謝曲波

瑞瑞把數(shù)學(xué)期中考試的試卷往書(shū)桌上一甩，氣哼哼地說(shuō)：“明明就不相等嘛！”在書(shū)桌旁看書(shū)的爸爸被嚇了一跳，心想：這又是誰(shuí)招惹他了？爸爸合上書(shū)，拿過(guò)桌上的數(shù)學(xué)試卷仔細(xì)看了一遍。瑞瑞考得不錯(cuò)啊，99分，只有一道比較大小的題扣了1分。難道瑞瑞生氣的根源就在這里？爸爸來(lái)到瑞瑞的身旁坐下，微笑著詢問(wèn)：“怎么了？是哪里想不通啊？”

瑞瑞顯然余怒未消，指著試卷上的紅叉說(shuō)：“0.9和1比較，肯定是1大啊。雖然0.9無(wú)限接近于1，但總比1小一點(diǎn)點(diǎn)吧！可我們的老師非說(shuō)它們是相等的！”

0.9999……=1？

“我覺(jué)得你的想法好像有道理啊，那老師是怎么解釋的呢？”爸爸先安撫了一下瑞瑞的情緒，讓他把想說(shuō)的話全部說(shuō)出來(lái)。

瑞瑞想了想，拿出紙和筆寫(xiě)了起來(lái)。不一會(huì)兒，紙上便出現(xiàn)了兩種證明方法。

瑞瑞解釋完這兩種方法后，爸爸繼續(xù)追問(wèn)：“你覺(jué)得老師給出的這兩種證明方法有什么問(wèn)題嗎？”

“問(wèn)題我倒是看不出來(lái)，可我心里就是覺(jué)得0.9只是無(wú)限接近于1，總差那么一點(diǎn)點(diǎn)。”說(shuō)完，瑞瑞把大拇指和食指捏在一起。

爸爸知道，上面的證明方法是有問(wèn)題的。為什么有問(wèn)題呢？這是因?yàn)?.9=0.999……是一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)。在數(shù)學(xué)中，無(wú)限循環(huán)小數(shù)是不能進(jìn)行加減乘除運(yùn)算的。不過(guò)上邊的結(jié)論是正確的，0.9確實(shí)等于1。但要小學(xué)生理解這個(gè)概念，還真有些難度，瑞瑞的老師這樣證明也算是用心良苦了。對(duì)于這個(gè)結(jié)論，可能要等孩子們長(zhǎng)大了，學(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)后才能更深刻地理解。

正確的證明方法

有沒(méi)有比較直觀的方法能讓瑞瑞更好地理解0.9=1，打消他心中的疑慮呢？爸爸沉思了好一會(huì)兒，才問(wèn)瑞瑞：“如果兩個(gè)數(shù)不相等，那么它們倆中間是不是一定還存在其他的數(shù)呢？”

瑞瑞想了想，肯定地回答：“是的，比如3和4不相等，那么3和4之間就會(huì)有像3.1、3.055、3.80009等無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)。”

“那么，我們反過(guò)來(lái)想。如果兩個(gè)數(shù)之間不存在其他數(shù)了，是不是就意味著它們其實(shí)是相等的呢？”爸爸繼續(xù)發(fā)問(wèn)。

瑞瑞思考片刻后，重重地點(diǎn)了點(diǎn)頭。

爸爸不緊不慢地說(shuō)：“假設(shè)存在一個(gè)數(shù)，它比0.9大，但又比1小。那我們想一想，這個(gè)數(shù)長(zhǎng)什么樣？”

“首先，它的整數(shù)部分不可能是1。如果整數(shù)部分是1的話，那它就不可能比1小了?！比鹑疬呄脒呎f(shuō)，“所以，它的整數(shù)部分只能是0?！?/p>

“很好，繼續(xù)說(shuō)下去！”爸爸不失時(shí)機(jī)地給予瑞瑞鼓勵(lì)。

“它的整數(shù)部分是0，小數(shù)部分全部是9的話，就和0.9一樣大，不會(huì)比0.9大?！笔艿焦膭?lì)后，瑞瑞的語(yǔ)速變快了，“也就是說(shuō)不存在這樣的數(shù)，對(duì)嗎？”

“是的，0.9和1之間不存在其他數(shù)了，這是不是可以說(shuō)明它們其實(shí)是相等的呢？”

瑞瑞驚嘆道：“真是太不可思議了！直覺(jué)告訴我0.9一定比1小，數(shù)學(xué)卻證明了直覺(jué)有時(shí)是不可靠的?！?/p>

看著瑞瑞興奮的表情，爸爸知道他心中的疑慮已消除得差不多了：“沒(méi)錯(cuò)。在古希臘，曾有許多先賢智者經(jīng)常討論一些看起來(lái)意義不大的問(wèn)題，如阿基里斯的追烏龜悖論等。因?yàn)樗麄円庾R(shí)到有時(shí)候經(jīng)驗(yàn)并不真實(shí)，而推理和證明才更加可靠。有了這樣的思想，我們才能更好地認(rèn)識(shí)這個(gè)世界，更加接近真理！”

有趣的數(shù)學(xué)事實(shí)

不打開(kāi)繩結(jié)、不割斷繩子，可以把左圖中的兩個(gè)人解開(kāi)嗎？

只要瑪麗先抓住自己手上的繩子的中間部分，將其穿過(guò)杰克右手的繩圈，方向是從手腕到手掌。隨后，瑪麗將繩子回繞過(guò)杰克手掌并伸到手外側(cè)，就可以解開(kāi)繩子了。

看，圖中的三角形后來(lái)為什么會(huì)空出一格呢？

這是因?yàn)榧t色三角形和藍(lán)色三角形并不相似，所以不能把三角形拼成原樣。我們可以通過(guò)計(jì)算面積來(lái)驗(yàn)算，假設(shè)正方形格子的邊長(zhǎng)為1 cm，那么上方拼組圖形的面積為5×2÷2+5×3+8×3÷2=5+15+12=32（cm2）。如果上方拼組圖形是一個(gè)三角形，那么面積還可以這樣計(jì)算：13×5÷2=32.5（cm2），由此可以知道上方圖形并不是一個(gè)三角形。因此，將上方的圖形拼板重新排列后，會(huì)空出一格。

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