譚毓澄 鄧長(zhǎng)壽 彭 虎

(九江學(xué)院理學(xué)院 江西九江 332005)

拉格朗日乘數(shù)法是求條件極值的非常重要的方法，但關(guān)于其中的乘數(shù)不同的人有不同的理解.文獻(xiàn)[1]把它理解為一個(gè)特定的數(shù)，文獻(xiàn)[2]則理解為一個(gè)獨(dú)立的變量，其實(shí)經(jīng)典的理解[3]是把乘數(shù)看成變量的函數(shù).對(duì)參數(shù)的不同理解直接影響拉格朗日乘數(shù)法的后續(xù)探討.文章基于把乘數(shù)理解為變量的函數(shù)，導(dǎo)出了關(guān)于條件極值存在的若干結(jié)論.論文對(duì)定理1給出了詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程.定理2與定理3的證明可統(tǒng)一歸于定理4的證明中.關(guān)于條件極值存在的充分條件，一些文獻(xiàn)[1-2,5-6]已給出不少結(jié)論，但限于沒(méi)有找到恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式，所得結(jié)論或是不具有一般性，或是操作性不好.

1預(yù)備知識(shí)

引理1設(shè)ai,bi,cij(i,j=1,2,…,n)均為實(shí)數(shù)，則

證明

2 條件極值存在的充分條件

2.1單條件下的一元復(fù)合函數(shù)情形

拉格朗日乘數(shù)法本質(zhì)上還是來(lái)源于無(wú)條件極值的方法.設(shè)函數(shù)f(x,y)，φ(x,y)均存在連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，條件φ(x,y)=0，在一定條件下可確定y關(guān)于x的函數(shù).此時(shí)z就是關(guān)于x的一元復(fù)合函數(shù)，所求的極值問(wèn)題實(shí)際上就是一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題.考慮復(fù)合函數(shù)二階可導(dǎo)情形，要找到函數(shù)的極值點(diǎn)，自然首先尋找一階導(dǎo)為零的點(diǎn).即解方程組：

為了使數(shù)學(xué)形式更具有美感，令；

則上述方程組等價(jià)于該形式：

(1)

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y),

則方程組(1)即為：

(2)

在此把方程組(2)簡(jiǎn)稱為拉氏方程組.從上文可看出λ確實(shí)是變量x,y的函數(shù)，但方程組(2)形式上又是把λ當(dāng)成數(shù)值對(duì)待.把方程組(1)記為方程組(2)的形式完全是出于記憶的方便.若由拉氏方程組解得了P0(x0,y0,λ0)，則得到了原極值問(wèn)題的可能極值點(diǎn)M0(x0,y0).到底M0(x0,y0)是不是極值點(diǎn)？一般教材[3-4]都是建議按問(wèn)題的實(shí)際意義或幾何意義來(lái)加以判斷.下面利用z關(guān)于x的二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)M0(x0,y0)的符號(hào)加以考察.

即：

簡(jiǎn)化得：

記

(1)當(dāng)Dxx(P0)>0時(shí)，點(diǎn)M0(x0,y0)為條件極值的極小值點(diǎn)；

(2)當(dāng)Dxx(P0)<0時(shí)，點(diǎn)M0(x0,y0)為條件極值的極大值點(diǎn).

例1 求函數(shù)z=xy在條件3x+2y=1下的極值.

解：令f(x,y)=xy，φ(x,y)=3x+2y-1，L(x,y,λ)=xy+λ(3x+2y-1)

Lx=y+3λ,Ly=x+2λ,Lxx=0,Lxy=1,Lyy=0φx=3,φy=2

由拉氏方程組可得點(diǎn)P0(1/6,1/4,-1/12)，于是

故點(diǎn)M0(1/6,1/4)為本題的極大值點(diǎn).

2.2 單條件下的二元復(fù)合函數(shù)情形

對(duì)極值問(wèn)題u=f(x,y,z)，s.t.φ(x,y,z)=0

進(jìn)行類似上述的分析.不妨設(shè)方程φ(x,y,z)=0確定了z關(guān)于x,y的二元函數(shù)，并設(shè)f(x,y,z)，φ(x,y,z)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).此時(shí)需如下的判別量：

定理2 設(shè)f(x,y,z)，φ(x,y,z)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，并設(shè)φz≠0.現(xiàn)考慮函數(shù)f(x,y,z)在條件φ(x,y,z)=0下的極值.若按拉格朗日乘數(shù)法求得P0(x0,y0,z0,λ0)，M0(x0,y0,z0)，則：

(1)當(dāng)HP0為正定矩陣時(shí)，點(diǎn)M0為極小值點(diǎn)；

(2)當(dāng)HP0為負(fù)定矩陣時(shí)，點(diǎn)M0為極大值點(diǎn)；

(3) 當(dāng)HP0為不定矩陣時(shí)，點(diǎn)M0不是極值點(diǎn).

