周瀟凡，王憲杰，龍?jiān)婄鳎瑮钏颊?，?希，董艷秋，呂 龍

(云南大學(xué) 建筑與規(guī)劃學(xué)院，昆明 650500)

隨著我國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，私人汽車的擁有量以每年1000萬的速度快速增長[1]。根據(jù)2019版的《中國汽車工業(yè)年鑒》，到2019年底，全國私家車總量接近2億輛，全國平均每百戶家庭擁有超過40輛私家車，在北京、深圳等經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的區(qū)域，每百戶家庭擁有私家車超過70輛。由于私家車的普及停車問題也隨之而來，尤其是在寸土寸金的大城市，受土地和停車場數(shù)量的限制，許多城市開始興建大型立體停車樓來緩解城市停車壓力。然而在以往的停車樓設(shè)計(jì)中，大多以層間位移角為限制進(jìn)行結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)，事實(shí)上受車輛隨機(jī)停放的影響，停車樓結(jié)構(gòu)在遭遇罕遇地震時(shí)發(fā)生扭轉(zhuǎn)破壞的可能性要更大。

考慮隨機(jī)結(jié)構(gòu)與隨機(jī)地震激勵(lì)的分析在過去幾十年已經(jīng)取得重大進(jìn)展，形成了以李杰[2-5]等研究、發(fā)展而來的概率密度演化理論(簡稱PDEM)。概率密度演化理論可以求解物理量(包括位移、速度、加速度、變形等)的概率密度函數(shù)及其演化過程，從三維角度分析該物理量隨時(shí)間的變化過程[6]。相較于傳統(tǒng)的隨機(jī)結(jié)構(gòu)分析方法，如FPK方程(Fokker Planck Kolmogorov equation)、功率譜分析與矩演化方法[7-8]等，概率密度演化方法具有計(jì)算精度高，計(jì)算量小，能夠在較短的時(shí)間內(nèi)完成對結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確分析，從而滿足結(jié)構(gòu)精細(xì)化、效率化的抗震分析與設(shè)計(jì)要求[9-10]。

本文基于概率密度演化理論，分別對考慮車輛隨機(jī)停放和考慮滿載時(shí)的典型層層間扭轉(zhuǎn)角、層間位移角的概率密度曲面進(jìn)行對比分析。并基于極值分布的首次超越破壞可靠度分析方法求解停車樓結(jié)構(gòu)的體系可靠度，得出結(jié)構(gòu)的破壞概率矩陣，從而實(shí)現(xiàn)預(yù)測立體停車樓在遭遇罕遇地震作用時(shí)隨機(jī)車輛荷載對停車樓結(jié)構(gòu)抗震性能產(chǎn)生的影響，為未來高烈度設(shè)防區(qū)立體停車樓的抗震設(shè)計(jì)和震后評估提供更加科學(xué)的設(shè)計(jì)方法與思路。

1 考慮車輛隨機(jī)停放的密度演化方法分析

1.1 車輛隨機(jī)停放和隨機(jī)地震荷載下結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程

由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的知識可以知道，一個(gè)n自由度系統(tǒng)的動(dòng)力方程表示如下：

(1)

將車輛荷載在停車樓中的隨機(jī)分布等效為質(zhì)量塊，并以隨機(jī)離散矩陣方式加入到結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣中，即將隨機(jī)車輛質(zhì)量離散的數(shù)學(xué)表示式為

Ms=diag[m1,m2,…,mi,…,mn],i=1,2,…,n

(2)

式中：mi為第i層的隨機(jī)汽車質(zhì)量；Ms為n×n階的汽車質(zhì)量隨機(jī)矩陣；diag[]為矩陣對角化。

mi=sum(mmaxrand(1,t))

(3)

式中：t表示第i層有t個(gè)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間；mmax為每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間的最大停車荷載值。

對式(3)中rand命令生成的隨機(jī)數(shù)列進(jìn)行離散化

bi-1≤ai≤bi,i=1,2,…,t,t≥1

(4)

式中：ai為rand命令生成的第i個(gè)數(shù)；0≤bi≤1且bi的取值與車的質(zhì)量有關(guān)，則令

ai=bi-1

(5)

因此帶有隨機(jī)停車荷載的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(6)

(7)

(8)

