胡 琳， 楊曉梅， 聶麟飛

(新疆大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，烏魯木齊830046)

1 引 言

從上個世紀50年代開始，數(shù)學分析、高等代數(shù)和解析幾何就是高等院校數(shù)學專業(yè)學生的三門基礎(chǔ)課程.通常它們是三門相互獨立的課程，開設(shè)時間均在大一至大二期間.數(shù)學各專業(yè)均以這三門課為基礎(chǔ)安排后續(xù)專業(yè)課程內(nèi)容和教學體系，因此它們在教學中占有極其重要地位，并有很大的課時比例.但隨著新課程的開設(shè)及其學時的增加，分別開設(shè)高等代數(shù)與解析幾何兩門課占用課時較多的弊端已初現(xiàn).同時，眾所周知，高等代數(shù)是將幾何抽象化，解析幾何是以代數(shù)的方法研究幾何，幾何與代數(shù)互為問題，互為方法，互相交融，因此將高等代數(shù)與解析幾何合并為一門課程是非常必要的.這也得到了陳省身、楊中道等數(shù)學家的倡導，并在南開大學、西安交通大學等高校開始實施.將其合并后，從某種意義上講，這兩門課程均得到了加強.因為不僅節(jié)省了學時，而且還能將代數(shù)中某些高度抽象的概念借助于幾何工具具體化，使得學生更易于理解.這一點對于新疆大學這樣的西部地區(qū)綜合性大學更為重要.由于我?；旌暇幇嘟虒W，部分基礎(chǔ)較差學生對一些概括抽象名詞的理解還存在一定偏差，因而我校自2012年開始在數(shù)學學院所有專業(yè)中，對高等代數(shù)和解析幾何實施課程合并，以華東師范大學陳志杰教授主編的《高等代數(shù)與解析幾何》為教材.本文就高等代數(shù)與解析幾何合并后，為了培養(yǎng)出更高質(zhì)量的人才，逐步縮小中西部學生教育差距，努力為提高西部地區(qū)的教育水平發(fā)展做出貢獻，在教學內(nèi)容的互補性、教學手段的合理性、教學模式的多樣性和課程中的思政四個方面進行了初步探索.

2 高等代數(shù)與解析幾何一體化教學的探索

本節(jié)將從教學和思政兩個方面，進行初步探索.

2.1 重視“數(shù)、形”結(jié)合，相輔相成，相互滲透

從幾何和代數(shù)的發(fā)展歷史看，它們一直秉承著“代數(shù)為幾何提供研究方法，幾何為代數(shù)提供直觀背景”[1]的關(guān)系.尤其是在高等代數(shù)與解析幾何一體化教學后，幾何的研究為代數(shù)提出問題，而代數(shù)的討論結(jié)果又可以適時地運用到幾何中去.對此，剛剛進入大學的一年級新生，并不能很好地理解.由于他們對微積分的認知程度較低，尤其是一些來自邊遠學校的同學，他們在中學階段的數(shù)學學習本就有些欠缺，對于高等代數(shù)的抽象性更是心理準備不足，從而在學習該課程時缺乏信心.因此，在整個教學過程中，應(yīng)充分注重“數(shù)”“形”之間的相互交融，從學生的認知角度考慮，用“數(shù)”助“形”，以“形”輔“數(shù)”，可以幫助他們很好地化解學習高等代數(shù)抽象概念時的困難，進一步達到形象思維與邏輯思想同步發(fā)展的目的，更好地起到“數(shù)學是思維的體操”的作用.例如，兩個向量線性相關(guān)，從代數(shù)的角度看，即存在不全為零的數(shù)，使它們與兩個向量的線性組合值為零.學生對此理解并不透徹，但當教師給出空間中的向量圖形后，學生們頓時明白空間中兩個向量線性相關(guān)也就是“共線”，從而將一個模糊的代數(shù)概念轉(zhuǎn)化為具體的幾何圖形.在課堂上，通過“形”的展示，使學生在互動中解決了“數(shù)”的問題，從而即可使學生對抽象的代數(shù)有了更直觀的感覺.又如，利用線性方程組的解的情況分析判斷空間平面、直線的位置關(guān)系時，學生們在“數(shù)”“形”的互相交流中逐漸自己去發(fā)現(xiàn)諸如“兩直線異面”“兩直線平行”“三個平面平行”“三個平面兩兩相交成一個三棱柱狀”“三個平面交于一點”等直觀問題的理論描述.這樣就將一個看似較為棘手的幾何問題轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)問題，培養(yǎng)了學生用代數(shù)方法解決具體的幾何問題的能力.

