常景嵐，張高峰，曹秀芳，楊秀萍*，王收軍

（1.天津理工大學(xué)a.天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，b.機(jī)電工程國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，天津300384；2.南京晨光集團(tuán)有限責(zé)任公司，南京210006）

電液伺服系統(tǒng)由于具備響應(yīng)快、精度高、維護(hù)方便、傳動(dòng)效率高等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用在航空航天、軍工、礦山機(jī)械、冶金煉金等領(lǐng)域[1]。然而電液伺服系統(tǒng)作為典型的傳動(dòng)系統(tǒng)，其控制精度受到建模不完整和非線性因素的影響[2]，這就對(duì)其控制策略提出了很高的要求。

為了提高電液伺服系統(tǒng)的控制精度，文獻(xiàn)[3]建立了盡可能詳細(xì)的電液系統(tǒng)模型，運(yùn)用自適應(yīng)魯棒控制策略。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[4]使用濾波器來(lái)避免虛擬控制器中的復(fù)雜微分項(xiàng)，但其只依靠非線性反饋?lái)?xiàng)來(lái)處理模型中各種不確定性，獲得的控制性能只能在較小干擾下保持。文獻(xiàn)[5]采用有限時(shí)間滑?？刂?，但無(wú)法消除不匹配干擾對(duì)于系統(tǒng)控制性能的影響。觀測(cè)器理論上可以對(duì)系統(tǒng)中未知干擾進(jìn)行估計(jì)，從而提高系統(tǒng)抗干擾能力[6-7]。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了非線性觀測(cè)器，但其采用的魯棒控制法需要依靠很大的反饋增益來(lái)保證系統(tǒng)穩(wěn)定性，而過(guò)大的反饋增益會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)控制器在設(shè)計(jì)初時(shí)的一些前提條件被破壞，進(jìn)而使系統(tǒng)發(fā)散。

因此，本文針對(duì)電液伺服系統(tǒng)高度非線性和模型不確定性的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一個(gè)不匹配干擾來(lái)描述系統(tǒng)的模型誤差，建立了考慮摩擦以及不匹配干擾的閥控缸數(shù)學(xué)模型。通過(guò)設(shè)計(jì)觀測(cè)器來(lái)預(yù)測(cè)系統(tǒng)中存在的不匹配干擾，使用基于參數(shù)映射的自適應(yīng)律處理系統(tǒng)中的不確定參數(shù)，同時(shí)由非線性反饋?lái)?xiàng)抑制誤差造成的影響。本文設(shè)計(jì)的控制器可以有效抑制不匹配干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，減少控制器對(duì)于高增益反饋的依賴(lài)，顯著提高系統(tǒng)的控制精度。

1 電液系統(tǒng)模型的建立

如圖1所示的電液伺服系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

圖1 單桿活塞缸電液伺服系統(tǒng)Fig.1 Electro-hydraulic servo system of single rod piston cylinder

式中：m為負(fù)載質(zhì)量；y為液壓缸輸出位移；p1、p2為液壓缸左右兩腔壓力；A1、A2為液壓缸左右兩腔活塞的工作面積；B、Af、、d（x，t）分別為黏性阻尼系數(shù)、庫(kù)侖摩擦系數(shù)、類(lèi)似庫(kù)侖摩擦形狀的函數(shù)、建模誤差和模型中未建立部分。

對(duì)于液壓缸兩腔的壓力：

式中：V1、V2分別為液壓缸左右兩腔實(shí)際容積；E為液壓油彈性模量；Ct為液壓缸泄露系數(shù)；pL=p1-p2為液壓缸左右兩腔壓差；q1、q2分別為伺服閥流入和流出液壓缸左右兩腔的流量。

假設(shè)1：伺服閥對(duì)稱(chēng)匹配，伺服閥頻寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)頻寬，且0＜pr＜p1＜ps，0＜pr＜p2＜ps，則對(duì)于伺服閥流量有

式中：g為伺服閥控制流量增益；u為系統(tǒng)控制輸入；ps、pr為供油端壓力和回油端壓力；s（u）=

由式（1）定義系統(tǒng)狀態(tài)變量為：x=[x1，x2，x3]T=

假設(shè)2：對(duì)于未知參數(shù)φ、建模誤差和未建模部分，其范圍已知

其中：φmin=[φ1min，φ2min，φ3min]T，φmax=[φ1max，φ2max，φ3max]T分別為向量φ的下界和上界；δd為已知有界函數(shù)。

