趙莉莉

(云南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 昆明650091)

1 引 言

數(shù)學類各課程教學方法的研究越來越受到學者們的關注，取得了不少有價值的成果，見文獻[1-4].雖然，對于合作式學習的教學方法在其它學科上的應用文章不少，但是缺乏它在數(shù)學類學科上應用的文獻.合作式學習是引進于歐美地區(qū)的一種教學方法.奧爾森等人對合作式學習給出的定義是：合作式學習是一種有組織的群體活動，這種學習建立在小組內學習者之間的信息交換的基礎之上，每一個學習者對自己的學習負責，同時也激發(fā)其它人的學習興趣[5].從上述定義可以看出：這種學習方法的重心是“合作”，現(xiàn)代社會網(wǎng)絡通信技術發(fā)達，人們可以利用計算機網(wǎng)絡與多媒體技術建立起合作式學習的大環(huán)境，實現(xiàn)小組成員之間的信息共享、組織小組成員之間或小組成員與教師之間的討論、交流和學習，達到使小組成員不受時間和地點的約束，自己掌握學習進度的目的.常微分方程是數(shù)學系一門應用性強的學科，但現(xiàn)在的教學現(xiàn)狀是教師牢牢掌控課堂主動權、課堂互動較少、課堂教學只注重理論知識的講授，而忽略了學生實踐能力的培養(yǎng)，無法有效激發(fā)學生學習興趣，教學效率不高，需要嘗試把合作式學習的思想引入到常微分方程的教學中，提高教學效率.

在反映現(xiàn)實客觀世界運動過程的量與量之間的關系中，存在著大量的滿足常微分方程關系式的數(shù)學模型，需要通過求解常微分方程的精確解或近似解、判斷常微分方程各類解函數(shù)的各種動力學性質，去更好地了解客觀世界.例如：常微分方程中的經(jīng)典模型——馬爾薩斯人口模型.在假設人口的自然增長過程中，人口的增長不受到外來因素的影響，凈相對增長率是一個常數(shù)的基礎上，英國人口統(tǒng)計學家馬爾薩斯提出了Malthus人口模型：

其中N表示t時刻的人口數(shù)量，r稱為生命系數(shù)，表示的是人口的凈相對增長率.這是一個變量分離方程，由變量分離法可求出它的通解為

N=cert，

如果再假設初始時刻t0，人口的數(shù)量為N0， 代入通解之中，可得：t時刻的人口數(shù)量

N(t)=N0er(t-t0).

此模型稱為logistic模型，這還是一個變量分離方程，用變量分離法可得

顯然當t→+∞時N(t)→Nm，即隨著時間的增長，人口數(shù)量不斷接近環(huán)境最大容量，符合客觀現(xiàn)實.從中不難發(fā)現(xiàn)常微分方程是人們發(fā)現(xiàn)、認識、改造客觀世界的重要理論工具.如果只是在班級內被動的傳授變量分量法的相關知識，學生可能會記住變量分離法兩個步驟，其一分離變量，其二兩邊同取不定積分，但難免會讓學生覺得枯燥、無味，提不起學習的興趣.但是如果在課前能把變量分離法的具體步驟，以及提出Malthus人口模型的背景等相關知識，利用智慧教學工具先推送給學生，讓學生分組合作式學習變量分離法，再讓學生利用所學知識去求解Malthus人口模型，充分發(fā)揮每一個學生在學習上的主觀能動性，接著在課中引導學生思考：Malthus人口模型的解，顯示人口數(shù)量是以指數(shù)形式進行增長的，這是不是合理的？如果不合理，應該如何修正模型，使它更加符合現(xiàn)實客觀世界？讓學生在合作學習小組內廣泛進行討論，鍛煉小組成員有效思考的技能和主動掌握知識的能力.最后可以把荷蘭生物學家Verhulst的解決方法教給學生， 理論與實踐并重，加深學生對變量分離法的記憶與理解.從上述例子不難看出，合作式學習能充分調動學生學習常微分方程的積極性，增強學習的責任心，而小組成員之間合作學習的協(xié)作精神又能促進學生積極主動獲取知識、利用所學知識解決實際問題能力的培養(yǎng).

