汪東生

（安徽師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校城東校區(qū) 安徽蕪湖 241000）

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，如何真正做到精講精練，提高復(fù)習(xí)效率，是數(shù)學(xué)老師所面對(duì)的一個(gè)重要課題。下面以一節(jié)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“平面向量的數(shù)量積”為例。通過對(duì)經(jīng)典例題的挖掘，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究、變中生成的教學(xué)，希望對(duì)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)有所啟發(fā)。

一、課堂教學(xué)簡錄與反思

（一）課前練習(xí)

（二）課前思考

①求向量的數(shù)量積的方法有哪些？②向量的數(shù)量積有哪些應(yīng)用？

二、一題多變，呈現(xiàn)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

例1 已知|a|=1，|b|=2，向量a與b的夾角60°，求a·(b-a)的值。

師：請(qǐng)同學(xué)們快速給出答案。

學(xué)生齊答：a·(b-a)＝a·b-a2=0.

師：很好！通過本題，我們復(fù)習(xí)了向量數(shù)量積的公式：a·b=|a|·|b|cosθ.請(qǐng)?jiān)倏聪乱活}。

變式1 已知|a|=1，|b|=2，且向量a與b-a垂直，求向量a與b夾角。

變式2 已知|a|=1，|b|=2，向量a與b的夾角60°，求向量a與2a-b的夾角。

生2：先求出|2a-b|＝2和a·(2a-b)=1，再用公式求出其夾角為60°。

生3：畫圖，發(fā)現(xiàn)向量2a，b和2a-b構(gòu)成一個(gè)正三角形，直接看出。

師：非常棒！向量本質(zhì)是幾何概念，利用數(shù)學(xué)結(jié)合的方法快速解題。我們根據(jù)他這個(gè)圖你們能否求出向量a與2a＋b的夾角？

學(xué)生齊答：30°

變式3 已知|a|=1，|b|=2，向量a與b的夾角60°，求 |2a-b|和|a+b|。

師：公式記憶很熟，在三角形中我們還可以用余弦定理求解|a+b|！再看題。

師：他是用向量數(shù)量積的公式。注意找兩向量夾角要平移使得它們共起點(diǎn)，那兩向量夾角范圍是？

學(xué)生齊答：0≤θ≤π！

師：如果本題∠O不是特殊角60°還行嗎？請(qǐng)?jiān)倏聪乱活}。

反思：通過課前練習(xí)，當(dāng)堂投影學(xué)生作品蘇醒知識(shí)。然后從問題1出發(fā)，通過變式幫助學(xué)生復(fù)習(xí)了數(shù)量積定義、夾角公式、模長公式，通過數(shù)形結(jié)合體會(huì)向量數(shù)量積本質(zhì)。

三、一題多解，使求解方法清晰

師：他對(duì)平面向量數(shù)量積的公式的本質(zhì)理解了，他把兩個(gè)向量投影到一個(gè)向量上，用共線向量的長度來計(jì)算，我們把這種方法稱為投影法，當(dāng)然還需要觀察兩個(gè)向量的夾角是銳角還是鈍角，以確定符號(hào).誰還有其他方法？

學(xué)生根據(jù)題意說出選擇思路。

師：剛才同學(xué)們的這些解法，從不同的角度解決了這個(gè)問題，希望學(xué)生通過三種解法的比較，學(xué)會(huì)根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇最優(yōu)的方法解題。

反思：通過例2、變式1、2的分析、講解、示范，學(xué)生可以清楚地知道求解向量數(shù)量積的分析和求解方法?？紤]變式數(shù)量要“適度”，盡量避免題量展示解法展覽，減輕學(xué)生無效勞動(dòng)，因此變式3、4讓學(xué)生說出思路即可。