假設(shè)3：系統(tǒng)參考的指令信號(hào)x1d（t）三階連續(xù)有界。

2 控制器設(shè)計(jì)

首先將式（4）中的d（x，t）擴(kuò)張為冗余狀態(tài)xe，并令xe=-d（x，t）/m，則x˙e=h（t），于是式（4）擴(kuò)張后的系統(tǒng)狀態(tài)方程為

基于式（6）的設(shè)計(jì)觀測(cè)器為

其中·i表示向量·中的第i個(gè)元素。定義如下自適應(yīng)律：

式中：Γ＞0為自適應(yīng)增益，是一個(gè)正定對(duì)角矩陣；τ為自適應(yīng)函數(shù)。通過(guò)分析式可知，參數(shù)的范圍可控，且相同于式（5）中φ的范圍，可得出如下性質(zhì)：

定義下面誤差變量：

式中：e1表示系統(tǒng)跟蹤誤差。

由式（4）、（11）可得

為了使e2趨于0，將x3看做式（12）中的一個(gè)控制輸入，并設(shè)計(jì)控制函數(shù)α2

式中：k2s1為控制器參數(shù)，且k2s1＞0；α2a是模型補(bǔ)償項(xiàng)；α2b為系統(tǒng)線性穩(wěn)定反饋；α2c為非線性反饋。

定義e3=x3-α2，則由式（12）、（13）得：

其中：η2T=[-x2，-Sf（x2），0]，選擇合適的α2c從而滿足如下條件：

式中：σ1為大于零的控制器設(shè)計(jì)參數(shù)；k2s2＞0為非線性反饋增益[2]。

由e3定義以及式（4）得知

通過(guò)分析α˙2可知，它包括可計(jì)算的偏微分部分和不可計(jì)算的部分，因此將兩者分別歸為α2d和α2e。

由式（16）、（17）可得控制器u結(jié)構(gòu)如下

式中：k3s1為控制器參數(shù)，且k3s1＞0；ua是模型補(bǔ)償項(xiàng)；ub為系統(tǒng)線性穩(wěn)定反饋；uc為非線性反饋。

將式（18）代入式（16）可得

式中：σ2為大于零的控制器設(shè)計(jì)參數(shù)；k3s2＞0為非線性反饋增益[2]。

3 控制器性能分析

綜合設(shè)計(jì)參數(shù)k1，k2s1，k3s1，使下面矩陣Λ為正定矩陣：

定理：令自適應(yīng)函數(shù)τ=η2e2+η3e3，設(shè)計(jì)的控制器u具有如下性質(zhì)：

①系統(tǒng)中所有信號(hào)皆為有界信號(hào)；

證明：對(duì)于定理①設(shè)置如下Lyapunov函數(shù)

對(duì)式（22）Lyapunov函數(shù)微分，結(jié)合式（11）、式（14）、式（19）可得

根據(jù)式（15）、式（20）和正定矩陣Λ可得

式中：ρ=2λmin（Λ）μ；λmin（Λ）為矩陣Λ的最小特征值；μ為向量中最小的元素；σ=σ1+σ2。

對(duì)式（24）解微分不等式可得

由式（25）可得出V是有界的，結(jié)合式（22）可證明定理①。

根據(jù)式（15）、式（20），可得

根據(jù)式（9）以及自適應(yīng)函數(shù)Γ=η2e2+η3e3，可得

根據(jù)式（10），可得

式中K∈Lp，p=2[9]。對(duì)K求導(dǎo)，結(jié)合式（11）、式（14）、式（19）并由定理①得知，K˙有界。根據(jù)Barbalat引理，由文獻(xiàn)[9]中引理5可知，再由λmin（Λ）＞0可知，

4 仿真驗(yàn)證

在Matlab中搭建系統(tǒng)模型驗(yàn)證本文提出的控制策略的有效性，為使得模型更加接近實(shí)際情況，系統(tǒng)參數(shù)參考文獻(xiàn)[10]的表4：B=4 000 N·s/m；Af=119 N；Ct=7×10-12m5/（N·s）；E=7×108Pa；A1=12.56×10-4m2；A2=9.42×10-4m2；Sf=2arctan（1 000x2）/π；Ps=8×106Pa；Pr=0 Pa；g=7×

