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        2-正規(guī)矩陣

        2021-09-01 08:41:18張雨婷朱子建魏俊潮
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年4期
        關(guān)鍵詞:充分性共軛廣義

        張雨婷, 朱子建, 趙 瑞, 陸 彥, 魏俊潮

        (揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州225002)

        1 引 言

        A=AA+A,A+=A+AA+,AA+=(AA+)H,A+A=(A+A)H;

        A=AA#A,A#=A#AA#,AA#=A#A.

        一個(gè)n階復(fù)方陣A是群可逆矩陣當(dāng)且僅當(dāng)rank(A)=rank(A2);若群可逆矩陣A滿足條件A#=A+,稱為EP矩陣[3];若AAH=AHA,則稱A是正規(guī)矩陣[4];若A2AH=AHA2,則稱A為2-正規(guī)矩陣.顯然正規(guī)矩陣是2-正規(guī)矩陣,但下面的注1說(shuō)明2-正規(guī)矩陣不必為正規(guī)矩陣,因此2-正規(guī)矩陣是正規(guī)矩陣的真正推廣.

        矩陣廣義逆的研究涉及眾多科學(xué)領(lǐng)域,應(yīng)用范圍極其廣泛,矩陣廣義逆[5]形式眾多,研究成果豐富,并逐漸影射到C*-代數(shù)[6],Banach代數(shù)[7],Hilbert空間中的線性算子廣義逆[8]以及代數(shù)學(xué)的半群與結(jié)合環(huán)上的廣義逆[9-10],研究范圍之廣,研究學(xué)者之多,研究成果之巨使其成為廣義逆理論中最耀眼的課題.本文主要是基于正規(guī)矩陣的良好性質(zhì),做出合理推廣,介紹并研究了2-正規(guī)矩陣的相關(guān)性質(zhì).

        2 主要結(jié)果

        故A不是正規(guī)矩陣.

        注1說(shuō)明2-正規(guī)矩陣是正規(guī)矩陣的真正推廣.

        正規(guī)矩陣總是EP矩陣,從而為群可逆矩陣.但2-正規(guī)矩陣不必為群可逆矩陣,例如

        由例1知,A為2-正規(guī)矩陣,但A不是群可逆矩陣,從而2-正規(guī)矩陣不必為EP矩陣.因此研究正規(guī)矩陣哪些性質(zhì)遺傳到2-正規(guī)矩陣上來(lái)就有著理論上的意義,同時(shí)研究2-正規(guī)矩陣的性質(zhì)及其在對(duì)角化問(wèn)題,特征值的性質(zhì)等具有重要的理論價(jià)值.關(guān)于2-正規(guī)矩陣,首先有下面的結(jié)果.

        引理1設(shè)A為2-正規(guī)矩陣,若A為群可逆矩陣,則A為EP矩陣.

        證由于A為2-正規(guī)矩陣,則A2AH=AHA2,故

        A2AHA+A=AHA2A+A=AHA2=A2AH,

        又因?yàn)锳為群可逆矩陣,所以

        AAHA+A=A#A2AHA+A=A#A2AH=AAH,

        從而

        AHA+A=(A+AAH)A+A=A+(AAHA+A)=A+(AAH)=AH,

        A=(AH)H=(AHA+A)H=A+A2,

        所以AA#=A+A2A#=A+A,因此A為EP矩陣.

        觀察引理1的證明,實(shí)際上有下面的推論.

        推論1設(shè)A∈n×n是群可逆矩陣,若存在正整數(shù)k,使得AkAH=AHAk,則A是EP矩陣.

        下面的引理是眾所周知的,給出了一種高等代數(shù)式的證明.

        引理2設(shè)A∈n×n,若rank(A)=rank(A2),則A為群可逆矩陣.

        證設(shè)rank(A)=rank(A2)=r,則存在n階可逆復(fù)方陣P和Q,使得

        所以

        因此rank(D1)=r,即D1為r階可逆方陣.

        故A為群可逆矩陣且

        推論2設(shè)A∈n×n,若AH=AHA+A,則A為EP矩陣.

        證由于AH=AHA+A,則

        A=(AH)H=(AHA+A)H=A+A2,

        所以rank(A)=rank(A2),由引理2知A為群可逆矩陣,再由引理1的證明知A為EP矩陣.

        類似于推論2,可得如下推論.

        推論3設(shè)A∈n×n,若AH=AA+AH,則A為EP矩陣.

        由于(AH)2A=A(AH)2當(dāng)且僅當(dāng)AHA2=A2AH,且一個(gè)群可逆矩陣A是EP矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A#=A#AA+.因此得出下面的定理.

        定理1設(shè)A∈n×n為群可逆矩陣,則A為2-正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)(AH)2A#=A#(AH)2.

