捌元

今天，寧寧放學回到家時，發(fā)現(xiàn)客廳的茶幾上放著一個奇怪的玩具。為什么說是奇怪的玩具呢？因為這個玩具由九個相互連接的圓環(huán)組成，套裝在一個中空的長形柄中。圓環(huán)與圓環(huán)之間，圓環(huán)與環(huán)柄之間彼此相套，交錯相連。

正當寧寧拿著這個奇怪的玩具翻來覆去地把玩時，門口傳來了爺爺中氣十足的吟詩的聲音：“兩環(huán)互相貫為一，得其關捩解之為二，又合而為一。今有此器，謂之九連環(huán)?！睂帉幰豢匆姞敔?，就連忙湊上前去問道：“爺爺，您怎么來了？這玩具是您帶來的？”爺爺笑呵呵地拿過寧寧手中的玩具，一邊把玩一邊說：“這可不是普通的小玩具，它是中國杰出的益智玩具——九連環(huán)?！?/p>

你會玩九連環(huán)嗎？

“九連環(huán)？那這個玩具應該怎么玩呢？”寧寧撓撓頭，疑惑地問道。

“很簡單，只要把九個圓環(huán)從這個長柄上解下來就可以了。”爺爺邊說邊給寧寧演示九連環(huán)的拆解方法，“第一個環(huán)，在任何情況都能夠自由上下。如果某一個環(huán)在上面的環(huán)柄上，而它前面所有的環(huán)都在下面的環(huán)桿上，那么這個環(huán)的后一個就可以放到上面，也可以放到下面。也就是說，如果我們想把第九個環(huán)卸下，那么就要把第八個環(huán)留在上面的環(huán)柄上，而把前面七個環(huán)放到下面，進而把拆解‘九連環(huán)轉(zhuǎn)變?yōu)椴鸾狻哌B環(huán)?！?/p>

爺爺繼續(xù)慢條斯理地總結(jié)道：“因此，要想裝上或者拆下第n個環(huán)（第一個環(huán)除外），必須滿足兩個條件，一是第（n-1）個環(huán)在環(huán)柄上，二是第（n-1）個環(huán)前面的所有環(huán)全部不在環(huán)柄上?！?/p>

爺爺?shù)脑捄鸵贿B串的展示動作讓寧寧的思緒和眼睛都亂了，寧寧連忙打斷了爺爺：“爺爺，這個九連環(huán)的拆解太復雜了?！睜敔斆嗣帉幍念^，笑著說：“其實并不難，你只要記住口訣就行。上倆下一個，再動后一個;上一個下倆，再動后一個?！?/p>

聽了爺爺?shù)脑?，寧寧思考了一會兒，說道：“我好像明白了。”說罷，寧寧便拿過九連環(huán)，坐在沙發(fā)上認真地拆解起來。

可沒一會兒，寧寧就拿著拆解了一半的九連環(huán)過來向爺爺訴苦：“爺爺，九連環(huán)的拆解好麻煩啊。我要是想完全拆解下來，需要多少步?。俊睜敔斆樕系暮?，故作神秘地說：“其實這個九連環(huán)的拆解步數(shù)涉及到一個數(shù)學原理，把這個數(shù)學原理弄懂了，你就能算出解開九連環(huán)所需的步數(shù)?！?/p>

聽了爺爺?shù)脑?，寧寧頓時來了興趣，忙問：“爺爺，是什么樣的數(shù)學原理？”

來，一起揭曉原理

爺爺拿來紙和筆，對寧寧說：“你先在紙上畫一個表格，然后我們一起將解開每個環(huán)所需的步數(shù)記錄下來?！?/p>

接下來，爺爺就帶著寧寧開啟了九連環(huán)的探索之旅。

爺爺說：“首先，我們假設環(huán)的數(shù)量為n，解開n連環(huán)所需的總步數(shù)是Sn，解下第n個環(huán)的步數(shù)為an。當環(huán)柄上只有一個環(huán)時，Sn=an=1?！?/p>

寧寧一邊在表格填上數(shù)字，一邊思考：“環(huán)柄上有兩個環(huán)的時候，可以直接將第二個環(huán)卸下，再卸第一個環(huán)。因此，當n=2時，an=1，Sn=2。”爺爺向?qū)帉庁Q起了大拇指，稱贊道：“不錯，接下來你可以自己探索了。”

寧寧一邊動手拆解九連環(huán)，一邊嘟囔著：“有三個環(huán)的時候，如果要卸下第三個環(huán)，就需要先卸下第一個環(huán)，再把第三個環(huán)直接卸下。然后為了解下第二個環(huán)，需要把第一個環(huán)套上，再同時解下兩個環(huán)。因此，當n=3時，an=2，Sn=5?！?/p>

“不錯不錯。以此類推，我們可以知道要卸下第n個環(huán)，就需要先卸下前（n-2）個環(huán)，其總步數(shù)就為Sn-2。這時，我們再需要一步就可以把第n個環(huán)解下，所以卸下第n個環(huán)需要an=Sn-2+1步，而為了解下第（n-1）個環(huán)，還需要把前面的（n-2）個環(huán)套上，套上前（n-2）個環(huán)就需要Sn-2步（因為裝上和卸下的步驟正好相反，所以步數(shù)相同）。最后卸下前面（n-1）個環(huán)需要Sn-1步，所以卸下n個環(huán)共需要Sn=2Sn-2+ Sn-1+1步。因此，解開九連環(huán)所需要的步數(shù)就是一道數(shù)列題——已知S1=1，S2=2，an=Sn-2+1，Sn=2Sn-2+ Sn-1+1，求Sn（n≥3）?！睜敔斀又鴮帉幍脑挿治龅?。

通過計算，寧寧求出拆解一個九連環(huán)需要341步?！斑@么看來，拆解九連環(huán)并不難。只是在拆解的過程中，需要不斷地將環(huán)套上套下，玩家就得傾注耐心，記住步驟。”寧寧感嘆道。

爺爺忙不迭地補充道： “這就是拆解九連環(huán)的關鍵。九連環(huán)雖然拆解步驟簡單，但是它出現(xiàn)后卻可以在民間廣為流傳，盛行不衰，這其中，數(shù)學的魅力功不可沒呀?！?/p>