紀(jì)影丹， 譚 文

(廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣州510520)

1 引 言

線性代數(shù)是處理矩陣和向量空間的一個(gè)數(shù)學(xué)分支.線性代數(shù)可以用于工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)中解釋基本原理和簡(jiǎn)化計(jì)算.掌握線性代數(shù)的基本概念及應(yīng)用技巧，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和工作實(shí)踐奠定基礎(chǔ)[1].

特征值來(lái)源并應(yīng)用于離散動(dòng)力系統(tǒng)和連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng).工程技術(shù)中的一些問(wèn)題，如振動(dòng)問(wèn)題和穩(wěn)定性問(wèn)題，常可歸結(jié)為一個(gè)方陣的特征值和特征向量的問(wèn)題.特征值和特征向量在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用，例如：線性方程組的基礎(chǔ)解系可以通過(guò)求系數(shù)矩陣的特征值和特征向量得到；二次型的規(guī)范化可歸結(jié)為對(duì)稱矩陣的對(duì)角化問(wèn)題，即驗(yàn)證是否有足夠多的線性無(wú)關(guān)的特征向量；求方陣的冪及解微分方程組等問(wèn)題.

在教學(xué)中要更多的融入科研工作，這樣不僅能使教師更有效的傳授知識(shí)，也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，并使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解更透徹.在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該讓學(xué)生樹(shù)立科研思維和發(fā)散思維，使其善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并能夠利用所學(xué)知識(shí)靈活的解決問(wèn)題，逐步掌握科研的方法和認(rèn)識(shí)科研的一般過(guò)程.科研創(chuàng)新能力對(duì)學(xué)生綜合實(shí)力的提高起著關(guān)鍵作用.

在為經(jīng)管專業(yè)的學(xué)生講授線性代數(shù)中一個(gè)利用特征值和特征向量求矩陣的例子時(shí)，有一個(gè)關(guān)于唯一性的疑問(wèn)[2].在解決此問(wèn)題后，又以此為切入點(diǎn)，提出猜測(cè)：是否可以利用以特征向量為列向量的矩陣刻畫(huà)出所有與對(duì)角矩陣可交換的矩陣.本文第3部分證明了上述猜測(cè)是正確的.在科研過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)有意義的問(wèn)題，然后就需要找到證明的辦法.希望通過(guò)本文，能夠使學(xué)生對(duì)如何在本科學(xué)習(xí)中開(kāi)展科研工作有更清晰的理解.做為教師，也將繼續(xù)努力尋找更加合適的方式把科研的思維和方法融入到教學(xué)中，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)和創(chuàng)新能力.

2 問(wèn)題的引入

定義1[1]設(shè)A，B是兩個(gè)矩陣.如果存在可逆矩陣P，滿足A=P-1AB，則稱A和B是相似的.

定義2[1]設(shè)A是一個(gè)矩陣.如果存在λ和非零向量x，使得Ax=λx，則稱λ為A的一個(gè)特征值，x為A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量.

引理1[1]不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān).

設(shè)A是一個(gè)n階可對(duì)角化的方陣.設(shè)P=(p1，p2，…，pn)是一個(gè)n×n矩陣，其中列向量pi(1≤i≤n)為A的線性無(wú)關(guān)的特征向量.則P是可逆的.假設(shè)

Api=λipi， 1≤i≤n，

其中λi為A的特征值.令Λ=diag(λ1，λ2，…，λn)，則等式Λ=P-1AP和A=PΛP-1成立.

引理2[1]任意實(shí)對(duì)稱矩陣都可對(duì)角化，且其屬于不同特征值的特征向量正交.

例1設(shè)A是一個(gè)三階矩陣，-1，1，0是A的特征值，且α1=(1，0，-1)T和α2=(1，0，1)T是A的分別屬于特征值-1，1的特征向量.求矩陣A.

在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生在解例1時(shí)，會(huì)有疑問(wèn)：k取不同的值，是否會(huì)得到相同的矩陣A？下面就一起來(lái)看一下.根據(jù)例1的解題過(guò)程，得到：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)k1和k2，

P(k1)ΛP(k1)-1=A=P(k2)ΛP(k2)-1

(1)

成立.這樣就得到，A的取值并不依賴于P(k)中k的選取.

