)+C4cosh(kz)+f*

(22)

式中：C1、C2、C3、C4分別為待定系數(shù)，可由邊界條件求出；f*為僅與q(z)分布有關(guān)的特解。

當(dāng)箱梁受均布荷載q作用時(shí)，其特解為

確定上述4個(gè)常數(shù)的邊界條件為

固定端：f=0，f′=0;

簡(jiǎn)支端：f=0，f″=0;

自由端：f″=0，f?-k2f′=0。

3 矩形箱梁剪力滯效應(yīng)解答

等截面簡(jiǎn)支箱梁受均布荷載作用見圖4，根據(jù)式(22)結(jié)合簡(jiǎn)支邊界條件即可求得箱梁附加撓度f(wàn)(z)為

(23)

均布荷載作用時(shí)簡(jiǎn)支箱梁截面任一點(diǎn)的縱向應(yīng)力σ(s，z)為

(24)

式中：hi為上、下翼板中面至截面形心軸的距離；σ0為初等梁正應(yīng)力。

均布荷載作用時(shí)簡(jiǎn)支箱梁剪力滯系數(shù)λ(s，z)的計(jì)算公式為

(25)

均布荷載作用時(shí)簡(jiǎn)支箱梁的廣義力矩Mω(z)為

Mω(z)=EIωf″(z)=

(26)

懸臂箱梁受均布荷載作用見圖5，根據(jù)式(22)結(jié)合懸臂邊界條件即可求得箱梁的附加撓度f(wàn)(z)為

(27)

均布荷載作用時(shí)懸臂箱梁截面任一點(diǎn)的縱向應(yīng)力σ(s，z)為

(28)

均布荷載作用時(shí)懸臂箱梁剪力滯系數(shù)λ(s，z)為

(29)

均布荷載作用時(shí)懸臂箱梁廣義力矩Mω(z)為

Mω(z)=EIωf″(z)=

(30)

4 算例分析

以跨度為0.8 m的矩形箱梁模型為例，截面尺寸及坐標(biāo)系見圖6，坐標(biāo)原點(diǎn)o位于截面形心處，材料彈性模量為3 GPa，泊松比為0.385，跨間作用均布荷載q=10 kN/m。

圖6 矩形箱梁截面尺寸及坐標(biāo)系(單位：mm)

由于結(jié)構(gòu)和荷載具有對(duì)稱性，此處只研究頂板的應(yīng)力狀態(tài)即可。在考慮和不考慮切向位移兩種情況下，按照本文方法計(jì)算簡(jiǎn)支和懸臂箱梁跨中截面計(jì)算點(diǎn)的剪力滯系數(shù)；利用Ansys-Solid45單元建立箱梁模型(共劃分了41 814個(gè)節(jié)點(diǎn)，27 600個(gè)單元)，計(jì)算得到相應(yīng)點(diǎn)的剪力滯系數(shù)，繪制剪力滯系數(shù)橫向分布見圖7，并列出關(guān)鍵點(diǎn)的剪力滯系數(shù)比較見表1。

圖7 跨中截面頂板剪力滯系數(shù)橫向分布

由圖7和表1可知，考慮切向位移的計(jì)算結(jié)果與有限元數(shù)值解吻合更好，與不考慮切向位移的計(jì)算結(jié)果相比，簡(jiǎn)支和懸臂箱梁跨中截面頂板肋處的剪力滯系數(shù)計(jì)算精度分別增加了6.03%和7.31%，頂板中點(diǎn)處的剪力滯系數(shù)計(jì)算精度分別提高了6.17%和4.95%。

為定量分析切向位移對(duì)矩形箱梁剪力滯效應(yīng)的影響，以簡(jiǎn)支和懸臂箱梁為例，計(jì)算并繪制頂板肋處和中點(diǎn)處的剪力滯系數(shù)縱向分布曲線、附加撓度及廣義力矩的縱向分布曲線，見圖8至圖10。

圖8 關(guān)鍵點(diǎn)剪力滯系數(shù)縱向分布圖

圖10 剪力滯廣義力矩縱向分布

由圖8可知，切向位移對(duì)簡(jiǎn)支箱梁剪力滯系數(shù)縱向分布的影響顯著大于懸臂箱梁；考慮和不考慮切向位移的簡(jiǎn)支箱梁剪力滯系數(shù)縱向分布差值比近似呈均勻分布，懸臂箱梁剪力滯系數(shù)縱向分布在梁端區(qū)域差值比較大，跨中部分差值比較?。豢紤]切向位移的計(jì)算結(jié)果更靠近于λ=1的水平直線，表明不考慮切向位移將會(huì)放大箱梁的剪力滯效應(yīng)。

由圖9可知，考慮切向位移的剪力滯附加撓度小于未考慮的計(jì)算結(jié)果；考慮和不考慮切向位移時(shí)簡(jiǎn)支箱梁的附加撓度差值比由支點(diǎn)向跨中遞增，懸臂箱梁附加撓度差值比由固定端向自由端遞增；簡(jiǎn)支箱梁跨中截面附加撓度減小了57.78%，懸臂箱梁自由端附加撓度減小了55.49%。

由圖10可知，考慮切向位移的剪力滯廣義力矩小于未考慮的計(jì)算結(jié)果；切向位移對(duì)簡(jiǎn)支箱梁剪力滯廣義力矩的影響遠(yuǎn)大于懸臂箱梁；考慮和不考慮切向位移時(shí)簡(jiǎn)支箱梁的廣義力矩差值比由支點(diǎn)向跨中遞減；簡(jiǎn)支箱梁端部廣義力矩減小了54.84%，懸臂箱梁固定端廣義力矩減小了24.59%。

5 結(jié)論

(1)采用廣義坐標(biāo)法定義了矩形箱梁各板的切向位移模式及其分布函數(shù)，選取剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度為廣義位移，運(yùn)用能量變分法建立了考慮切向位移影響的箱梁剪力滯效應(yīng)解析理論。算例分析表明，考慮切向位移的計(jì)算結(jié)果與有限元數(shù)值解吻合更好，從而驗(yàn)證了本文方法的正確性。

(2)剪力滯系數(shù)分析表明，考慮切向位移時(shí)簡(jiǎn)支和懸臂箱梁跨中截面頂板肋處的剪力滯系數(shù)計(jì)算精度分別提高了6.03%和7.31%，剪力滯系數(shù)縱向分布曲線更靠近于λ=1的水平直線。

(3)考慮切向位移的剪力滯附加撓度和廣義力矩均小于未考慮的計(jì)算結(jié)果。簡(jiǎn)支箱梁跨中截面和懸臂箱梁自由端處的附加撓度減小了57.78%和55.49%；簡(jiǎn)支箱梁端部和懸臂箱梁固定端處的廣義力矩減小了54.84%和24.59%。