2.2 降低認知難度，實施小組“分層”教學

本課程作為數(shù)學專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一，教學分為主講課、習題課和課后自學三部分.教師既要教給學生知識，還要培養(yǎng)他們的數(shù)學素養(yǎng)，從而使他們成為符合新世紀建設(shè)需要的高素質(zhì)復合型人才.本課程的教學對象主要是大學一年學生，一部分同學在從中學學習到大學學習的轉(zhuǎn)變過程中，不適應(yīng)每節(jié)課知識容量增加、概念抽象等情況，導致學習積極性不高，遇到問題時更欠缺分析問題和解決問題的決心.究其原因，首先，他們不能完全擺脫中學的學習模式，更傾向于以被動的方式來接納新知識.其次，新疆地處祖國西部邊陲，是多民族聚居區(qū)，隨著西部建設(shè)步伐的加快，迫切需要培養(yǎng)各民族大學生，但是部分邊遠地區(qū)學生相對同期入校的其他學生，中學數(shù)學基礎(chǔ)較薄弱，理解能力較弱，這些都或多或少影響著這部分學生的學習積極性和學習效果.主講教師根據(jù)學生的特點和實際水平，講授教材中較難理解的內(nèi)容時，在堅持科學性的前提下，把通俗性與科學性有機地結(jié)合，降低理論的認知難度.例如，關(guān)于行列式按行(列)展開的教學，教材上通過證明給出兩個極為相像的等式，如何區(qū)別記憶？某一行(列)元素均乘自己的代數(shù)余子式的和是行列式的值，就好似每個人回自己家，在父母允許的情況下可以帶走家里的“所有”物品，即行列式的值；而去他人家里就什么也不可以取，即某一行(列)每個元素乘其他行(列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的和為“0”.通過這樣的類比，學生們立刻順利地記牢了此知識點.

整個教學過程中，在教師主導學習的基礎(chǔ)上，實施小組合作的分層教學方式也是必不可缺的.學生有不同的層次結(jié)構(gòu)，興趣不同、目標不同、投入精力不同，因此在習題及課后自學階段，可以采取孔子提出的“深其深，淺其淺，益其益，尊其尊”的“分層教學”方法，因材施教，因人而異.在實際教學中，將一個自然班分為三層.一層同學有較好的數(shù)學基礎(chǔ)，對數(shù)學感興趣，有志于繼續(xù)深造；二層同學數(shù)學基礎(chǔ)一般；三層同學數(shù)學基礎(chǔ)相對薄弱.再根據(jù)個人喜好，不同層次的學生三人一組，實行小組協(xié)作式學習.課堂上，教學過程中有“合”有“分”，即有面向全體的統(tǒng)一講授，也有分層次的自學、答疑環(huán)節(jié).改變傳統(tǒng)的教師包講，學生包聽，少數(shù)學生跟隨，多數(shù)學生“旁觀”的狀況，調(diào)動每個同學的學習積極性，使他們都能真正成為學習的主人.

華羅庚先生在維諾格拉夫的《數(shù)論基礎(chǔ)》的中文譯本序言中曾說：“讀該書而不做該書的習題無異于‘入寶山而空返’.”由此可見習題對數(shù)學學習的重要性.習題選擇上，不同層次的學生有不同的選擇：對一層的同學，在基礎(chǔ)題之外，還需留有一些拓展和加深某些知識的思考題；對二層和三層的同學，則選擇側(cè)重基礎(chǔ)知識和基本技能的題.除此之外，還可以在三人小組中安排所有習題的討論.由于經(jīng)驗背景的差異，學生對問題的理解不同.充分利用學生之間這種差異的資源，開展互補互助性學習模式，使他們在自主探究、合作交流中，利用他人想法激發(fā)自己的靈感，創(chuàng)造出更好的方法.與此同時，通過交流也有效地將學生“被動”學習變?yōu)椤爸鲃印睂W習，更好地促進不同層次學生之間的溝通、互動，最終達到“一層、二層”提高和“三層”達標的目的.此外，三人小組還要進行知識歸類、整合.在每一章結(jié)束后，各小組派代表匯報本章的總結(jié)，小組成員接受教師和其他同學的提問，進行知識的查漏補缺，自我矯正.

2.3 引入混合教學，提高學習效率

混合教學模式被譽為顛覆性的教育創(chuàng)新模式[2].它結(jié)合了線上學習和傳統(tǒng)課堂學習的雙重優(yōu)勢，在拓展學習空間、豐富學習資源、合作學習和及時促進師生交流反饋等方面卓有成效.筆者結(jié)合所在院系學生特點，選用了清華大學與學堂在線共同研發(fā)的，集教學、學習、管理功能于一身的“雨課堂”網(wǎng)絡(luò)平臺.在該平臺上，教師根據(jù)授課進度，以分層教學中的小組為單位，發(fā)布小組作業(yè)或個人章節(jié)測試，學生在規(guī)定時間內(nèi)上傳.教師及時給出改進意見和相應(yīng)分數(shù)，并對優(yōu)秀的小組作業(yè)在課堂上組織匯報.這種示范效應(yīng)在學生中形成了良性循環(huán)，使更多人參與到了教學活動中.在討論區(qū)還可以設(shè)定相關(guān)主題，教師與學生均可參與其中，實時解決學生在學習中出現(xiàn)的問題，做到“今日事今日畢”.在教學實踐中將傳統(tǒng)教學方式的優(yōu)點和學習平臺的師生互動交流充分結(jié)合，既發(fā)揮了教師在教學過程中引導、啟發(fā)、監(jiān)控的主導作用，又能讓學生積極、自主地參與到學習過程中，發(fā)揮學生地創(chuàng)造性.通過一年多的實驗，筆者發(fā)現(xiàn)學生學習的積極性明顯提高，已基本養(yǎng)成了自覺通過在線資源獲取學習資料的習慣，提問和交流討論次數(shù)明顯增加，最終成績顯著提升.