另一方面，由(1)得到

P(k2)-1P(k1)Λ=ΛP(k2)-1P(k1)，

即，P(k2)-1P(k1)是一個(gè)和Λ可交換的矩陣.注意到，P(k1)和P(k2)都是以A(與Λ相似)的特征向量為列向量的矩陣.由此引出問(wèn)題：是否所有與Λ可以交換的矩陣都可以寫(xiě)成P(k2)-1P(k1)這種形式？

3 主要結(jié)果

下面來(lái)解決上述問(wèn)題，即：對(duì)于任意一個(gè)對(duì)角矩陣，用以特征向量為列向量的矩陣來(lái)刻畫(huà)與其可交換的矩陣.

定理1設(shè)

是一個(gè)實(shí)對(duì)角n×n矩陣.則一個(gè)n×n矩陣U與Λ可交換當(dāng)且僅當(dāng)U=P-1Q，其中P和Q是滿足下面條件的兩個(gè)n×n矩陣，

(i)P可逆 ； (ii)存在一個(gè)n×n矩陣A，使得AP=PΛ，AQ=QΛ成立.

證先證明充分性.假設(shè)P，Q是兩個(gè)n×n矩陣，滿足條件(i)和(ii).令U=P-1Q.下面驗(yàn)證U與Λ可交換.利用AP=PΛ，以及P是一個(gè)可逆矩陣，得到A=PΛP-1.由于AQ=QΛ，得到Q的每個(gè)列向量都是A的特征向量，但這些特征向量不一定線性無(wú)關(guān)，因?yàn)镼不一定可逆.進(jìn)一步，有

QΛ=AQ=PΛP-1Q.

于是

P-1QΛ=P-1PΛP-1Q=ΛP-1Q.

因?yàn)閁=P-1Q，所以UΛ=ΛU.這樣就得到U與對(duì)角矩陣Λ可交換.注意到，U是一個(gè)可逆矩陣當(dāng)且僅當(dāng)Q是一個(gè)可逆矩陣.

下面證明必要性，也就是證明每一個(gè)和Λ可交換的矩陣都可以表示成P-1Q這種形式，且P，Q滿足條件(i)和(ii).設(shè)U是一個(gè)滿足UΛ=ΛU的n×n矩陣.假設(shè)A是一個(gè)和Λ相似的矩陣.則A可以對(duì)角化.于是存在一個(gè)可逆矩陣P滿足AP=PΛ，其實(shí)也就是把矩陣P的列向量按次序取為A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即(i)滿足.因此，P-1AP=Λ，于是

UP-1AP=P-1APU，

令Q=PU，則U=P-1Q.這樣就得到

QP-1AP=PUP-1AP=APU=AQ.

于是，QΛ=QP-1AP=AQ，即Q的列向量都是矩陣A的特征向量，(ii)滿足.

注1 在上述定理的證明中出現(xiàn)的矩陣A不要求是對(duì)稱矩陣，也不要求是可逆矩陣，后者主要是由Λ的對(duì)角線上有無(wú)非零元素決定.

特別地，如果上述定理中的對(duì)角矩陣滿足對(duì)角線上相同的元素在相鄰的位置，那么就得到下面的推論.

推論1設(shè)

其中Uj是nj級(jí)矩陣(j=1，2，…，r)的準(zhǔn)對(duì)角矩陣.

證設(shè)U=(uij)n×n是一個(gè)和Λ可交換的矩陣.根據(jù)定理1，存在一個(gè)n×n可逆矩陣P，兩個(gè)n×n矩陣Q和A，使得等式U=P-1Q，AP=PΛ和AQ=QΛ成立.容易得到，P和Q的列向量都是屬于矩陣A的特征向量.根據(jù)Λ的結(jié)構(gòu)，對(duì)矩陣P和Q的列向量進(jìn)行分組編號(hào)，得到

(q1，…，qi1，qi1+1，…，qi2，…，qir-1+1，…，qir)

=Q=PU

=(p1，…，pi1，pi1+1，…，pi2，…，pir-1+1，…，pir)U，

其中i1=n1，ij-ij-1=nj(j=2，…，r)，且ir=n.設(shè)1≤j≤r-1，則對(duì)任意的ij+1≤k≤ij+1，有

qk=u1kp1+…+ui1kpi1+ui1+1，kpi1+1+…+ui2，kpi2+…+uir，kpir.