2 探索與實踐

2.1 優(yōu)化教學內容，以方便開展合作式學習

常微分方程的教學內容相對較多，課時相對較少，如果所有的理論知識都逐點講授清楚，那么留給學生的時間會相對變少，整個教學過程就會只注重了理論知識的講授，而忽略了對實踐能力的培養(yǎng)，也會顯得比較枯燥，提不起學生學習的興趣.因此有必要優(yōu)化教學內容，把更多的課堂時間“還給”學生.例如：在許多常微分方程的教材之中高階線性微分方程與線性微分方程組是分不同的章節(jié)講授的，但是事實上，每一個高階線性微分方程的初值問題都可以化為一個線性微分方程組的初值問題，且在這樣的意義下兩者是等價的：知道一個初值問題的解的條件下，可以構造出另外一個初值問題的解；高階線性微分方程解的存在唯一性定理是線性微分方程組解的存在唯一性定理的推論；高階線性微分方程一般理論中每一個定理又是線性微分方程組一般理論中相應定理的推論.因此，教師在講授完線性微分方程組一般理論之后，可以考慮安排學生合作式學習高階線性微分方程的一般理論，不僅能“節(jié)省”課堂教學時間，還能充分調動學生學習常微分方程的主觀能動性，加深學生對高階線性微分方程初值問題和線性微分方程組初值問題關系的理解，從宏觀上掌握高階線性微分方程和線性微分方程組的一般理論.再例如說常數(shù)變異法這個知識點.在常微分方程課程中，常數(shù)變異法共講了三種.其一是一階線性微分方程的常數(shù)變異法；其二是高階線性微分方程的常數(shù)變異法；其三是線性微分方程組的常數(shù)變異法.這三種常數(shù)變異法也可以做成一個專題來進行合作式學習，讓學生能夠更清楚常數(shù)變異法的本質——待定函數(shù)的思想，也從形式上把齊次線性微分方程(微分方程組)和非齊次線性微分方程(微分方程組)的通解統(tǒng)一起來.若x1(t)，x2(t)，…，xn(t)是n階的齊次線性微分方程的一個基本解組，則n階的齊次線性微分方程和n階的非齊次線性微分方程，每一個解都可以表示為

x(t)=c1(t)x1(t)+c2(t)x2(t)+…+cn(t)xn(t).

若Φ(t)是齊次線性微分方程組的一個基解矩陣，則齊次線性微分方程組和非齊次線性微分方程組的每一個都可以表示為

x(t)=Φ(t)c(t).

