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        一類(lèi)差分不等式解的估計(jì)

        2021-09-03 00:16:30陳立強(qiáng)王五生
        關(guān)鍵詞:貝爾曼沃爾方程解

        陳立強(qiáng),王五生

        (河池學(xué)院數(shù)理學(xué)院,廣西 宜州 546300)

        1919年,格隆沃爾—貝爾曼(Gronwall-Bellman)[1-2]在研究微分方程的解對(duì)參數(shù)的連續(xù)性依賴(lài)時(shí),有了下面的不等式:

        (1)

        其中,常數(shù)c≥0,對(duì)未知函數(shù)u(t)有下面的估計(jì),

        在微積分不等式理論研究中,格隆沃爾—貝爾曼型積分不等式是研究Differential Equation (DE)、Integral Equation(IE)和 Differential-Integral Equation (I-EE)的解等一系列理論的重要工具,這些類(lèi)型方程解的存在與否、如果存在是否唯一、進(jìn)而這些解是否有界、顯式解是否能容易的表出等定性性質(zhì)是可以看成格隆沃爾—貝爾曼型積分不等式的推導(dǎo)結(jié)果.繼而,格隆沃爾—貝爾曼型積分的各種推廣形式開(kāi)始為學(xué)者們所研究,其應(yīng)用也越來(lái)越廣,本文可做為其成果之一.然而,查看當(dāng)前文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn),積分號(hào)內(nèi)不含未知函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的積分不等式已有研究,例如文獻(xiàn)[3-7]及其引文.此外,Pachpatte[8]研究了下面的不等式:

        t∈+.

        隨著不等式理論研究的推進(jìn),數(shù)學(xué)家開(kāi)始關(guān)注格隆沃爾—貝爾曼型不等式的離散形式及其推廣形式,見(jiàn)文獻(xiàn)[9-12].這方面,Pachpatte[13]研究了以下差分不等式:

        t∈0,

        Akin-Bohner等[14]研究了下面的不等式,這個(gè)積分不等式與其他不等式重要不同在于其帶有時(shí)標(biāo)和線(xiàn)性,

        t∈T0,

        Zareen[15]研究了下面的不等式:

        t∈+.

        Kendre和Latpate[16]研究了Volterra-Fredholm型積分不等式:

        文獻(xiàn)[17]研究了下面的積分不等式:

        (2)

        作者把一維的積分不等式拓展到二維的積分不等式.

        在文獻(xiàn)[18]中Cheung利用Ou-Yangh和Pachpatte的思想研究了

        uq(t,s)ψ(u(t,s))dsdt,

        (3)

        把二維積分不等式拓廣到二維的p次冪的形式.

        在文獻(xiàn)[19]中Wang研究了

        φi(u(t,s))dsdt.

        (4)

        (4)式在(2)式的基礎(chǔ)上,把常數(shù)a擴(kuò)展成二維函數(shù),并且把(3)式中的兩項(xiàng)和擴(kuò)展成n項(xiàng)和.

        2016年,Zhang等[20]研究了積分不等式

        在形式上把Gronwall-Belllman[1-2]的常數(shù)擴(kuò)展成了一般函數(shù)a(t),而且在(4)式的基礎(chǔ)上把p次冪放到了求和符號(hào)里并對(duì)多項(xiàng)積分不等式求p次冪,推動(dòng)了積分不等式發(fā)展.

        最近的文獻(xiàn)[21]研究了

        這個(gè)積分不等式研究了積分號(hào)外具有非常數(shù)因子,且積分號(hào)內(nèi)含有未知函數(shù)的非線(xiàn)性積分不等式.

        受文獻(xiàn)[8,13-21]的啟發(fā),本文研究了一類(lèi)沃爾泰拉—弗雷德霍姆(Volterra-Fredholm)差分不等式,其針對(duì)待求函數(shù)求和,且待求函數(shù)非線(xiàn)性.

        (5)

        不等式(5)把文獻(xiàn)[13]中的不等式(5)推廣成非線(xiàn)性沃爾泰拉—弗雷德霍姆型不等式,給出了不等式(5)中未知函數(shù)的估計(jì).最后舉例說(shuō)明了本結(jié)論可用來(lái)推導(dǎo)相應(yīng)類(lèi)型的沃爾泰拉-弗雷德霍姆型方程解的估計(jì).