注意到，對(duì)于j=1，2，…，r-1，

qij+1，…，qij+1(或者pij+1，…，pij+1)

是A的對(duì)應(yīng)于特征值aj的(或者，線性無(wú)關(guān)的)特征向量.利用引理1，ut，k≠0當(dāng)且僅當(dāng)ij+1≤t≤ij+1，其中1≤t≤n.于是，qk=uij+1，kpij+1+…+uij+1，kpij+1.由此得到

是一個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣，其中Uj是一個(gè)nj階方陣，1≤j≤r.

注2 文獻(xiàn)[3]給出上述推論的另外一種證明方法，大概思路為：先假設(shè)與已知對(duì)角矩陣交換的矩陣具有特定的分塊形式，再利用分塊矩陣乘法的相關(guān)性質(zhì)，得到推論中的結(jié)果.對(duì)比兩種證明方法，本文利用特征向量來(lái)構(gòu)造矩陣的方法也許更讓人耳目一新.

4 應(yīng) 用

設(shè)A是一個(gè)可對(duì)角化的矩陣，且存在可逆矩陣P和對(duì)角矩陣Λ，使得P-1AP=Λ.設(shè)M是一個(gè)和Λ可交換的矩陣，即MΛ=ΛM.則

PMP-1·A=PMP-1·PΛP-1=PMΛP-1=PΛMP-1=PΛP-1·PMP-1=A·PMP-1，

得到PMP-1是一個(gè)和A交換的矩陣.令

S ={所有和A可交換的矩陣}， T ={所有和Λ可交換的矩陣}.

定義映射

Φ: S →T，NP-1NP，

則容易驗(yàn)證Φ是一個(gè)雙射.所以利用與Λ可交換的矩陣可以表示出所有與A可交換的矩陣.也就是說(shuō)，根據(jù)本文第3部分的主要結(jié)果，可以對(duì)與A可交換的矩陣給出完全刻畫(huà).

研究與特定矩陣可交換的矩陣是一個(gè)十分有意義的課題.例如：文獻(xiàn)[4，5]證明，在一定條件下，與一個(gè)矩陣可以交換的矩陣一定可以表示為這個(gè)矩陣的多項(xiàng)式矩陣.可交換的矩陣會(huì)有一些特殊的性質(zhì).下面僅列舉其中兩個(gè)：若矩陣A，B可交換，則(i)A，B可以同時(shí)上三角化；(ii)(A+B)m滿足矩陣的二項(xiàng)式定理.

注意到，若而當(dāng)矩陣是對(duì)角矩陣的推廣.所以自然的想法是，應(yīng)用本文定理中的方法和思想，繼續(xù)研究如何利用特征向量來(lái)刻畫(huà)與若爾當(dāng)矩陣可交換的矩陣.這是后續(xù)要開(kāi)展的工作.

5 結(jié) 論

本文從一個(gè)引例出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并得到主要結(jié)果：對(duì)任意的一個(gè)對(duì)角矩陣，用以特征向量為列向量的兩個(gè)矩陣刻畫(huà)出了與其可交換的所有矩陣.在線性代數(shù)中，特征向量在矩陣的對(duì)角化過(guò)程中起著重要的作用.本文定理中的結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了特征向量與對(duì)角矩陣之間確實(shí)存在著緊密的聯(lián)系.以此為例，在以后線性代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，希望通過(guò)鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并積極主動(dòng)的嘗試解決問(wèn)題，使學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)新的結(jié)果.這不僅能使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)得到鞏固，也能逐步激發(fā)和提升其科研探究能力.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見(jiàn).