2.2 選擇合適的合作式學習方式，才能有效地提高合作式學習的效率

合作式學習的方式有四種，其一為競爭形式的合作式學習，這種學習方式很大程度上受限于學習操作系統(tǒng)，學習系統(tǒng)會根據(jù)制定好的教學目標，針對某一個知識點，提出一個問題，再提供一些解決問題的資源，兩個以或兩個以上的學生利用這些資源進行學習，在整個學習過程中每一個學習者都能看到競爭者的學習狀態(tài)，這種方式的優(yōu)點在于學習者可以根據(jù)競爭者的學習狀態(tài)，調整自己的學習策略，爭取共同進步，達到教學目標.但是這種方式的缺點在于，學習者缺乏和老師之間的溝通，缺少老師的指導，容易造成盲目學習的狀態(tài)，不能及時的掌握知識點，理解其本質.其二為協(xié)同形式的合作式學習.這需要兩名以及兩名以上的學生共同完成合作式學習.這種方式需要根據(jù)每一名學生的特長和優(yōu)勢，合理進行學習分工，小組密切合作共同完成由教學大綱制定的某一個具體的學習任務.這種方式的優(yōu)點在于能充分發(fā)揮學習小組中每一位同學的優(yōu)勢特長，最大程度地調動他們學習的積極性.而這種方式的缺點在于學習小組中缺少一個“組織者”把每一位學習者的學習成果進行歸納總結，形成一個完整的結論，讓每一位學習者對學習任務有一個完整的認識與理解，從而完成教學大綱中所規(guī)定的教學任務.其三為伙伴形式的合作式學習，這種學習方式更加適合于為了完成同一個學習目標的期末考試或升學考試的復習，例如考研或考博，學生利用網(wǎng)絡上的各種學習平臺，尋找有相同學習目標的學習伙伴，當一方在學習上遇到困難時，可以與伙伴進行交流與討論，最終解決困難，共同完成學習目標.這種學習方式的優(yōu)點在于學習者有共同的學習目標，可以相互交流學習經(jīng)驗，在學習上取得共同的進步.但這種學習方法的缺點在于它不太適合對某一門課程的初學過程.筆者通過自身常微分方程的教學實踐，發(fā)現(xiàn)最適合常微分方程課程教學的形式還是第四種合作式學習的形式——角色扮演形式的合作學習.這種方式一般是能力各異的4-6名學生組成一個學習小組，獨立學習能力強又善于與其它同學溝通的學生擔任“指導者”的角色，負責統(tǒng)籌安排學習小組成員的學習任務、監(jiān)督他們的學習進度、為他們的學習提供指導與幫助，以及把學習小組每一位成員的學習成果進行歸納與總結，解決任課教師根據(jù)教學大綱所提出的問題，完成學習目標與任務.對擔任“指導者”角色的學生能力要求是比較高的，他不僅要對整個學習任務有一個宏觀上的把控，在學習小組遇到學習困難的時候還要和老師積極溝通，尋求教師的幫助.經(jīng)過近兩年來的教學實踐，筆者發(fā)現(xiàn)由學習小組內部成績最好、獨立學習能力最強的學生擔任“指導者”的角色和學習小組成員輪流擔任“指導者”的角色，教學效果都不錯.第一種方式因為擔任“指導者”角色的學生各方面的能力都很好能及時地對每一個成員的學習給與指導與幫助，學習小組的學習效率會比較高，能及時的完成學習任務.而第二種方式能夠讓每一個學生都得到很好的鍛煉，激勵了每一個學生的學習積極性.

2.3 在實踐過程中要不斷的修正合作式學習的教學實施方案，才能更加有效的提高教學效率

筆者曾于2018年和2019年的春季學期中，在所教的班級中使用了合作式學習的教學方法，發(fā)現(xiàn)常微分方程期末考試平均成績要比沒有實施教改的2017年教學班，提高了5-8分.而且在2018年教學班，使用了合作式學習的教學方式后，筆者及時總結了其中的經(jīng)驗教訓，例如沒有干預學生的分組情況，學習小組的分組方式采取的是學生自由組合的方式，導致學習小組的人數(shù)分布不均勻，多的多到十多人，而少的只有兩三人，人數(shù)過多會降低合作式學習小組內部溝通的有效程度，也存在一些相互推諉學習任務的情況，影響了學習效率，而人數(shù)過少又會導致每一個成員分配的學習任務過重，又可能存在不能及時完成學習任務的情況， 影響學習進度.再例如起初因為學生對教學方式有新鮮感，能非常積極地投入到常微分方程的合作式學習之中，然而這種學習方式需要學生投入大量的時間與精力，卻因為沒有配套的課程評價體系，打擊了學生參與合作式學習的積極性，影響了教學效果.筆者及時修正了合作式學習的教學實施方案：合理干預學生的分組情況、加強常微分方程課程的過程管理，讓學生的每一次合作式學習的表現(xiàn)都能在課程的綜合成績中有所體現(xiàn)，最大限度地調動學生學習的主觀能動性，提高了教學效率.在2019年的春季學期改進了合作式學習的實施方案之后，期末平均成績又比2018年教學班的提高了2.7分.

