楊芝鳳，王瑞峰

（蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，蘭州 730070）

0 引言

列車運(yùn)行過程中，定位精度和可靠性是行車安全的一項(xiàng)重要指標(biāo)[1-2]。京張高鐵首次采用北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BeiDou navigation satellite system,BDS），開啟了BDS 在鐵路中的應(yīng)用。接收機(jī)自主完好性檢測（receiver autonomous integrity monitoring,RAIM）算法利用接收機(jī)內(nèi)部的冗余值進(jìn)行自主檢測而不依靠外部設(shè)備，它具備自主故障檢測能力，可以在BDS 導(dǎo)航衛(wèi)星出現(xiàn)錯(cuò)誤并導(dǎo)致定位精度下降時(shí)報(bào)警，有效保障了列車在運(yùn)行過程中的定位安全[3-4]。

文獻(xiàn)[5]提出使用水平保護(hù)級(jí)別（horizontal protect level,HPL）方法來對RAIM 算法進(jìn)行可用性預(yù)測，對RAIM 在定位中的應(yīng)用提供可靠性保障；文獻(xiàn)[6]提出一種加權(quán)的HPL 算法，仿真驗(yàn)證了加權(quán)HPL 算法可以提高RAIM 算法的可用性；文獻(xiàn)[7]將RAIM 應(yīng)用于室內(nèi)定位中，并解決了室內(nèi)信號(hào)衰減大的問題，將水平方向定位結(jié)果控制在10 m 以內(nèi)；文獻(xiàn)[8]隨著多星座組合導(dǎo)航的出現(xiàn)，提出通過對可見星星座進(jìn)行篩選來提高定位的精度以及魯棒性；文獻(xiàn)[9]對衛(wèi)星在列車定位中的應(yīng)用作出可行性分析，并對RAIM 算法在鐵路中的應(yīng)用給出可用性評估；文獻(xiàn)[10]研究了一種沿股道方向保護(hù)級(jí)別（along track protect level,ATPL）算法，將RAIM 應(yīng)用于鐵路領(lǐng)域，并仿真驗(yàn)證了RAIM 在鐵路應(yīng)用中的可行性；文獻(xiàn)[11]在ATPL 算法中引入加權(quán)因子來檢查故障衛(wèi)星，以提高列車定位中的故障檢測率。

RAIM 算法在列車定位中存在精度不足以及容易漏檢的問題。改進(jìn)的RAIM 算法分析特征斜率對衛(wèi)星漏檢率和定位精度的影響，進(jìn)而對加權(quán)矩陣進(jìn)行判定，并對觀測方程進(jìn)行處理，可以有效降低衛(wèi)星故障漏檢的風(fēng)險(xiǎn)，從而提高算法定位精度，滿足鐵路運(yùn)行的需求。

1 RAIM 算法基本原理

1.1 BDS 定位原理

衛(wèi)星到列車接收機(jī)的距離由衛(wèi)星發(fā)射信號(hào)的時(shí)間到接收機(jī)接收信號(hào)的時(shí)間差乘以光速所得。由于衛(wèi)星發(fā)射信號(hào)時(shí)間與接收機(jī)接收信號(hào)時(shí)間有鐘差，此距離的計(jì)算公式[12]為

式中：i為正整數(shù)；γi為第i顆衛(wèi)星的偽距；（x(i),y(i),z(i)）為第i顆衛(wèi)星的坐標(biāo)；（xu,yu,zu）為接收機(jī)坐標(biāo)；bu為鐘差；ε(i)為第i顆衛(wèi)星觀測誤差。

通過測量多顆BDS 衛(wèi)星與列車接收機(jī)之間的偽距觀測量，結(jié)合三球交會(huì)的原理，只需要3 顆衛(wèi)星即可完成定位運(yùn)算；但是衛(wèi)星偽距中含有衛(wèi)星鐘差和接收機(jī)鐘差，所以至少4 顆可見衛(wèi)星才能完成定位。其原理如圖1 所示。

圖1 衛(wèi)星定位原理

1.2 可用性判斷

算法可用性判斷一般分為最大精度因子法、近似徑向誤差保護(hù)法和水平保護(hù)限值法[13]3 種。本文采用水平保護(hù)限值法進(jìn)行可用性判斷，將水平保護(hù)限值HPL 與列車行駛階段的水平告警限值（horizontal alert limit，HAL）進(jìn)行比較后得到。衛(wèi)星仰角大于15°時(shí)衛(wèi)星可見，在可見衛(wèi)星數(shù)大于 4 顆且HPL

