江西省高安中學 (330800) 朱細秀
試題(雅禮中學2021年模考試題)已知函數(shù)f(x)=aex+2x-1(期中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)證明:對任意的a≥1,當x>0時,f(x)≥(x+ae)x.
分析:要證函數(shù)不等式,主要是利用函數(shù)的導數(shù),通過單調(diào)性判斷作出證明,但求導前都必須對函數(shù)式進行變形,不同的變形就可得到不同的證明路徑,函數(shù)不等式證明的一般途徑為:變形——求導——探討導數(shù)值與0的大小——由單調(diào)性確定不等式成立的條件.
解:(1)∵f(x)=aex+2x-1,∴f′(x)=aex+2.
(ⅰ)a≥0時,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,+∞)上單增.
評注:上述證法中,根據(jù)題設條件,a≥1,x>0得出ax>0,故在對函數(shù)式變形中,兩邊同除ax,使得后面的求導能找到公因式x-1,剩下只要簡證一下ex>x+1,由此g′(x)與0的關系立見分曉.
(法2)欲證aex+2x-1≥x2+aex,即證aex-aex≥x2-2x+1=(x-1)2②.∵a≥1,∴aex-aex=a(ex-ex)≥ex-ex.令g(x)=ex-ex,則g′(x)=ex-e.∴當x∈(0,1)時,g′(x)<0,∴g(x)在(0,1)上單減,x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,∴g(x)在(1,+∞)上單增,∴g(x)在x=1時取最小值,且g(x)min=g(1)=0,∴g(x)≥0.∴當x=1時,②成立.
評注:證法2與證法1的變形及思想方法一致,先進行放縮,a(ex-ex)≥ex-ex,然后兩邊同除以x得到類似表達式,后面的求導等證法基本雷同.類似地,對②式進行以變形還可得另一類似證法.
(法3)原不等式等價于aex-x2-eax+2x-1≥0,令g(x)=aex-x2-aex+2x-1,則g′(x)=aex-2x-ae+2=a(ex-e)-2(x-1),g″(x)=aex-2③.
(ⅰ)當a≥2時,g″(x)>0,∴g′(x)在(0,+∞)上單增,又g′(1)=0,x∈(0,1)g′(x)<0,g(x)在(0,1)單減,x∈(1,+∞),g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)單增.∴g(x)≥g(1)=0.
評注:證法3對函數(shù)表達式不做任何變形,只進行了移項,然后進行了二次求導,并對a分類討論,在各種情況下,確定g′(x)的單調(diào)性,最后得到g(x)的最小值等于零,證明不等式成立.顯然,證法3證明過程最復雜,所以求解中注重適當變形,對證題有事半功倍之效.