黃 熙，饒 識，譚艷蓉，郭健勇，陳飛明，管 薇，胡中華，許明耀

(1. 武漢紡織大學(xué) 數(shù)理科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430200；2. 湖北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430068)

0 引言

《大學(xué)物理》是大專院校理、工科學(xué)生必修的一門全校公共基礎(chǔ)課程，通過該課程的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生掌握基本的物理概念、物理思想、物理方法以及提高分析問題、解決問題的能力。學(xué)習(xí)《大學(xué)物理》[1～4]要借助于《高等數(shù)學(xué)》中的矢量分析、導(dǎo)數(shù)和微積分的運用等內(nèi)容[5,6]，所以在教學(xué)計劃中該課程一般是安排在大一下學(xué)期和大二上學(xué)期，學(xué)生先要修完《高等數(shù)學(xué)》。然而，正是由于學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)不扎實，沒有真正理解導(dǎo)數(shù)、微積分的意義，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)《大學(xué)物理》信心不足甚至有畏難情緒。當(dāng)然，《大學(xué)物理》掛科率高除了上述談到的客觀原因外與學(xué)生自身的主觀原因也是密切相關(guān)，其詳細(xì)原因以及應(yīng)對的措施可以參考文獻(xiàn)[7]。本文重點探討微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用，包括極限思想、微元、積分方向、標(biāo)量和矢量求導(dǎo)、標(biāo)量和矢量積分、微積分方法、導(dǎo)數(shù)和積分的幾何意義等方面。

1 微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用

《微積分》是十七世紀(jì)由英國科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別獨自創(chuàng)立的，牛頓是從運動學(xué)角度研究微積分，而萊布尼茨側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。利用微積分來處理運動學(xué)和幾何學(xué)的問題，歸納起來有以下四類：第一類問題是研究運動學(xué)時求瞬時物理量，比如瞬時速度、瞬時加速度等；第二類問題是求曲線的切線；第三類問題是求函數(shù)的極值，比如極大值和極小值；第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積和體積、物體的重心等。下面，我們具體討論微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用。

1.1 極限思想

(a) (b)

1.2 微元

(a) (b)

1.3 積分方向

1.4 標(biāo)量和矢量求導(dǎo)、標(biāo)量和矢量積分

例題1：如圖3所示，正電荷q均勻分布在半徑為R的圓環(huán)上。計算通過環(huán)心點O并垂直圓環(huán)平面的軸線上任一點P處的電場強(qiáng)度。

圖3 例題1

根據(jù)幾何關(guān)系，可得

1.5 常見的微積分方法

在《大學(xué)物理》所用到常見的微積分方法簡單地總結(jié)一下有：以直代曲法、分離變量法和積分常量提出法等[8]。以直代曲法的核心思想就是極限思想，在求變力做功、在非均勻電(磁)場穿過形狀任意曲面的電(磁)通量、形狀任意的載流導(dǎo)線在非均勻磁場所受的安培力等都有應(yīng)用。舉一個大家比較容易理解的例子——求曲邊梯形面積：把曲邊梯形分割成許多要有多小就有多小的矩形，對所有矩形的面積求和即曲邊梯形的面積。

圖4 例題2

解：由小球受力分析，根據(jù)牛頓第二定律，列出分量式

FT-mgcosθ=man

(1)

-mgsinθ=mat

(2)

FT-mgcosθ=mν2/l

(3)

(4)

對(4)式直接分離變量求解，計算不出速率ν，必須將積分變量進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即

分離變量，方程兩邊同時取定積分，有

求得

(5)

圖5 重力做功示意圖

1.6 導(dǎo)數(shù)和積分的幾何意義

2 結(jié)束語

以上我們總結(jié)了導(dǎo)數(shù)、微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用，包括極限思想、微元、積分方向、標(biāo)量和矢量的求導(dǎo)和積分、微積分方法和導(dǎo)數(shù)、積分的幾何意義。通過探討導(dǎo)數(shù)、微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用，可以使學(xué)生、教師對導(dǎo)數(shù)、微積分的物理和幾何意義有更深入地理解和掌握。教學(xué)質(zhì)量是教學(xué)的生命線，只有掌握好導(dǎo)數(shù)、微積分等基本應(yīng)用，才能進(jìn)一步提高大學(xué)物理教學(xué)質(zhì)量[9]。當(dāng)然，導(dǎo)數(shù)和微積分作為《高等數(shù)學(xué)》的基本知識點在其他學(xué)科也有很多方面的應(yīng)用，所以把握好導(dǎo)數(shù)和微積分對于學(xué)習(xí)其他學(xué)科可以起到事半功倍的效果。