取下面3種控制策略進(jìn)行仿真對(duì)比。

1）基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的自適應(yīng)魯棒控制器（extended state observer adaptive robust controller，ESOARC）?？刂葡到y(tǒng)參數(shù)為：k1=200；k2s1+k2s2=160；k3s1+k3s2=80；φmin=[3 970，90，4×10-12]；φmax=[4 030，130，1×10-11]；φ（0）=[3 970，90，4×10-12]；自適應(yīng)增益Γ=diag[50，20，1×10-25]；觀測(cè)器參數(shù)ω0=1 000。

2）自適應(yīng)魯棒控制器（adaptive robust controller，ARC）。不包含干擾估計(jì)部分，其他參數(shù)與ESOARC控制器相同。

3）PID（proportion integration differentiation）控制器?？刂破鲄?shù)為kp=1 500，ki=600，kd=0。

工作條件如下：最大運(yùn)動(dòng)速度為15 mm/s；頻率為0.5 Hz；系統(tǒng)外部干擾d（x，t）=50 sin（πt）；在10 s時(shí)添加持續(xù)10 s的階躍干擾d（x，t）=50 sin（πt）+100，以檢測(cè)系統(tǒng)的抗干擾能力。仿真時(shí)間30 s，設(shè)定仿真中指令信號(hào)為：x1d=0.015 sin（πt）/π。

仿真指令信號(hào)如圖2所示。分析圖3，PID控制器在0～10 s和20～30 s期間的跟蹤誤差達(dá)到（±8）mm，在10～20 s間由于階躍干擾的影響誤差出現(xiàn)較大的波動(dòng)，達(dá)到了（±23）mm。由此看出：強(qiáng)干擾對(duì)于PID控制器的影響較大，其魯棒性較差；ARC控制器跟蹤誤差較PID控制器有很大改善，但其跟蹤精度仍不理想，受階躍干擾的影響較大，且通過(guò)圖4可知，自適應(yīng)過(guò)程由于被強(qiáng)干擾污染導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)失效；而本文設(shè)計(jì)的ESOARC控制器全程都保持較好的跟蹤性能。由圖5可知，觀測(cè)器可以準(zhǔn)確對(duì)干擾進(jìn)行預(yù)測(cè)，并在系統(tǒng)控制器中進(jìn)行補(bǔ)償，使得控制器在強(qiáng)干擾作用下依然保持很好的魯棒性。通過(guò)圖6可知，雖然階躍干擾對(duì)自適應(yīng)過(guò)程產(chǎn)生了影響，但參數(shù)估計(jì)仍然保持穩(wěn)定并向真實(shí)值靠近。通過(guò)圖7可以看出，相比于PID控制器和ARC控制器，ESOARC控制器的控制信號(hào)更加平滑，更有利于在實(shí)際系統(tǒng)中實(shí)施。

圖2 指令信號(hào)Fig.2 Reference signal

圖3 跟蹤誤差Fig.3 Tracking error

圖4 ARC參數(shù)估計(jì)Fig.4 ARC parameter estimation

圖5 干擾估計(jì)Fig.5 Disturbance estimation

圖6 ESOARC參數(shù)估計(jì)Fig.6 ESOARC parameter estimation

圖7 控制輸入Fig.7 Control input

5 結(jié)論

本文針對(duì)電液伺服系統(tǒng)存在高度非線性以及模型不確定性的特點(diǎn)，將觀測(cè)器和采用反步法設(shè)計(jì)的自適應(yīng)魯棒控制器相融合，其中：觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)中存在的不匹配干擾進(jìn)行估計(jì)，在系統(tǒng)控制器中前饋補(bǔ)償；自適應(yīng)魯棒控制器通過(guò)自適應(yīng)律得出未知參數(shù)的估計(jì)值，由不連續(xù)參數(shù)映射約束參數(shù)估計(jì)值的范圍，在控制器中用作模型補(bǔ)償；由非線性反饋?lái)?xiàng)抑制不匹配干擾估計(jì)誤差和參數(shù)估計(jì)誤差對(duì)系統(tǒng)的影響。利用Lyapunov定理驗(yàn)證了控制器的性能，并在Matlab仿真中測(cè)試了控制器在階躍干擾下的控制性能。結(jié)果表明，與PID控制器和ARC控制器相比，ESOARC控制器能有效抑制非匹配干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，提高了系統(tǒng)的控制精度。