其中Z1為層間位移角，Z2為層間扭轉(zhuǎn)角，則其物理速度方程可以表示為

(9)

1.2 概率密度演化方程求解

根據(jù)概率守恒原理，考慮隨機(jī)汽車荷載和隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的廣義概率密度演化方程為

(10)

初始條件為

PZΘ(z,θ,t)|t=0=δ(z-z0)PΘ(θ)

(11)

式中：δ(·)為狄拉克函數(shù)；PΘ(θ)為Θ的聯(lián)合概率密度函數(shù)；z0為初始值。

將式(9)帶入式(10)并結(jié)合式(11)，對式(10)進(jìn)行求解時(shí)，采用雙邊差分法[4]得到Zl(t)的概率密度函數(shù)PZl(z,t)為

(12)

式中：ΩΘ為Θ的分布區(qū)域。

1.3 數(shù)值計(jì)算方法

采用數(shù)值方法計(jì)算概率密度函數(shù)時(shí)，首先要進(jìn)行概率密度選點(diǎn)[5]，即在隨機(jī)向量Θ的分布空間ΩΘ取得一系列離散代表點(diǎn)，記為

θq=(θ1,q,θ2,q,…,θs,q),q=1,2,…,nsel

(13)

式中：nsel為取得離散代表點(diǎn)的數(shù)目，離散點(diǎn)的數(shù)目與隨機(jī)變量的數(shù)目有關(guān)[11]。

同時(shí)確定每個(gè)點(diǎn)的賦得概率

(14)

式中：Vq為代表性體積。

通過有限元軟件分析并結(jié)合初始條件求解每組θq下的PZΘ(z,θq,t)值，將所有值求和即可得到Pz(z,t)的數(shù)值解

(15)

2 結(jié)構(gòu)體系可靠度求解

基于極值分布的首次超越破壞問題動(dòng)力可靠度等價(jià)于具有無窮多個(gè)單元數(shù)串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度問題[12-13]，即

(16)

式中：R為結(jié)構(gòu)體系的可靠度；Xi為各層的層間位移角或?qū)娱g扭轉(zhuǎn)角；bi為層間位移角或?qū)娱g扭轉(zhuǎn)角的約束條件。

當(dāng)bi不相同時(shí)，表明存在多個(gè)動(dòng)力失效模式，在這種復(fù)雜失效準(zhǔn)則面前，可以通過構(gòu)造等價(jià)極值事件，將結(jié)構(gòu)整體可靠度問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)極值概率密度函數(shù)的一維積分問題，相對于多維積分而言，不僅減小計(jì)算量，降低分析難度，且結(jié)構(gòu)可靠度分析精度較高。結(jié)構(gòu)的整體可靠度公式如下：

(17)

式中：τ是虛構(gòu)的虛擬時(shí)間。

此時(shí)可以構(gòu)造等價(jià)極值

(18)

至此式(16)中的整體可靠度轉(zhuǎn)化為

(19)

3 工程運(yùn)用

以云南省大理市某一立體停車樓的設(shè)計(jì)為例，主體結(jié)構(gòu)為10層的鋼混結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)首層層高為3.6 m，2—4層層高為2.55 m，5—8層層高為2.15 m，9層層高為2.6 m，10層層高為2 m。設(shè)防烈度為8度(0.2g)，場地土類別為Ⅱ類，設(shè)計(jì)地震分組為第三組，地面粗糙程度為B類。結(jié)構(gòu)所用的主要材料是鋼材Q235、混凝土C30。除第1層柱、第10層樓底和樓頂用鋼筋混凝土澆筑外，其他結(jié)構(gòu)都是鋼結(jié)構(gòu)。該停車樓通過盈建科軟件建立模型后，結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)層如圖1所示，通過盈建科接口程序?qū)⑼＼嚇悄Ｐ蛯?dǎo)入到ABAQUS，得出模型如圖2所示。輸入20條天然波并調(diào)幅到4 m/s2(大震)，分別計(jì)算考慮隨機(jī)汽車荷載和考慮滿載，停車樓結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)和可靠度。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)層