        證必要性.假設(shè)A為2-正規(guī)矩陣,則由引理1知A為EP矩陣,故

        (AH)2A#=(AH)2A(A#)2=A(AH)2(A#)2=A#A2(AH)2(A#)2
        =A#(AH)2A2(A#)2=A#(AH)2AA#=A#(AH)2AA+=A#(AH)2;

        充分性.假設(shè)(AH)2A#=A#(AH)2,則

        (AH)2A#(En-AA+)=A#(AH)2(En-AA+)=O,

        取共軛轉(zhuǎn)置得

        (En-AA+)(A#)HA2=O,

        右乘A#A+得

        (En-AA+)(A#)H=O,

        再取共軛轉(zhuǎn)置得

        A#(En-AA+)=O,

        即A#=A#AA+,所以A為EP矩陣,進(jìn)而

        (AH)2A=(AH)2A#A2=A#(AH)2A2=A(A#)2(AH)2A2=A(AH)2(A#)2A2
        =A(AH)2A#A=A(AH)2AA#=A(AH)2AA+=A(AH)2,

        故A為2-正規(guī)矩陣.

        矩陣廣義逆通常表現(xiàn)為某種矩陣與其相關(guān)逆矩陣之間滿足相應(yīng)的關(guān)系式,因此變化這些關(guān)系式中某個(gè)矩陣,則得到相應(yīng)的矩陣方程,而矩陣方程在生產(chǎn)實(shí)踐中的應(yīng)用勿用多言.

        由定理1可給出下面的矩陣方程AHXA#=A#AHX.

        定理2設(shè)A∈n×n為群可逆矩陣,則

        (i)A為正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)矩陣方程AHXA#=A#AHX在集合{A,A#,A+}中有解;

        (ii)A為2-正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)矩陣方程AHXA#=A#AHX有解X=AH;

        (iii)A為EP矩陣當(dāng)且僅當(dāng)矩陣方程AHXA#=A#AHX在集合{(A#)H,(A+)H}中有解.

        證(i) 必要性.若A為正規(guī)矩陣,則A為EP矩陣,故A+=A#,因此

        AHAA#=AHAA+=AH=A+AAH=A#AAH=A#AHA,

        從而X=A為一個(gè)解;

        充分性.① 若X=A為AHXA#=A#AHX的解,則AHAA#=A#AHA,注意到AA+A#=A#,所以

        (En-AA+)AHAA#=O,

        右乘AA+得

        (En-AA+)AH=O,

        從而AH=AA+AH,由推論3知A為EP矩陣,故AH=AHAA+=AHAA#=A#AHA,所以

        AAH=AA#AHA=A#AAHA=A+AAHA=AHA,

        故A為正規(guī)矩陣.

        ② 若X=A#為AHXA#=A#AHX的解,則AHA#A#=A#AHA#,右乘A2得

        AHA#A=A#AHA,

        由①知A為正規(guī)矩陣.

        ③ 若X=A+為AHXA#=A#AHX的解,則AHA+A#=A#AHA+,上式左乘(En-AA+)得

        (En-AA+)AHA+A#=O,

        右乘A2得

        (En-AA+)AHA+A=O,

        取共軛轉(zhuǎn)置得

        A+A2(En-AA+)=O,

        左乘A#A得

        A(En-AA+)=O,

        從而A=A2A+,故A為EP矩陣,從而A+=A#,因此AHA#A#=A#AHA#,由②知A為正規(guī)矩陣.

        (ii) 這是定理1的直接推論.

        (iii) 必要性.若A為EP矩陣,則A#=A+,故

        AH(A+)HA#=A+AA#=A#=A#A+A=A#AH(A+)H,

        從而X=(A+)H為一個(gè)解;

        充分性.① 若X=(A+)H為一個(gè)解,則

        AH(A+)HA#=A#AH(A+)H,

        即A+AA#=A#A+A=A#,所以A#A=(A+AA#)A=A+A,從而A為EP矩陣.

        ② 若X=(A#)H為一個(gè)解,則

        AH(A#)HA#=A#AH(A#)H,

        上式左乘(En-AA+)得

        (En-AA+)AH(A#)HA#=O,

        右乘A2A+得

        (En-AA+)(A#A)H=O,

        右乘AH得

        (En-AA+)AH=O,

        故AH=AA+AH,由推論3知A為EP矩陣.

        定理3設(shè)A∈n×n為群可逆矩陣,則A為2-正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)矩陣方程AXAHA+=AHX在集合{A,AH}中至少有一個(gè)解.

        證必要性.假設(shè)A為2-正規(guī)矩陣,則由引理1知,A為EP矩陣,故A+A=AA+,由于

        A2AHA+=AHA2A+=AHAA+A=AHA,

        故X=A為方程AXAHA+=AHX的一個(gè)解;

        充分性.① 若X=A為方程的解,則A2AHA+=AHA,由于

        AHA(En-AA+)=A2AHA+(En-AA+)=O,

        所以AHA=AHA2A+,左乘(A+)H得A=A2A+,從而A為EP矩陣,故A+A=AA+,因此

        AHA2=AHA2A+A=(AHA)A=A2AHA+A=A2AH,

        故A為2-正規(guī)矩陣.