2.4 融入課程思政，傳遞家國情懷

在高等代數(shù)與解析幾何課程的講授中，主講教師將學生的價值塑造融入到知識傳授中來，結(jié)合具體人物作為學習榜樣，引領(lǐng)學生感受數(shù)學的美；繼承老一代數(shù)學家的家國情懷，樹立為民族復興，祖國強盛而努力讀書的職責和使命.通過向同學們介紹新疆大學數(shù)學學科奠基人——陳德璜先生的經(jīng)歷：在建國初期懷揣“到新疆去，為祖國培養(yǎng)少數(shù)民族人才”的理想與信念，放棄清華大學的講師職位，響應(yīng)國家號召，來到新疆民族學院(新疆大學前身)工作.從親自編寫民族學生的漢語課本，到添置教學用具；從選拔漢語水平相對較好的民族學生作為實習助教，到自學維語，陳老一步一個腳印、手把手地培養(yǎng)了一批批各族的數(shù)學工作者.使各族同學們深刻感受到陳德璜先生所具有的胡楊精神，同時自己作為新一代新大人要傳承這一優(yōu)秀作風，與各族同學像石榴籽一樣緊緊抱在一起，接力拼搏，以豐富的知識為興疆固邊服務(wù)，為新疆社會穩(wěn)定與長治久安勇于開拓、無私奉獻.

3 教學效果

通過上述措施的具體實施，在我校合班模式下已取得了良好的教學效果.首先，學生成績從之前及格人數(shù)占70.24%，平均分65分，上升到目前的及格人數(shù)占86.16%，平均分上升到70分.特別是西部地區(qū)同學的及格率從62.52%上升到82.43%.

圖1

其次，從學生反饋的調(diào)查問卷上看，62.5%的同學更為喜愛這樣的教學模式.從“雨課堂”后臺的記錄看，近24%的同學課后會去觀看課程回放，近80%的同學能通過彈幕等方式積極參與到線上討論之中，尤其是對部分基礎(chǔ)比較薄弱的西部地區(qū)同學，通過線上隨時隨地與教師討論及分組研究的教學模式，他們的學習主動性與成績都有很大提高.

圖2 圖3

圖4 圖5

最后，通過課程中不斷融入的思政元素，學生們對數(shù)學的熱情不斷提升，對自己肩負的責任也更加明確.從考研數(shù)據(jù)表明：2016級同學中有54.6%的人參加了全國研究生入學考試或是被保送至各高?？蒲性核^續(xù)深造，其中西部同學占22.8%.2020級同學的調(diào)查問卷顯示，66.3%的同學想要畢業(yè)后繼續(xù)深造，其中西部同學占41.3%.經(jīng)過了解，絕大部分同學考研的目的不僅僅是自我的提升，更是想要為家鄉(xiāng)的建設(shè)做出點貢獻.

圖6 圖7

4 結(jié) 論

“高等代數(shù)與解析幾何”作為數(shù)學專業(yè)的基礎(chǔ)課程，其教學效果直接影響學生后續(xù)課程的學習.從對本課程的教學情況看，與以往只是在教室中教師一人進行“數(shù)與形”分離的“獨角戲”模式相比，融入思政元素及混合模式的分層教學模式，使學生們完成了從“讓我學”“聽老師安排”到“我要學”“自己找題目做”的華麗轉(zhuǎn)身，引導他們尤其是西部地區(qū)的同學們培養(yǎng)了好的學習方法和學習習慣，從而增強了自信心，提升了學習能力，為繼續(xù)深造打下了堅實的學習基礎(chǔ)，進而為家鄉(xiāng)的穩(wěn)定與發(fā)展做好充分準備.

不可否認，這幾種探索還有不足之處，如在課堂上由于合班教學的模式，不能關(guān)注到每一位學生的學習狀態(tài)，線上討論時部分學生仍舊不愿參與其中，這就不能很好地了解到每一位同學對所學知識的掌握程度.因此，我們將繼續(xù)進行更深入地探究， 將更多地挖掘出“高等代數(shù)與解析幾何”一體化教學的優(yōu)勢所在.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.