圖2 停車樓模型

3.1 考慮汽車荷載的停車樓有限元模型

考慮在停車樓的2—9層進(jìn)行隨機(jī)車輛荷載的布置。將停車樓每層劃分為8個(gè)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間，如圖1所示，每個(gè)長方形(長寬分別為7.3和4.82 m)為1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間，每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間有3個(gè)車位，每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間的中心作為隨機(jī)汽車荷載的作用點(diǎn)。通過查閱《中國汽車工業(yè)年鑒》可以知道，我國居民通常駕駛私家車的最小質(zhì)量以長安汽車-悅翔低配為例，車質(zhì)量為1080 kg；最大質(zhì)量以豐田-漢蘭達(dá)高配為例，車質(zhì)量為2070 kg。因此在該長方形上作用的車輛荷載可能為0或者1080～6210 kg，采用rand命令隨機(jī)生成的8個(gè)數(shù)，經(jīng)過離散化后隨機(jī)分布到每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間中。因此在停車樓結(jié)構(gòu)的每次有限元分析中都將隨機(jī)生成一系列與上次不同的停車荷載，這樣就可以較好地考慮汽車隨機(jī)停放荷載對停車樓結(jié)構(gòu)抗震性能造成的影響。

3.2 停車樓結(jié)構(gòu)破壞狀態(tài)與量化指標(biāo)

根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011—2010)中的結(jié)構(gòu)破壞狀態(tài)與相應(yīng)指標(biāo)[14]，輕微破壞、中等破壞、嚴(yán)重破壞、倒塌對應(yīng)的層間位移角限值如表1所示，各個(gè)破壞狀態(tài)下層間位移角與層間扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系由文獻(xiàn)[15]可知

表1 結(jié)構(gòu)不同破壞狀態(tài)及其判別標(biāo)準(zhǔn)

(20)

式中：αLS為各個(gè)破壞狀態(tài)下的層間扭轉(zhuǎn)角；θLS為各個(gè)破壞狀態(tài)下的層間位移角；h為層高；R為構(gòu)件到結(jié)構(gòu)剛心的最大距離；u為最大層間位移與平均層間位移的比值。

由式(20)可以得到停車樓結(jié)構(gòu)的破壞狀態(tài)與其最大層間扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系，如表2所示。

表2 層間扭轉(zhuǎn)角量化指標(biāo) rad

3.3 停車樓動(dòng)力響應(yīng)

考慮隨機(jī)汽車荷載(模型1)的各層最大層間位移角與考慮滿載(模型2)的各層最大層間位移角如圖3所示，從圖中可以知道考慮隨機(jī)停車汽車荷載后，結(jié)構(gòu)的最大層間位移角出現(xiàn)在第2層,為8.5×10-3，且比考慮滿載時(shí)的第3層層間位移角減小了4.49%，2種模型的最大層間位移角均小于規(guī)范給定的結(jié)構(gòu)倒塌時(shí)的極限值0.02。2種模型的層間扭轉(zhuǎn)角如圖4所示，考慮隨機(jī)汽車荷載后停車樓結(jié)構(gòu)的最大層間扭轉(zhuǎn)角出現(xiàn)在第1層,為9.421×10-4rad,考慮滿載的停車樓的最大層間扭轉(zhuǎn)角出現(xiàn)在第9層,為8.943×10-4rad，前者比后者增大了5.34%，前者比后者更加逼近該結(jié)構(gòu)倒塌的層間扭轉(zhuǎn)角極限值1.04×10-3rad。最大層間扭轉(zhuǎn)角變大是由于停車荷載的隨機(jī)分布，導(dǎo)致停車樓結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量分布不均勻。因此停車樓結(jié)構(gòu)在遭遇大震時(shí)發(fā)生層間扭轉(zhuǎn)破壞的可能性顯著提高。由于層高的突變導(dǎo)致2種模型的層間扭轉(zhuǎn)角在第9層形成了局部極大值。在以層間位移角為判別指標(biāo)時(shí)，結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性狀態(tài)，但離倒塌尚遠(yuǎn)；以層間扭轉(zhuǎn)角為判別指標(biāo)時(shí)，考慮車輛隨機(jī)停放后，該結(jié)構(gòu)面臨倒塌的風(fēng)險(xiǎn)，結(jié)構(gòu)的薄弱層由考慮滿載時(shí)的第9層轉(zhuǎn)移到第1層。

