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        條件轉(zhuǎn)化法在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用舉隅

        2021-09-06 06:44:14江西省吉安市第一中學(xué)343000郭天平李作濱
        關(guān)鍵詞:特殊化元法等價(jià)

        江西省吉安市第一中學(xué) (343000) 郭天平 李作濱

        條件轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在,我們?nèi)裟苷莆者@種轉(zhuǎn)化策略,在遇到一些數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、隱蔽而難以解決的問題時(shí),就可使生疏的問題熟悉化、抽象的問題具體化、復(fù)雜的問題簡單化,從而順利解決問題[1].常見的條件轉(zhuǎn)化方法有直接轉(zhuǎn)化法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法等,本文列舉幾例予以說明.

        例1 已知函數(shù)f(x)為二次函數(shù),它的最小值為1,且對任意x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立,又f(0)=3.求f(x)的解析式.

        評注:本題就是把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或者基本圖形問題,由問題直接轉(zhuǎn)化,得出結(jié)論.

        評注:本題是運(yùn)用換元法,使生疏的問題熟悉化,把無理式轉(zhuǎn)化為有理式或者使整式降冪等,把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)換成簡單問題,從而解決問題.

        例3 若對任意的k∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,求x的取值范圍.

        析解1:本題給的已知條件是k的范圍,應(yīng)用函數(shù)換元思想,可以把式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一元一次不等式g(k)=(x-2)k+x2-4x+4>0,在k∈[-1,1]時(shí)恒成立.只需要g(-1)>0且g(1)>0,即x2-5x+6>0且x2-3x+2>0,解得x<1或x>3.

        析解2:本題也可以從另外一個(gè)角度進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化,結(jié)合一元二次函數(shù)圖形來分析.考慮畫出函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x+4-2k=(x-2)[x-(2-k)]的圖像,圖像與x軸有兩交點(diǎn)分別是2和2-k,結(jié)合k∈[-1,1],2-k∈[1,3],知函數(shù)圖像隨著k取值變化而變動.作出拋物線圖像,易得要使得能夠滿足函數(shù)取值恒大于零的條件為x<1或x>3.

        析解3:本題還可轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題來處理.函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,即為x2-4x+4>k(2-x)對任意的k∈[-1,1]恒成立,也即函數(shù)y=x2-4x+4的圖像恒在y=k(2-x)圖像上方,所以滿足條件的x值為x<1或x>3.

        評注:在研究函數(shù)問題時(shí),常借助函數(shù)的圖像特征,對判別式、給定區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值、對稱軸與該區(qū)間的相對關(guān)系進(jìn)行全面綜合應(yīng)用.

        圖1

        析解:本題常規(guī)解法可以利用求根公式,也可以結(jié)合函數(shù)的圖形來分析,但要特別注意條件之間轉(zhuǎn)換的等價(jià)性,如果轉(zhuǎn)換不等價(jià),就會出錯(cuò).

        圖2

        評注:等價(jià)轉(zhuǎn)化法就是把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化,并證明特殊化后的問題和結(jié)論都適合原問題.分析發(fā)現(xiàn),在進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化的過程中,要進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,圖像之間的轉(zhuǎn)化也是等價(jià)的,對于重合的圖像,要單獨(dú)分析,從而確保解的個(gè)數(shù)不重不漏.

        綜上可見,一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決,關(guān)鍵就在于如何合理使用條件轉(zhuǎn)化解決問題,將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決問題的一般策略.

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