表1 完好性水平

2 改進(jìn)的RAIM 算法

2.1 RAIM 算法原理

BDS 定位的偽距觀測方程為

式中：y為衛(wèi)星到列車的N維偽距矢量，N為可見衛(wèi)星的個(gè)數(shù)；x為4×1 維列向量，表示列車的3 維坐標(biāo)以及鐘差；H為N×4 維觀測矩陣，由衛(wèi)星的仰角和方位角決定；ε為N×1 維的測量誤差矢量。當(dāng)N=4 時(shí)，ε較小，一般取0；當(dāng)N>4 時(shí)，ε取均值為0、方差為δ2的正態(tài)分布，觀測矩陣為

式中：θN是第N顆可見衛(wèi)星的仰角；αN是第N顆可見衛(wèi)星的方位角。

最小二乘解為

偽距殘差為

衛(wèi)星的特征斜率為

式中：i表示第i顆可見衛(wèi)星；Li表示第i顆衛(wèi)星的特征斜率。

水平定位誤差和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的劃分[10]如圖2所示。

圖2 檢測結(jié)果劃分

圖中虛線部分將結(jié)果劃分為4 個(gè)區(qū)域，在低密度鐵路線路中，HAL 為50 m，TD為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，T為檢驗(yàn)門限。由圖左上角區(qū)域可得，HPL>HAL且TDT，此時(shí)為誤檢狀態(tài)；其他2 個(gè)區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)正常運(yùn)行的2 個(gè)狀態(tài)。

漏檢狀態(tài)是系統(tǒng)最危險(xiǎn)的狀態(tài)，該狀態(tài)威脅到列車的安全運(yùn)行。減小漏檢狀態(tài)，就要保證每顆衛(wèi)星都不漏檢，即保證最大特征斜率的衛(wèi)星不漏檢。因?yàn)樾l(wèi)星的特征斜率越大，相應(yīng)的水平定位誤差越大，也就越容易漏檢。改進(jìn)的RAIM 算法可以利用衛(wèi)星特征斜率的特性進(jìn)行加權(quán)處理，將斜率較大的衛(wèi)星分配盡量小的權(quán)值，從而減小漏檢的概率。通過加權(quán)處理后，可以提高RAIM 算法的可靠性，保障列車在運(yùn)行中的安全。

2.2 改進(jìn)RAIM 算法

在以上分析的基礎(chǔ)上，構(gòu)建權(quán)值矩陣W為

權(quán)值矩陣W為N?N維矩陣。在式（2）的基礎(chǔ)上進(jìn)行加權(quán)，即

加權(quán)最小二乘解為

定義列車接收機(jī)的初始坐標(biāo)為x0=（0,0,0,0）,對方程進(jìn)行求解后得到最小二乘解，則列車位置為x1=x0+Δx。給定Δx一個(gè)預(yù)設(shè)范圍，如果‖Δx‖大于范圍值，則將x1代入式（8）中作為初始坐標(biāo)進(jìn)行求解，直到‖Δx‖小于范圍值，輸出x1的坐標(biāo)值，即為列車接收機(jī)的坐標(biāo)值。

偽距殘差矢量為

式中：IN為N×N維單位陣；Q=IN－H(HTWH)-1HTW，為一個(gè)N×N維的矩陣。

偽距殘差向量的平方和SSE 為

由式（11）可知，在列車正常行駛過程中，衛(wèi)星系統(tǒng)在正常的工作狀態(tài)下，偽距殘差矢量的變化影響SSE的大小，SSE 偏大時(shí)系統(tǒng)易發(fā)生故障。因此可用SSE 來構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，用以判斷系統(tǒng)是否正常工作。

構(gòu)造偽距殘差的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

列車正常行駛過程中，若BDS 正常運(yùn)行，ε為均值為0、方差為δ2的正態(tài)分布，SSE/δ2滿足自由度為（N-4）的χ2分布；若系統(tǒng)出現(xiàn)故障，ε的均值不為0，SSE/δ2滿足自由度為（N-4）、非中心化參數(shù)為λ的卡方分布。

當(dāng)BDS 系統(tǒng)正常工作時(shí)，有

式中PFA為誤檢概率。

BDS 最大誤檢率取3.33×10-5，利用式（13）可以求出檢驗(yàn)門限T。

當(dāng)有故障衛(wèi)星時(shí)，有

式中：P代表PFA與PMD的分布范圍；PMD為漏檢概率。

式中M=（HTWH）-1HTW。

RAIM 檢測流程如圖3 所示。

圖3 RAIM 檢測流程

將式（12）與式（13）計(jì)算出的TD與T進(jìn)行比較，TDT則發(fā)生故障。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 改進(jìn)RAIM 算法可用性驗(yàn)證

利用MATLAB 軟件對算法進(jìn)行仿真分析，首先進(jìn)行可見星個(gè)數(shù)以及方位角、仰角的判定，確定算法的可用性。設(shè)置仿真時(shí)間步長為120 s，采樣時(shí)間樣本為180 次，得到可見星的個(gè)數(shù)如圖4 所示。由圖4 可得，可見衛(wèi)星分布在7 到10 顆之間，大于5 顆，故滿足算法需求。