2.3兩個(gè)條件下的一元復(fù)合函數(shù)情形

下面考慮帶兩個(gè)約束條件的極值問(wèn)題

u=f(x,y,z)，s.t.φ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0

此時(shí)拉格朗日函數(shù)定義為：

L(x,y,z)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)+μψ(x,y,z)

設(shè)按極值點(diǎn)存在的必要條件求得點(diǎn)P(x,y,z,λ,μ)，則：

另引入記號(hào)：

按隱函數(shù)求導(dǎo)，以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，在可能極值點(diǎn)(x,y,z)處二階導(dǎo)為：

記

定理3 設(shè)f(x,y,z),φ(x,y,z),ψ(x,y,z)有連續(xù)的二階導(dǎo)，現(xiàn)考慮函數(shù)f(x,y,z),在φ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0條件下的極值，記點(diǎn)P0(x0,y0,z0,λ0,μ0)為解拉氏方程組所得的點(diǎn)，又記點(diǎn)(x0,y0,z0)為M0，并設(shè)約束方程在M0某領(lǐng)域確定了兩個(gè)可導(dǎo)的隱函數(shù)，則：

(1)當(dāng)Dxx(P0)>0時(shí)，點(diǎn)M0為條件極值的極小值點(diǎn)；

(2)當(dāng)Dxx(P0)<0時(shí)，點(diǎn)M0為條件極值的極大值點(diǎn).

例2 求u=xyz在條件x+y=1,x-y+z2=1條件下的條件極值.

解：設(shè)u=f(x,y,z)=xyz,φ(x,y,z)=x+y-1,ψ(x,y,z)=x-y+z2-1

L(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(x+y-1) +μ(x-y+z2)

由拉氏方程組解得：

又：

Lxx=0,Lxy=z,Lxz=y,Lyy=0,Lyz=x,Lzz=2μ

注意到Fz≠0，可把u理解為關(guān)于z的一元復(fù)合函數(shù).

據(jù)此點(diǎn)

故點(diǎn)M3不是問(wèn)題的極值點(diǎn).

2.4一般情形下極值存在的充分條件

一般地，對(duì)于多元函數(shù)多條件的極值問(wèn)題可繼續(xù)采用前述方法.此時(shí)，描述起來(lái)更復(fù)雜些.為此，先介紹一些記號(hào).

考慮條件極值問(wèn)題f(x1,…,xn)s.t.hr(x1,x2,…,xn)=0,r=1,2,…,m

設(shè)方程組hr(x1,x2,…,xn)=0, (r=1,2,…,m)確定了m個(gè)關(guān)于(x1,x2,…,xn-m)的函數(shù)，并且函數(shù)hi(x1,x2,…,xn), (i=1,2,…,m)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).令：

設(shè)

由拉氏方程組可得λr的多種表達(dá)形式.如：

i∈{1,2,…,n-m};k∈{n-m+1,,…,n}

定理4 對(duì)于條件極值f(x1,…,xn)s.t.hr(x1,x2,…,xn)=0,r=1,2,…,m.

若f(x1,…,xn)，hr(x1,x2,…,xn) (r=1,2,…,m.)，均有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).并且約束方程確定了m個(gè)關(guān)于(x1,x2,…,xn-m)的隱函數(shù).記：

(i=1,2,…,n-m;j=1,2,…,n-m)

(1)當(dāng)HP0為正定矩陣時(shí)，則M0為條件極值問(wèn)題的極小值點(diǎn)；

(2)當(dāng)HP0為負(fù)定矩陣時(shí)，則M0為條件極值問(wèn)題的極大值點(diǎn)；

(3) 當(dāng)HP0為不定矩陣時(shí)，則M0不是條件極值問(wèn)題的極值點(diǎn).

證明：設(shè)u=f(x1,x2,…,xn)，顯然u是關(guān)于(x1,x2,…,xn-m)的復(fù)合函數(shù).

(3)

依據(jù)復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法則有：

然后針對(duì)Dij展開項(xiàng)找左端的對(duì)應(yīng)項(xiàng).

(r=1,2,…,m;p,q=n-m+1,n-m+2,…,n)

并逐項(xiàng)檢查左端對(duì)應(yīng)的項(xiàng).

又λr=

(4)

將此行列式中的第k列與第p列交換位置并與(4)式相減，然后利用引理1即得：

注意到，

于是，

λrF?xp/?xiF?xq/?xj.至此證明了等式(3)兩端關(guān)于函數(shù)f,hr(r=1,2,…,m)二階偏導(dǎo)的系數(shù)都相等，故等式(3)成立，從而定理4得以證明.

解：設(shè)

于是，

Lx1x1=2λ3,Lx1x3=1,Lx1x4=0,Lx1x5=1,Lx3x3=2λ3,Lx3x4=0,Lx3x5=1,Lx4x4=2λ3

Lx4x5=0,Lx5x5=2λ3,Lx1x2=2x2,Lx2x3=0,Lx2x4=1,Lx2x5=0

F0=4(x3-x5),F?x3/?x1=4(x1-x5),F?x4/?x1=0,F?x5/?x1=4(x3-x1)

進(jìn)而有，

=32x2(x3-x5)2

故，

事實(shí)上，由條件方程組可解得：

即：

由此可驗(yàn)證上述答案的正確性.

3結(jié)語(yǔ)

就數(shù)學(xué)而言，形式與內(nèi)容往往是一體的.恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式可以救活一個(gè)公式，也可以救活一種理論.從形式中去把握數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性與啟發(fā)性，也是數(shù)學(xué)修養(yǎng)的重要組成部分.