黃宇飛, 劉合超

(1. 廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院人文社科學(xué)院數(shù)學(xué)教學(xué)部, 廣州 510403； 2. 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣州 510631)

化學(xué)圖論是一門將化學(xué)與圖論相結(jié)合的交叉學(xué)科. 拓?fù)渲笖?shù)作為圖的不變量,可用來預(yù)測(cè)有機(jī)化合物的物理化學(xué)性質(zhì),在化學(xué)和醫(yī)藥科學(xué)中具有重要的作用[1]. 眾所周知,自化學(xué)圖論發(fā)展至今已誕生了很多有價(jià)值的拓?fù)渲笖?shù). 最近,GUTMAN和KULL提出了Sombor指數(shù)族的若干概念 (普通Sombor指數(shù)[2]、約化Sombor指數(shù)[2]和改良Sombor指數(shù)[3]等),經(jīng)檢驗(yàn),它們?cè)谀M烷烴的熵和蒸發(fā)焓方面顯示出良好的預(yù)測(cè)和判別能力[4],這些描述可以成功地應(yīng)用于化合物熱力學(xué)性質(zhì)的模擬,具有重要的化學(xué)應(yīng)用價(jià)值.

1 預(yù)備知識(shí)

命題1設(shè)G是一個(gè)n階連通簡(jiǎn)單圖,則

根據(jù)命題1,易得如下2個(gè)推論:

推論1設(shè)G是連通簡(jiǎn)單圖且其僅有(2,2)-型、(2,3)-型和(3,3)-型邊,則

推論2設(shè)G是連通簡(jiǎn)單圖且其僅有(2,2)-型、(2,4)-型和(4,4)-型邊,則

2 4類芳香族化合物的改良Sombor指數(shù)的極值與極圖

2.1 隨機(jī)苯鏈

圖1 苯鏈的3種局域排布

隨機(jī)苯鏈(族)HXG(n;p1,p2)是指通過逐步添加末端苯環(huán)并最終形成由n(≥2)個(gè)苯環(huán)構(gòu)成的苯鏈,其中第t(t=3,4,…,n)步添加末端苯環(huán)時(shí)有以下3種隨機(jī)情形:

下面將刻畫隨機(jī)苯鏈HXG(n;p1,p2)的改良Sombor指數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

證明根據(jù)隨機(jī)苯鏈的結(jié)構(gòu),易見其是連通簡(jiǎn)單圖且其僅有(2,2)-型、(2,3)-型和(3,3)-型邊. 由推論1可得:

當(dāng)n≥3時(shí),注意到末端的苯環(huán)有3種連接方式(圖1),故可考慮分析以下3種情形.

m22(G1)=m22(G)+1,

m23(G1)=m23(G)+2,

m33(G1)=m33(G)+2,

所以，結(jié)合推論1可得:

m22(G2)=m22(G)+0,

m23(G2)=m23(G)+4,

m33(G2)=m33(G)+1,

所以，結(jié)合推論1可得:

m22(G3)=m22(G)+1,

m23(G3)=m23(G)+2,

m33(G3)=m33(G)+2,

所以,結(jié)合推論1可得:

綜上可得:

即得所需結(jié)論. 證畢.

下面將給出隨機(jī)苯鏈的改良Sombor指數(shù)的極值與極圖刻畫.

證明根據(jù)定理1可知:

由于

所有由n個(gè)苯環(huán)構(gòu)成的隨機(jī)苯鏈的改良Sombor指數(shù)的均值可表示為:

由于HXGn中每個(gè)元具有相同的發(fā)生概率,故有p1=p2=1-p1-p2=1/3,從而由定理1可得如下結(jié)論:

2.2 隨機(jī)聚苯鏈

隨機(jī)聚苯鏈(族)PPC(n;p1,p2)是指通過逐步添加末端割邊及苯環(huán)并最終形成由n(≥2)個(gè)苯環(huán)及n-1條割邊構(gòu)成的聚苯鏈,其中第t(t=3,4,…,n)步添加末端苯環(huán)有以下3種隨機(jī)情形:

下面將刻畫隨機(jī)聚苯鏈PPC(n;p1,p2)的改良Sombor指數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

定理4隨機(jī)聚苯鏈PPC(n;p1,p2)的改良Sombor指數(shù)的數(shù)學(xué)期望為:

證明根據(jù)隨機(jī)聚苯鏈的結(jié)構(gòu),易見其是連通簡(jiǎn)單圖且其僅有(2,2)-型、(2,3)-型和(3,3)-型邊. 由推論1可得:

當(dāng)n≥3時(shí),注意到末端的割邊及苯環(huán)有3種連接方式(圖2),故可考慮分析以下3種情形.

圖2 聚苯鏈的3種局域排布

m22(G1)=m22(G)+2,

m23(G1)=m23(G)+4,

m33(G1)=m33(G)+1,

所以，結(jié)合推論1可得:

m22(G2)=m22(G)+3,

m23(G2)=m23(G)+2,

m33(G2)=m33(G)+2,

所以，結(jié)合推論1可得:

m22(G3)=m22(G)+2,

m23(G3)=m23(G)+4,

m33(G3)=m33(G)+1,

所以,結(jié)合推論1可得:

綜上可得:

即得所需結(jié)論. 證畢.