        1 主要結(jié)果與證明

        為了敘述的方便,先定義下面要用到的符號(hào):

        +=[0,∞),α,β∈N,α<β,

        ht(t,s)∶=Δ1h(t,s)=h(t+1,s)-h(t,s).

        引理1[22]令y≥0,p≥q≥0和p≠0,則對(duì)任意K>0有關(guān)系式:

        引理2[16]若使得函數(shù)a(t),b(t),c(t)在共同的定義區(qū)間[α,β]∩上連續(xù)、非負(fù)且已知,a(t)是[α,β]∩上的單調(diào)增函數(shù),u(t)滿(mǎn)足:

        (6)

        t∈[α,β]∩.

        為了使下面的定理表達(dá)方便,先定義幾個(gè)函數(shù).

        (7)

        (8)

        (2x-c(β))-1.

        (9)

        定理1假設(shè)不等式(5)中的函數(shù)c(t)∈C(I,+),f(t,s),且h(t,s),ht(t,s)∈C(D,+),f(t,s),h(t,s)都是已知函數(shù);h(t,s)當(dāng)固定s關(guān)于t不減,c(t)在區(qū)間I上非減,u(α)=0,p>q>0是常數(shù).F在+上嚴(yán)格遞增,u(t)和Δu(t)待求,滿(mǎn)足(5)式.?t∈[t0,∞),如果

        則對(duì)于任意K>0,未知函數(shù)u(t)的估計(jì)式如下:

        (10)

        證明由不等式(5)可以推出

        t∈[α,β]∩.

        (11)

        把不等式(11)的右端定義成函數(shù)z(t),

        t∈[α,β]∩.

        (12)

        那么由(12)式可看出z(t)是非減函數(shù),且

        (13)

        (14)

        進(jìn)一步有

        (15)

        求(12)式定義的函數(shù)z(t)的差分,

        (16)

        把(13)式和(15)式代入(16)得到

        t∈[α,β]∩.

        對(duì)于任意K>0,利用引理1可以推出,

        B(t)z(t)+C(t)z2(t),t∈[α,β]∩.

        (17)

        其中,B(t),C(t)滿(mǎn)足(7)式和(8)式定義.把(16)中的t改為s,再把兩邊關(guān)于s從t0到t-1求和,可以得到如下結(jié)果,

        t∈[α,β]∩.

        (18)

        顯然,(18)式有(6)式的形式,其他函數(shù)具備引理2中的條件,所以,由引理2得(18)式中z的上界:

        t∈[α,β]∩.

        (19)

        由(12)式和(14)式看出

        2z(α)-c(β)=c(β)+

        (20)

        由(19)式和(20)式得

        2z(α)-c(β)=z(β)≤

        (21)

        由(9)式定義,(21)式可以改寫(xiě)成

        從而有

        (22)

        把(22)式代入(19)得到

        (23)

        綜合(15)、(23)式得(10).

        2 應(yīng)用

        運(yùn)用定理1來(lái)研究一類(lèi)和差分方程解的上界,比如,有下面方程,

        (24)

        推論1假設(shè)方程(24)中G,H∈C([α,β]∩×[α,β]∩×××,),W1,W2∈C([α,β]∩×[α,β]∩××,)滿(mǎn)足下列條件:

        |G(t,s,x,y,z)|≤h(t,s)yp(xq+yp+z),

        (25)

        |H(t,s,x,y,z)|≤h(t,s)yp(xq+yp+z),

        (26)

        |W1(t,s,x,y)|≤f(t,s)yp(xq+yp),

        (27)

        |W2(t,s,x,y)|≤f(t,s)yp(xq+yp),

        (28)

        |d(t)|=c(t),

        (29)

        其中,h(t,s),f(t,s),c(t)以及p,q滿(mǎn)足定理1之定義,則?K>0,方程(24)的解x(t)的估計(jì)如下:

        (30)

        其中,B(t),C(t),F(xiàn)(t)由(7)式,(8)式和(9)式定義,且滿(mǎn)足定理1中的相應(yīng)條件.

        證明根據(jù)條件(25)~(29),由方程(24)推出

        t∈[α,β]∩.

        (31)

        可見(jiàn)(31)式具有(5)式的形式,又滿(mǎn)足定理1中的條件,由定理1可以得到所求的方程解的估計(jì)式就是(30)式.

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