        ② 若X=AH為方程的解,則AAHAHA+=AHAH,上式左乘AA+得

        AA+AHAH=AHAH,

        右乘(A#)H得

        AA+AH=AH,

        兩邊取共軛轉(zhuǎn)置得

        A=A2A+,

        故A為EP矩陣,從而

        AHAHA=AAHAHA+A=AAHAHAA+=AAHAH,

        再取共軛轉(zhuǎn)置得

        AHA2=A2AH,

        故A為2-正規(guī)矩陣.

        定理4設(shè)A∈n×n為群可逆矩陣,則A為2-正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)方程XA+AHA=AXAHA+在集合{A,A#,A+,(A#)H,(A+)H}中至少有一個(gè)解.

        證必要性.A為群可逆矩陣且為2-正規(guī)矩陣,由引理1知,A為EP矩陣,則

        AA+AHA=AHA=AHA2A+=A2AHA+,

        所以A為XA+AHA=AXAHA+的一個(gè)解;

        充分性.① 當(dāng)X=A時(shí),有AA+AHA=A2AHA+,右乘(E-AA+)得

        AA+AHA(E-AA+)=A2AHA+(E-AA+)=O,

        左乘(A+)H(A#)HAH得

        (A+)H(A#)HAHAA+AHA(E-AA+)=O,

        進(jìn)而得到A(E-AA+)=O,即A=A2A+,所以A是EP矩陣,又AA+AHA=A2AHA+,得

        AHA2=A2AH,

        所以A是2-正規(guī)矩陣.

        ② 當(dāng)X=A#時(shí),有A#A+AHA=AA#AHA+,左乘A2得

        AA+AHA=A2AHA+,

        證明同①.

        ③ 當(dāng)X=A+時(shí),有A+A+AHA=AA+AHA+,左乘(E-A+A)得

        (E-A+A)AA+AHA+=(E-A+A)A+A+AHA=O,

        右乘A(A#)HA得

        (E-A+A)AA+AHA+A(A#)HA=O,

        進(jìn)而有

        (E-A+A)AA+AH(A#)HA=O,

        (E-A+A)(A#AAA+)HA=O,

        從而(E-A+A)A=O,故A=A+A2,所以A為EP矩陣,又由A+A+AHA=AA+AHA+,左乘A2,右乘A得

        AHA2=A2AH,

        所以A是2-正規(guī)矩陣.

        ④ 當(dāng)X=(A+)H時(shí),有(A+)HA+AHA=A(A+)HAHA+,右乘(E-AA+)得

        (A+)HA+AHA(E-AA+)=A(A+)HAHA+(E-AA+)=O,

        左乘(A+)H(A#)HAHAAH得

        A(E-AA+)=O,

        即A=A2A+,故A為EP矩陣,又

        (A+)HA+AHA=A(A+)HAHA+,

        左乘AAH易得

        AHA=AAH,

        故A為正規(guī)矩陣,所以也為2-正規(guī)矩陣.

        ⑤ 當(dāng)X=(A#)H時(shí),有(A#)HA+AHA=A(A#)HAHA+,右乘(E-A+A)得

        A(A#)HAHA+(E-A+A)=(A#)HA+AHA(E-A+A)=O,

        進(jìn)而有AAH(A#)HA+(E-A+A)=O,左乘A+(A+)HAHA+得

        A+A+(E-A+A)=O,

        (A+)2=(A+)3A;

        另一方面,因?yàn)?/p>

        rank(A)=rank(AA#A)≤rank(A#A)≤rank(A),

        所以rank(A)=rank(A#A).

        同理:rank(A)=rank(A+A)=rank(A+),因?yàn)閞ank(A)=rank(A#A),所以

        rank(A2)=rank(A#A2)=rank(A),

        rank(A2)≤rank(A+A2A+)≤rank(AA+A2A+A)=rank(A2),

        從而

        rank(A2)=rank(A+A2A+).

        同理:rank((A+)2)=rank(A(A+)2A),由于rank(A+A2A+)=rank(A(A+)2A),所以

        rank((A+)2)=rank(A2)=rank(A)=rank(A+),

        故A+為群可逆矩陣,又(A+)2=(A+)3A,故A+為EP矩陣,結(jié)合

        (A#)HA+AHA=A(A#)HAHA+

        (A+)HA+AHA=A(A+)HAHA+,

        由④知A為2-正規(guī)矩陣.

        3 結(jié) 論

        本文介紹了一種新型的矩陣廣義逆,即2-正規(guī)矩陣,這類矩陣是正規(guī)矩陣的真正推廣,遺傳了正規(guī)矩陣的一些性質(zhì).通過(guò)構(gòu)造矩陣?yán)碚撝辛餍械木仃嚪匠痰慕獾拇嬖谛詠?lái)研究2-正規(guī)矩陣,豐富了矩陣廣義逆的研究?jī)?nèi)容與研究方法,同時(shí)這種研究手法可推廣到半群,環(huán)上,C*-代數(shù)及算子代數(shù)的廣義逆的研究中,因而具有理論上的意義.

        致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見(jiàn).

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