3 教學實效

從2017年開始計劃在教學中引入合作式學習的教學方法，并開始收集相關教學數(shù)據(jù).2018年與2019年教學班中正式實施了教學改革.圖1為實施教學改革前后常微分方程成績對比表，平均成績、及格率以及最低分的提高、高分人數(shù)(90分以上)的增多都反映了合作式學習能促進學生學習能力的提高；圖2為實施教學改革前后學生參加大學生數(shù)學建模競賽情況對比表，學生參加大學生數(shù)學建模競賽積極性的提高、獲獎學生人數(shù)的增多都反映了合作式學習，能有效促進學生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)；圖3和圖4分別為2018年和2019年春季學期常微分方程學生評教結果(學生評價內容為5項，每一項滿分為20分，總分100分)，總分分別為96.8、97.6，可以看出學生對常微分方程課程中引入合作式學習的教學方法接受度較高、對教改促進學生綜合能力的提高認可度也較高.

圖1 實施教學改革前后常微分方程成績對比

圖2 實施教學改革前后參加大學生數(shù)學建模競賽情況對比

圖3 2018年常微分方程評教結果

圖4 2019年常微分方程評教結果

從以上數(shù)據(jù)，進一步分析合作式學習對提高學生學習能力、培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神、提升學生綜合素質的原因.

3.1 合作式學習提高學生學習能力原因分析

原來傳統(tǒng)的常微分方程的教學都是老師講，學生聽，他們只是被動的記錄老師的“東西”，沒有對知識點進行思考，變成自己的“東西”.甚至有些學生把常微分方程當成“文科”來學習，存在“死記硬背”公式的情形，例如求解一階的非齊次線性微分方程時，甚至是求解高階非齊次線性微分方程時，不少學生都習慣套用現(xiàn)成的常數(shù)變異公式，而不是掌握常數(shù)變異法的兩個步驟，自己利用常數(shù)變異法求出微分方程的通解.但是

和

都是一階的非齊次線性微分方程的一般形式，學生“生搬硬套”的套用常數(shù)變異公式，容易出現(xiàn)“套錯”公式的情形.而在常微分方程的教學之中，引入合作式學習的教學方法之后，知識點就變成了學生在合作式學習小組的學習討論中討論出來的，是學生自己主動獲取的知識，加入了他們自己的思考是他們自己的“東西”，自然也就能加深學生對知識點的記憶和理解，同時也改進了學生的學習方式，提高了他們的學習能力，讓學生真正成為了學習的“主體”.在實施教學改革之前，基本沒有學生嘗試解答期末考卷中考查學生學習能力、思維能力的“拔高題”，沒有高分學生，最高分僅88分，而從2018年實施教學改革之后，更多的學生開始嘗試解答考卷中的“拔高題”，2018與2019學年分別有8和10位高分學生，占全班總人數(shù)的20%與25%，連續(xù)兩年最高分都為100分，從中不難看出合作式學習將學生學習方式從“被動學習”變成了“主動學習”，有效促進了學生學習能力的提高.

3.2 合作式學習培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新精神原因分析

合作式學習的教學方式能加強學生學習的主觀能動性，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神.合作式學習小組的成員是一個個不同的“個體”，在每一次合作式學習的過程之中，小組成員之間、學生和老師之間的相互啟發(fā)與相互討論，都會產(chǎn)生不少思維上“閃光點”，提出許多值得討論的問題，這是一個動態(tài)地、創(chuàng)造性地獲得知識的學習方式，在這個過程中很“自然的”就培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新精神.常微分方程是一門理論與實踐并重的學科，在布置合作式學習的學習任務時，還可以通過一些實際問題引入.在完成學習任務之后，學生不僅加深了對某一知識點的記憶與理解，也增強了學生利用學科知識解決實際問題的能力，進一步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神.以高階微分方程的降階為例，不妨用這樣一個問題來引入：從海平面上向海中沉放，某種物體，求該物體與海底接觸時的速度，即需要確定物體下沉深度s(從海平面算起)與下沉速度v之間的函數(shù)關系.假設物體在重力作用下從海平面由靜止開始鉛直下沉，在下沉的過程中還受到阻力和浮力的作用，該物體的質量為m， 體積為T， 海水的比重為ρ， 物體所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為k.用s(t)表示在t時刻物體下沉的位移，考慮到位移的導數(shù)是物體降落的速度，而速度的導數(shù)就是加速度，則由牛頓第二定理，可以列出微分方程：

(1)