圖4 可見衛(wèi)星

通過衛(wèi)星的仰角和方位角，選取某一時(shí)刻對衛(wèi)星特征斜率進(jìn)行驗(yàn)證，特征斜率如表2 所示。

表2 特征斜率

由表可知：當(dāng)可見衛(wèi)星數(shù)為7 時(shí)，15 號(hào)衛(wèi)星的特征斜率最大，它所對應(yīng)的定位誤差也為最大；7 號(hào)衛(wèi)星的特征斜率最小，它所對應(yīng)的定位誤差也最小。通過上文所述方法改進(jìn)算法，并通過式（15）計(jì)算出HPL，其變化如圖5 所示。HPL的波動(dòng)范圍為22～28 m，小于50 m，滿足低密度鐵路線路的要求。

圖5 HPL的變化

3.2 故障檢測

算法可用性判定完畢且確定可見衛(wèi)星數(shù)大于5 顆之后，對衛(wèi)星進(jìn)行故障檢測的識(shí)別。在鐵路定位需求中，一般設(shè)定漏檢概率PMD=0.001，誤警概率PFA=3.33×10-5。利用MATLAB中的逆積分布函數(shù)可以求得檢驗(yàn)門限T=4.685 6，根據(jù)T可得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與檢驗(yàn)門限，如圖6 所示。

圖6 故障檢測判斷

從圖中可以看出：傳統(tǒng)RAIM 算法所有時(shí)刻衛(wèi)星的最小二乘法檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均在檢測門限的范圍之內(nèi)，未發(fā)現(xiàn)可見衛(wèi)星故障情況；而在使用改進(jìn)后的算法情況下，在600～680 s 間檢測到了故障。說明改進(jìn)后的算法對故障更加敏感，這有效降低了漏檢的概率。

3.3 精度判定

精度衰減因子（dilution of precision,DOP）的值越大，說明衛(wèi)星定位的誤差越大；反之，DOP的值越小，說明衛(wèi)星的分布情況越好，定位誤差越小。精度因子分別有水平精度衰減因子（horizontal dilution of precision,HDOP）、垂直精度衰減因子（vertical dilution of precision,VDOP）、三維位置精度衰減因子（position dilution of precision,PDOP），幾何精度衰減因子（geometric dilution of precision,GDOP)、時(shí)間精度衰減因子（time dilution of precision,TDOP）。各精度因子的計(jì)算方法為：

在算法可用且衛(wèi)星均未出現(xiàn)故障的情況下，對定位的精度進(jìn)行評估，通過式（17）～式（21）對精度因子進(jìn)行評估分析，從而驗(yàn)證算法定位的準(zhǔn)確性。對改進(jìn)前后算法的HDOP、PDOP 值進(jìn)行仿真分析，其中改進(jìn)后算法的HDOP、PDOP 值分別用WHDOP、WPDOP 來表示，具體情況如圖7、圖8 所示。

圖7 HDOP 精度

圖8 PDOP 精度

從圖中可以看出，HDOP 與PDOP的值波動(dòng)較小，表明衛(wèi)星位置分布良好，且改進(jìn)后的RAIM 算法比未改進(jìn)的算法在定位精度上有所提高，這更好地保證了列車的運(yùn)行安全。利用MATLAB 測定列車定位的誤差，設(shè)置默認(rèn)時(shí)間為0，時(shí)間步長為60 s，采樣時(shí)間次數(shù)為60 次，經(jīng)過迭代計(jì)算后，東向誤差的均方根值為4.275 2 m、北向誤差的均方根值為3.214 2 m。說明該算法能夠?qū)α熊囘M(jìn)行比較良好的定位。

4 結(jié)束語

本文在對RAIM 檢測的漏檢率以及定位精度等問題進(jìn)行分析后，提出一種改進(jìn)的RAIM 算法，通過分析衛(wèi)星特征斜率對漏檢和誤檢概率的影響，引入斜率矩陣進(jìn)行修正，并通過數(shù)據(jù)仿真驗(yàn)證算法的可用性，得到改進(jìn)的RAIM 算法擁有更好的故障檢測率，可有效降低衛(wèi)星漏檢的可能性的結(jié)論。在未出現(xiàn)故障的情況下，改進(jìn)RAIM 算法定位精度因子的值更小，HDOP值在1.20～1.30 m之間，PDOP 值在1.50～1.60 m 之間，且各精度因子的值趨于穩(wěn)定，表示定位結(jié)果相對更好。改進(jìn)的RAIM算法更能滿足列車定位服務(wù)中高精度、高可靠性的需求。