下面將給出隨機(jī)聚苯鏈的改良Sombor指數(shù)的極值與極圖刻畫.

證明根據(jù)定理4可知:

由于

所有由n個(gè)苯環(huán)和n-1條割邊構(gòu)成的隨機(jī)聚苯鏈的改良Sombor指數(shù)的均值可記為:

由于PPCn中每個(gè)元具有相同的發(fā)生概率,故有p1=p2=1-p1-p2=1/3,從而由定理4可得如下結(jié)論:

2.3 隨機(jī)亞苯基鏈

圖3 亞苯基鏈的3種局域排布

隨機(jī)亞苯基鏈(族)RPH(n;p1,p2)是指通過逐步添加末端環(huán)丁烷及苯環(huán)并最終形成由n(≥2)個(gè)苯環(huán)和n-1個(gè)環(huán)丁烷構(gòu)成的亞苯基鏈,其中第t(t=3,4,…,n)步添加末端苯環(huán)有以下3種隨機(jī)情形:

下面將刻畫隨機(jī)亞苯基鏈RPH(n;p1,p2)的改良Sombor指數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

定理7隨機(jī)亞苯基鏈RPH(n;p1,p2)的改良Sombor指數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

證明根據(jù)隨機(jī)亞苯基鏈的結(jié)構(gòu),其是連通簡(jiǎn)單圖且其僅有(2,2)-型、(2,3)-型和(3,3)-型邊. 由推論1可得:

當(dāng)n≥3時(shí),注意到末端的環(huán)丁烷及苯環(huán)有3種連接方式(圖3),故可考慮分析以下3種情形.

m22(G1)=m22(G)+1,

m23(G1)=m23(G)+2,

m33(G1)=m33(G)+5,

所以，結(jié)合推論1可得:

m22(G2)=m22(G)+0,

m23(G2)=m23(G)+4,

m33(G2)=m33(G)+4,

所以，結(jié)合推論1可得:

m22(G3)=m22(G)+1,

m23(G3)=m23(G)+2,

m33(G3)=m33(G)+5,

所以,結(jié)合推論1可得:

綜上可得:

即得所需結(jié)論. 證畢.

下面將給出隨機(jī)亞苯基鏈的改良Sombor指數(shù)的極值與極圖刻畫.

由于

所有n個(gè)苯環(huán)構(gòu)成的隨機(jī)亞苯基鏈的改良Sombor指數(shù)的均值可表示為:

由于RPHn中每個(gè)元具有相同的發(fā)生概率,故有p1=p2=1-p1-p2=1/3,從而由定理7可得如下結(jié)論:

2.4 隨機(jī)斯皮羅鏈

圖4 斯皮羅鏈的3種局域排布

隨機(jī)斯皮羅鏈(族)SPC(n;p1,p2)是指通過逐步添加末端苯環(huán)并最終形成由n(≥2)個(gè)苯環(huán)構(gòu)成的斯皮羅鏈,其中第t(t=3,4,…,n)步添加末端苯環(huán)有以下3種隨機(jī)情形:

下面將刻畫隨機(jī)斯皮羅鏈SPC(n;p1,p2)的改良Sombor指數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

定理10隨機(jī)斯皮羅鏈SPC(n;p1,p2)的改良Sombor指數(shù)的數(shù)學(xué)期望為:

證明由隨機(jī)斯皮羅鏈的結(jié)構(gòu)可知其是連通簡(jiǎn)單圖且僅有(2,2)-型、(2,4)-型和(4,4)-型邊. 由推論2可得:

當(dāng)n≥3時(shí),注意到末端苯環(huán)有3種連接方式(圖4),故可考慮分析以下3種情形.

m22(G1)=m22(G)+2,

m24(G1)=m24(G)+4,

m44(G1)=m44(G)+0,

所以，結(jié)合推論2可得:

m22(G2)=m22(G)+3,

m24(G2)=m24(G)+2,

m44(G2)=m44(G)+1,

所以，結(jié)合推論2可得:

m22(G3)=m22(G)+2,

m24(G3)=m24(G)+4,

m44(G3)=m44(G)+0,

所以,結(jié)合推論2可得:

綜上可得:

即得所需結(jié)論. 證畢.

下面將給出隨機(jī)斯皮羅鏈的改良Sombor指數(shù)的極值與極圖刻畫.

證明由定理10可知:

由于

所有由n個(gè)苯環(huán)構(gòu)成的隨機(jī)斯皮羅鏈的改良Sombor指數(shù)的均值可記為:

由于SPCn中每個(gè)元具有相同的發(fā)生概率,故有p1=p2=1-p1-p2=1/3,從而由定理10可得如下結(jié)論:

定理12SPCn中所有元的改良Sombor指數(shù)的均值為：