陳立強(qiáng)，王五生

(河池學(xué)院數(shù)理學(xué)院，廣西 宜州 546300)

1919年，格隆沃爾—貝爾曼(Gronwall-Bellman)[1-2]在研究微分方程的解對參數(shù)的連續(xù)性依賴時，有了下面的不等式：

(1)

其中，常數(shù)c≥0，對未知函數(shù)u(t)有下面的估計,

在微積分不等式理論研究中，格隆沃爾—貝爾曼型積分不等式是研究Differential Equation (DE)、Integral Equation(IE)和 Differential-Integral Equation (I-EE)的解等一系列理論的重要工具，這些類型方程解的存在與否、如果存在是否唯一、進(jìn)而這些解是否有界、顯式解是否能容易的表出等定性性質(zhì)是可以看成格隆沃爾—貝爾曼型積分不等式的推導(dǎo)結(jié)果.繼而，格隆沃爾—貝爾曼型積分的各種推廣形式開始為學(xué)者們所研究，其應(yīng)用也越來越廣，本文可做為其成果之一.然而，查看當(dāng)前文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，積分號內(nèi)不含未知函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的積分不等式已有研究，例如文獻(xiàn)[3-7]及其引文.此外，Pachpatte[8]研究了下面的不等式：

t∈+.

隨著不等式理論研究的推進(jìn)，數(shù)學(xué)家開始關(guān)注格隆沃爾—貝爾曼型不等式的離散形式及其推廣形式，見文獻(xiàn)[9-12].這方面，Pachpatte[13]研究了以下差分不等式：

t∈0，

Akin-Bohner等[14]研究了下面的不等式，這個積分不等式與其他不等式重要不同在于其帶有時標(biāo)和線性，

t∈T0，

Zareen[15]研究了下面的不等式：

t∈+.

Kendre和Latpate[16]研究了Volterra-Fredholm型積分不等式：

文獻(xiàn)[17]研究了下面的積分不等式：

(2)

作者把一維的積分不等式拓展到二維的積分不等式.

在文獻(xiàn)[18]中Cheung利用Ou-Yangh和Pachpatte的思想研究了

uq(t，s)ψ(u(t，s))dsdt，

(3)

把二維積分不等式拓廣到二維的p次冪的形式.

在文獻(xiàn)[19]中Wang研究了

φi(u(t，s))dsdt.

(4)

(4)式在(2)式的基礎(chǔ)上，把常數(shù)a擴(kuò)展成二維函數(shù)，并且把(3)式中的兩項和擴(kuò)展成n項和.

2016年，Zhang等[20]研究了積分不等式

在形式上把Gronwall-Belllman[1-2]的常數(shù)擴(kuò)展成了一般函數(shù)a(t)，而且在(4)式的基礎(chǔ)上把p次冪放到了求和符號里并對多項積分不等式求p次冪，推動了積分不等式發(fā)展.

最近的文獻(xiàn)[21]研究了

這個積分不等式研究了積分號外具有非常數(shù)因子，且積分號內(nèi)含有未知函數(shù)的非線性積分不等式.

受文獻(xiàn)[8，13-21]的啟發(fā)，本文研究了一類沃爾泰拉—弗雷德霍姆(Volterra-Fredholm)差分不等式，其針對待求函數(shù)求和，且待求函數(shù)非線性.

(5)

不等式(5)把文獻(xiàn)[13]中的不等式(5)推廣成非線性沃爾泰拉—弗雷德霍姆型不等式，給出了不等式(5)中未知函數(shù)的估計.最后舉例說明了本結(jié)論可用來推導(dǎo)相應(yīng)類型的沃爾泰拉-弗雷德霍姆型方程解的估計．

1 主要結(jié)果與證明

為了敘述的方便，先定義下面要用到的符號：

+=[0，∞)，α，β∈N，α<β，

ht(t，s)∶=Δ1h(t，s)=h(t+1，s)-h(t，s)．

引理1[22]令y≥0，p≥q≥0和p≠0，則對任意K>0有關(guān)系式：

引理2[16]若使得函數(shù)a(t)，b(t)，c(t)在共同的定義區(qū)間[α，β]∩上連續(xù)、非負(fù)且已知，a(t)是[α，β]∩上的單調(diào)增函數(shù)，u(t)滿足：

(6)

t∈[α，β]∩.

為了使下面的定理表達(dá)方便，先定義幾個函數(shù).

(7)

(8)

(2x-c(β))-1.

(9)

定理1假設(shè)不等式(5)中的函數(shù)c(t)∈C(I，+)，f(t，s)，且h(t，s)，ht(t，s)∈C(D，+)，f(t，s)，h(t，s)都是已知函數(shù)；h(t，s)當(dāng)固定s關(guān)于t不減，c(t)在區(qū)間I上非減，u(α)=0，p>q>0是常數(shù).F在+上嚴(yán)格遞增，u(t)和Δu(t)待求，滿足(5)式.?t∈[t0，∞)，如果

則對于任意K>0，未知函數(shù)u(t)的估計式如下：

(10)

證明由不等式(5)可以推出

t∈[α，β]∩.

(11)

把不等式(11)的右端定義成函數(shù)z(t)，

t∈[α，β]∩.

(12)

那么由(12)式可看出z(t)是非減函數(shù)，且

(13)

(14)

進(jìn)一步有

(15)

求(12)式定義的函數(shù)z(t)的差分,

(16)

把(13)式和(15)式代入(16)得到

t∈[α，β]∩.

對于任意K>0，利用引理1可以推出，

B(t)z(t)+C(t)z2(t)，t∈[α，β]∩.

(17)

其中，B(t)，C(t)滿足(7)式和(8)式定義.把(16)中的t改為s，再把兩邊關(guān)于s從t0到t-1求和，可以得到如下結(jié)果，

t∈[α，β]∩.

(18)

顯然，(18)式有(6)式的形式，其他函數(shù)具備引理2中的條件，所以，由引理2得(18)式中z的上界：

t∈[α，β]∩.

(19)

由(12)式和(14)式看出

2z(α)-c(β)=c(β)+

(20)

由(19)式和(20)式得

2z(α)-c(β)=z(β)≤

(21)

由(9)式定義，(21)式可以改寫成

從而有

(22)

把(22)式代入(19)得到

(23)

綜合(15)、(23)式得(10).

2 應(yīng)用

運用定理1來研究一類和差分方程解的上界，比如，有下面方程，

(24)

推論1假設(shè)方程(24)中G，H∈C([α，β]∩×[α，β]∩×××，)，W1，W2∈C([α，β]∩×[α，β]∩××，)滿足下列條件：

|G(t，s，x，y，z)|≤h(t，s)yp(xq+yp+z)，

(25)

|H(t，s，x，y，z)|≤h(t，s)yp(xq+yp+z)，

(26)

|W1(t，s，x，y)|≤f(t，s)yp(xq+yp)，

(27)

|W2(t，s，x，y)|≤f(t，s)yp(xq+yp)，

(28)

|d(t)|=c(t)，

(29)

其中，h(t，s)，f(t，s)，c(t)以及p，q滿足定理1之定義,則?K>0，方程(24)的解x(t)的估計如下：

(30)

其中，B(t)，C(t)，F(xiàn)(t)由(7)式，(8)式和(9)式定義，且滿足定理1中的相應(yīng)條件．

證明根據(jù)條件(25)～(29)，由方程(24)推出

t∈[α，β]∩.

(31)

可見(31)式具有(5)式的形式，又滿足定理1中的條件，由定理1可以得到所求的方程解的估計式就是(30)式．