原二階微分方程就可以降階，成為一階微分方程：

這是一個變量分離方程，可以用變量分離法求出其通解，再考慮到初值條件s=0，v=0， 可以得到物體下沉深度s與下沉速度v之間的函數(shù)關系， 從而通過求出(1)式，這個二階微分方程的解，不僅能讓學生學會高階微分方程降階的技巧，也能讓學生更加清楚這個物體的遠動規(guī)律，提高學生利用常微分方程的知識點解決實際問題的能力，加強了學生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)， 知識不是用來應付考試的，是拿來用的.大學生數(shù)學建模競賽有利于數(shù)學理論，尤其是常微分方程的理論付諸實踐，對學生創(chuàng)新能力有較高要求.在實施教學改革之前，對大學生數(shù)學建模競賽感興趣的學生不多，得獎學生更少.2017學年僅有9名學生組成3隊參加建模競賽，其中1隊共3名學生獲獎，占全班總人數(shù)的7.5%.大多數(shù)學生更加習慣的是“按部就班”地學習與考試.實施教學改革之后，學生逐步習慣了合作式學習這一種動態(tài)地、創(chuàng)造性地獲取知識地方式，對自身創(chuàng)新能力的要求也越來越高.2018學年共有15名學生組成5隊參加了建模競賽，其中有3隊共9名學生獲獎，占全班總人數(shù)的22.5%.2019學年共有21名學生組成7隊參加了建模競賽，其中有5隊共15名學生獲獎，占全班總人數(shù)的37.5%.參加大學生數(shù)學建模競賽學生人數(shù)和獲獎學生人數(shù)穩(wěn)步增多，反映了基于合作式學習的教學改革能有效促進學生創(chuàng)新精神的培養(yǎng).

3.3 合作式學習提升了學生的綜合素質原因分析

合作式學習能夠培養(yǎng)學生各方面的素質，首先能培養(yǎng)學生的合作精神和人際交往能力，這在現(xiàn)代社會中是尤為重要的.整個合作式學習小組要按照教學大綱的要求按時按量地完成既定學習目標和任務，就需要小組中每一個成員能夠有有效地、良好地溝通，通力合作，為了同一個目標而努力，這在無形之中就培養(yǎng)了學生的人際交往能力和合作精神.其次合作式學習還能培養(yǎng)學生的抗壓能力和心理素質.無論是在生活中，還是在學習上不可能都是一帆風順的，會遇到各式各樣的挫折.學生大多習慣了傳統(tǒng)的教育模式——老師講授知識，學生被動的學習知識，一開始學生可能會對合作式學習的學習模式感覺很新鮮很好奇，激發(fā)了他們的學習熱情和學習積極性，但是，如若他們在主動地探索知識的過程遇到困難和挫折，難免就會打擊到他們的學習熱情和積極性，這時就需要學習小組內部成員之間相互啟發(fā)、相互鼓勵，在全策全力完成學習任務的過程之中，不斷加強自身的抗壓能力和心理素質.最后合作式學習還能增強學生的競爭意識和集體榮譽感，對學生畢業(yè)之后，融入社會大有益處.教師在布置學習任務時，可以適當?shù)囊龑Ш献魇綄W習小組之間的學習競爭，激勵合作式學習小組的成員為了集體的榮譽感，積極投入到學習之中.合作精神、人際交往能力、抗壓能力和心理素質、競爭精神、集體榮譽感是學生綜合素質中不可或缺的部分，通過常微分方程課程的學習，這些能力是否得到有效培養(yǎng)，需要學生在日常學習與生活中自己感悟，他們才更加具有發(fā)言權.實施教學改革之后，每一項評教內容學生評教平均分均在19分以上(總分為20分)，反映了基于合作式學習的教學改革能有效提升學生的綜合素質.

4 結 論

本文分析了常微分方程教學中關于合作式學習的教學改革，展示了理論知識與實際應用相結合的教學案例，取得了良好的教學效果.為了使合作式學習方法更好地融入到常微分方程的教學之中，還需要在授課過程中優(yōu)化教學內容、合理選擇合作式學習的方式、不斷完善教學實施方案，這樣才能有效促進教學改革、提高教學質量.

致謝作者非常感謝參考文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.