停車樓結(jié)構(gòu)考慮隨機(jī)汽車荷載和考慮滿載的典型層的第1層層間扭轉(zhuǎn)角、第3層層間位移角的概率密度曲面如圖5所示，典型時(shí)刻的概率密度曲線如圖6所示。因概率密度演化理論能夠直接給出層間扭轉(zhuǎn)角的瞬時(shí)概率密度函數(shù)以及層間扭轉(zhuǎn)角的演化過程，通過對比圖6可以發(fā)現(xiàn)，考慮隨機(jī)汽車荷載相對于考慮滿載層間扭轉(zhuǎn)角的概率密度曲線在7.70或7.90 s時(shí)要更“胖”，而2種模型層間位移角的概率密度曲線在7.65或7.90 s時(shí)變化不大。說明了停車樓在遭遇罕遇地震時(shí)考慮隨機(jī)停車荷載后，層間扭轉(zhuǎn)角相比于層間位移角受到的影響更大。

圖5 2種模型動(dòng)力響應(yīng)概率密度曲面

圖6 2種模型典型時(shí)刻的概率密度曲線

3.4 停車樓結(jié)構(gòu)的整體可靠度

3.5 破壞概率矩陣

由表3可以預(yù)測結(jié)構(gòu)在遭遇大震作用時(shí)，即PGA(地震峰值加速度)為4 m/s2時(shí)，結(jié)構(gòu)可能發(fā)生不同破壞狀態(tài)的破壞概率如表4所示，從表中可以知道2種模型在遭遇罕遇地震作用時(shí)基本完好的概率分別為5.22%和2.27%；稍加修理就可使用的概率為3.74%和7.38%；需要一般修理，采取安全措施方可使用的概率為5.96%和34.76%；應(yīng)排險(xiǎn)大修，并局部拆除的概率為75.9%和55.59%；倒塌的可能性為9.18%和0。停車樓模型在考慮隨機(jī)汽車荷載后遭遇大震時(shí)可能受到基本完好、嚴(yán)重破壞、倒塌的概率提高，受到輕微破壞、中等破壞的可能性降低。由《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011—2010)可知結(jié)構(gòu)在發(fā)生嚴(yán)重破壞或倒塌時(shí)對生命造成威脅，考慮隨機(jī)汽車荷載和考慮滿布汽車荷載的停車樓結(jié)構(gòu)受到嚴(yán)重破壞和倒塌的概率分別為0.8508和0.5559。因此未考慮隨機(jī)汽車荷載時(shí)停車樓結(jié)構(gòu)在發(fā)生大震時(shí)實(shí)際上低估了地震對生命造成的威脅。

表3 2種模型下結(jié)構(gòu)的可靠度

表4 2種模型的破壞概率矩陣

4 結(jié)論

本文基于概率密度演化理論同時(shí)考慮到地震的隨機(jī)性與車輛隨機(jī)停放的復(fù)合隨機(jī)過程，對某一實(shí)際立體停車樓進(jìn)行時(shí)程分析，評估隨機(jī)地震激勵(lì)、隨機(jī)汽車停放對鋼混結(jié)構(gòu)停車樓抗震性能產(chǎn)生的影響，并得出以下結(jié)論：

1) 考慮隨機(jī)汽車荷載后，停車樓結(jié)構(gòu)的薄弱層存在轉(zhuǎn)移的可能性。因此車輛隨機(jī)停放對結(jié)構(gòu)薄弱層的分布產(chǎn)生一定的影響。

2) 考慮車輛隨機(jī)停放后，結(jié)構(gòu)各層的層間扭轉(zhuǎn)角的瞬時(shí)概率密度曲線明顯變“胖”，表明停車樓結(jié)構(gòu)在遭遇大震作用時(shí)的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)顯著變大；而層間位移角的概率密度曲線變化不大，說明考慮車輛隨機(jī)停放后，層間扭轉(zhuǎn)角起主要控制作用。

3) 停車樓結(jié)構(gòu)考慮滿載并以層間位移角為可靠度指標(biāo)時(shí)停車樓結(jié)構(gòu)不會(huì)倒塌，考慮車輛隨機(jī)停放并以扭轉(zhuǎn)角為指標(biāo)時(shí)，結(jié)構(gòu)有9.18%的概率倒塌。因此在停車樓的設(shè)計(jì)中要考慮車輛的隨機(jī)停放，并通過層間扭轉(zhuǎn)角進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算。