江蘇省如皋市如城實(shí)驗(yàn)小學(xué) 莊小麗

“模型”是人類認(rèn)識(shí)世界的基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“數(shù)學(xué)模型”，通過模型的建構(gòu)，激發(fā)學(xué)生的“模型應(yīng)用”意識(shí)。什么是“數(shù)學(xué)模型”？廣義上來說，一切的數(shù)學(xué)概念、公式、方程等算法系統(tǒng)都是數(shù)學(xué)模型。狹義上來說，只有那些能反映具體事物的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才是數(shù)學(xué)模型。建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，能讓學(xué)生有效地掌握建模方法，培育學(xué)生的模型思想。教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)、完善過程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行修正和模型的應(yīng)用。

一、模型準(zhǔn)備：形成學(xué)生模型建構(gòu)內(nèi)驅(qū)

從過程上看，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)一般可以分為“模型準(zhǔn)備”“模型假設(shè)”“模型求解”“模型應(yīng)用”等。其中，模型準(zhǔn)備是模型建構(gòu)的基礎(chǔ)。在模型準(zhǔn)備的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從問題情境中提煉出相關(guān)信息，并進(jìn)行有意識(shí)的簡化，從而為模型猜想、模型假設(shè)、模型提出等奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。模型準(zhǔn)備要激發(fā)學(xué)生的模型興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生模型建構(gòu)的積極性，讓學(xué)生產(chǎn)生模型建構(gòu)的內(nèi)驅(qū)力、向心力，形成模型建構(gòu)的積極心向。

在模型準(zhǔn)備過程中，教師要了解學(xué)生的原有模型結(jié)構(gòu)，把握學(xué)生原有的模型認(rèn)知，從而讓模型準(zhǔn)備能切入學(xué)生數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的“最近發(fā)展區(qū)”。教師不僅要探尋學(xué)生已有的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)，更要探尋學(xué)生的已有認(rèn)知，要強(qiáng)化學(xué)生的模型意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的模型建構(gòu)興趣。比如，教學(xué)《小數(shù)的意義》這部分內(nèi)容，探尋學(xué)生的已有模型結(jié)構(gòu)，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)的意義，建構(gòu)了分?jǐn)?shù)的簡單模型。為此，我們在教學(xué)中從兩個(gè)方面準(zhǔn)備：一是從學(xué)生的分?jǐn)?shù)模型結(jié)構(gòu)出發(fā)，讓學(xué)生將新舊知識(shí)鏈接起來、嫁接起來；二是從模型建構(gòu)的外在操作、工具等入手，通過引導(dǎo)學(xué)生畫圖、涂色等，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到小數(shù)的表示方法。通過畫圖、涂色等操作，讓學(xué)生形成小數(shù)的可視化表象，增強(qiáng)學(xué)生對小數(shù)意義的直觀認(rèn)知。在這個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)積極主動(dòng)地調(diào)動(dòng)自身的分?jǐn)?shù)概念模型，并將其與小數(shù)的意義聯(lián)系起來，從而形象化、邏輯化、層次化地建構(gòu)小數(shù)意義的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生只有認(rèn)識(shí)到小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，才能深刻感悟到“小數(shù)就是不帶分母的十進(jìn)分?jǐn)?shù)”。

模型準(zhǔn)備是學(xué)生模型建構(gòu)的基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師一方面要引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)備相關(guān)的模型建構(gòu)素材、資源等，另一方面要激活學(xué)生的模型建構(gòu)已有知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的模型建構(gòu)心向等。只有做好模型建構(gòu)的充分準(zhǔn)備，才能引導(dǎo)學(xué)生有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。在這個(gè)過程中，讓學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的模型建構(gòu)力。

二、模型猜想：形成學(xué)生模型建構(gòu)力點(diǎn)

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，應(yīng)當(dāng)以滲透、融合等方式展開。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)化的眼光來觀察，用模型化的思想來考量，用一般化的思維來概括，用結(jié)構(gòu)化的視角來感知，用系列化的體例來強(qiáng)化，用顯現(xiàn)化的方式來表征等，從而激發(fā)學(xué)生的模型猜想。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生敢于猜想、善于猜想、樂于猜想，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從“境”到“?！钡倪^程。

比如，教學(xué)《乘法分配律》這一部分內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)掌握了加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律等相關(guān)模型，并且經(jīng)歷了這些模型的建構(gòu)過程。為此，我們在教學(xué)中給學(xué)生提供了豐富的素材，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)生活原型中進(jìn)行數(shù)學(xué)提煉，并進(jìn)行簡約化處理，從而提出相關(guān)的模型猜想。有學(xué)生用文字來表達(dá)這種猜想，如“（爸+媽）×我=爸×我+媽×我”，有學(xué)生用圖形表示，如“（△+☆）×□=△×□+☆×□”；還有學(xué)生用符號來表達(dá)，如“（a+b）×c=a×c+b×c”，等等。盡管不同的學(xué)生基于各自的模型視野提出了不同的模型猜想，但卻都表征了“乘法分配律”的意義。在學(xué)生模型猜想的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型的驗(yàn)證。學(xué)生舉出了很多的例證，從各個(gè)層面對模型進(jìn)行驗(yàn)證，從而有效地建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型。這個(gè)過程不僅促進(jìn)了學(xué)生的“模型猜想——模型驗(yàn)證”等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的形成，更培養(yǎng)了學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)模型并有效解決的能力。

學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力反映了學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要正視學(xué)生的模型猜想差異。在模型建構(gòu)的過程中，有學(xué)生可能處于“悟?！钡碾A段，有學(xué)生可能處于“成?！彪A段。引導(dǎo)學(xué)生從生活原型中抽象、提煉、概括、建構(gòu)成數(shù)學(xué)模型，有助于培養(yǎng)學(xué)生的建模能力。

三、模型求解：賦予學(xué)生模型建構(gòu)意義

學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，從最一般的意義來說，有兩個(gè)層面的內(nèi)容：其一是從生活原型過渡到數(shù)學(xué)模型，其二是對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行意義賦予，也就是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型的意義和價(jià)值，為學(xué)生的模型應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。從數(shù)學(xué)模型過渡到生活原型的過程，就是模型求解的過程。這個(gè)過程能深化學(xué)生的認(rèn)知，豐盈學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在生活中形成“數(shù)學(xué)的眼光”和“數(shù)學(xué)的大腦”。

模型的求解是一個(gè)從數(shù)學(xué)模型到現(xiàn)實(shí)原型的意義賦予、意義建構(gòu)過程。只有鏈接學(xué)生的生活原型，才能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型的意義和價(jià)值，才能讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型的具體應(yīng)用。從數(shù)學(xué)模型向生活原型的回溯，從某種意義上說，就是數(shù)學(xué)模型的求解過程，就是數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)化、意義化的過程，這個(gè)過程是生動(dòng)的，也必定能促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型更為深刻的理解和把握。

四、模型應(yīng)用：激發(fā)學(xué)生模型建構(gòu)創(chuàng)新

學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程是一個(gè)比較復(fù)雜并且極富挑戰(zhàn)性的過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、猜想數(shù)學(xué)模型、求解數(shù)學(xué)模型，更要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型的實(shí)踐應(yīng)用，讓學(xué)生在實(shí)踐中進(jìn)行模型建構(gòu)的創(chuàng)新。模型蘊(yùn)含著相關(guān)的、豐富的數(shù)學(xué)思想、方法，只有通過模型的應(yīng)用，才能逐步地顯現(xiàn)、敞亮開來。

模型不僅具有數(shù)學(xué)理論的價(jià)值，更具有實(shí)踐的價(jià)值、工具的價(jià)值等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)模型作為分析、解決問題的工具，讓模型成為學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的載體、媒介。數(shù)學(xué)模型具有一種功能，能促進(jìn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)。比如，教學(xué)《間隔排列》這一部分內(nèi)容，在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型之后，我們呈現(xiàn)了學(xué)生生活中的諸多事例，如電線桿與間距、鋸木頭中的間隔排列、樓層中的間隔排列，等等。為解決這些實(shí)際生活中的問題，我們在教學(xué)中有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用“一一間隔”的數(shù)學(xué)模型來觀照、解釋現(xiàn)實(shí)生活中的問題，讓現(xiàn)實(shí)問題原型與數(shù)學(xué)模型相匹配，從而讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問題。如果說建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程是從“多”到“一”的過程，那么模型的應(yīng)用就是從“一”到“多”的過程。通過數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)生活化的能力。

數(shù)學(xué)模型具有本質(zhì)性的思想，能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的思想方法、本質(zhì)特點(diǎn)等形成更為全面、深刻的理解。數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，應(yīng)當(dāng)以滲透、融入等方式為主。建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程，有助于開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視界，讓學(xué)生超越素材、資源、情境等的表象，感悟到數(shù)學(xué)本質(zhì)。數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的提升，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。