徐天揚(yáng)，章浙濤，何秀鳳，陳廣鄂

（1.河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，南京 211100；2.同濟(jì)大學(xué) 測繪與地理信息學(xué)院，上海 200092）

0 引言

北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BeiDou navigation satellite system,BDS）是中國自主研發(fā)、獨(dú)立運(yùn)行的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system,GNSS），是我國對(duì)世界的重要貢獻(xiàn)。于2012 年建設(shè)完成的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航（區(qū)域）系統(tǒng)即北斗二號(hào)（BeiDou navigation satellite (regional) system,BDS-2），由5 顆地球靜止軌道（geostationary Earth orbit,GEO）衛(wèi)星、5 顆傾斜地球同步軌道（inclined geosynchronous orbits,IGSO）衛(wèi)星和4 顆中圓地球軌道（medium Earth orbit,MEO）衛(wèi)星[1]組成。2020 年，第 3 代北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)即北斗三號(hào)（BeiDou navigation satellite system with global coverage,BDS-3）最后1 顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星完成發(fā)射，標(biāo)志著BDS-3 全面建成，整個(gè)系統(tǒng)由3 顆GEO 衛(wèi)星、3 顆IGSO 衛(wèi)星和24 顆MEO 衛(wèi)星組成。

北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BeiDou navigation satellite system,BDS）是全星座播發(fā)3 頻信號(hào)的GNSS。BDS-2 播發(fā)頻率為1 561.098 MHz的B1信號(hào)、頻率為1 207.140 MHz的B2 信號(hào)和頻率為1 268.520 MHz的B3 信號(hào)。BDS-3 播發(fā)B1、B3 信號(hào)，不再播發(fā) B2 信號(hào)，但新增了頻率為1 575.42 MHz的B1C 信號(hào)及頻率為1 191.795 MHz的B2a 信號(hào)；B1C 及B2a 為民用導(dǎo)航信號(hào)。與美國的全球定位系統(tǒng)（global positioning system,GPS）只有部分衛(wèi)星可以播發(fā)3 頻信號(hào)不同，BDS-2、BDS-3的每顆衛(wèi)星都可以播發(fā)3 個(gè)頻率的信號(hào)。BDS的多頻信號(hào)給用戶提供了更多的組合，增加了多余觀測量，提高了衛(wèi)星定位精度的穩(wěn)定性與可靠性。

目前市場主要分為消費(fèi)市場的低成本接收機(jī)和工程領(lǐng)域的測量型接收機(jī)。低成本接收機(jī)由于其體積質(zhì)量小，可以滿足小型平臺(tái)對(duì)GNSS 接收機(jī)的體積和載荷的限制性要求[2-3]，而且成本低廉，針對(duì)的是消費(fèi)市場的需求。但在測量精度上，低成本接收機(jī)不如測量性接收機(jī)，單點(diǎn)定位的精度不如測量型接收機(jī)的結(jié)果，而且可以接收的觀測值也更少[3-4]。受到接收機(jī)和天線本身的衛(wèi)星信號(hào)處理能力的影響，不同的接收機(jī)在信號(hào)質(zhì)量和穩(wěn)定性上會(huì)表現(xiàn)出很大的差異[3,5]。本文探討基于低成本接收機(jī) Ublox 在靜態(tài)模式下的單點(diǎn)定位，該低成本接收機(jī)可以接收BDS B1、B2 2 個(gè)信號(hào)的頻率，從而可以實(shí)現(xiàn)雙頻單點(diǎn)定位的計(jì)算。

如何合理確定多頻多模GNSS 組合定位的不同觀測值的權(quán)，是提高組合系統(tǒng)導(dǎo)航定位精度的關(guān)鍵。當(dāng)前GNSS 不同觀測值組合定位采用的隨機(jī)模型一般為以下3 種：等權(quán)模型、高度角模型[6]、驗(yàn)后估計(jì)模型[7]。等權(quán)模型形式簡單，但該模型把不同的觀測值視為等精度，而許多觀測值并不等權(quán)；因此這種方法不夠準(zhǔn)確，會(huì)造成定位結(jié)果的偏差。衛(wèi)星高度角模型把衛(wèi)星高度角作為函數(shù)的變量來計(jì)算各觀測值的方差，可有效減小低高度角的差異對(duì)定位的影響，是目前普遍采用的定權(quán)方法；但是僅考慮了衛(wèi)星高度角的因素，在含有多種觀測值的情況下不夠準(zhǔn)確。驗(yàn)后估計(jì)模型的本質(zhì)是隨機(jī)模型的驗(yàn)后估計(jì)，其基本思想為先對(duì)不同觀測量初次定權(quán)，再預(yù)平差，然后利用預(yù)平差后得到的觀測值殘差陣V對(duì)各類觀測量值的方差因子和協(xié)方差矩陣重新估計(jì)。其中，赫爾默特（Helmert）方差分量估計(jì)作為一種常用的驗(yàn)后方差方法，被廣泛應(yīng)用于衛(wèi)星定位領(lǐng)域。文獻(xiàn)[8]在GPS 及格洛納斯衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system，GLONASS）組合標(biāo)準(zhǔn)單點(diǎn)定位中，通過對(duì)這2 個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行Helmert 方差分量驗(yàn)后定權(quán)，得到此組合定位結(jié)果相比于單個(gè)系統(tǒng)的點(diǎn)位精度更高的結(jié)論。文獻(xiàn)[9]通過Helmert 方差分量估計(jì)進(jìn)行系統(tǒng)間的定權(quán)，得到GPS 與BDS 間偽距觀測值的最優(yōu)權(quán)比為1∶1。文獻(xiàn)[10]比較以上3 種模型在BDS/GPS 組合定位中的精度，得到Helmert 方差分量模型定位精度優(yōu)于衛(wèi)星高度角模型與等權(quán)模型的結(jié)論。

以上文獻(xiàn)主要是在不同的導(dǎo)航系統(tǒng)的觀測值間定權(quán)，但是很少基于同一系統(tǒng)不同類型的觀測值進(jìn)行定權(quán)。本文從BDS 單個(gè)系統(tǒng)的不同頻率觀測值出發(fā)，對(duì)單一系統(tǒng)的不同觀測值定權(quán)。從文獻(xiàn)[11]中可得知，盡管雙頻定位的觀測值更多，但是由于雙頻無電離層組合放大了觀測噪聲，在電離層延遲較小時(shí)的定位精度反倒不如單頻單點(diǎn)定位的結(jié)果。所以本文對(duì)于雙頻定位采用非組合的方式，并提高不同類型觀測的定權(quán)精度，以達(dá)到提高定位結(jié)果精度的目的；然后通過采用低成本接收機(jī)Ublox 數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)計(jì)算和比較定位結(jié)果，比較雙頻單點(diǎn)定位分別采用衛(wèi)星高度角定權(quán)模型和Helmert 雙差分量估計(jì)定權(quán)模型的定位結(jié)果的精度。旨在探討在低成本接收機(jī)多余觀測較少的情況下，通過采用方差分量估計(jì)定權(quán)的方法來提高北斗衛(wèi)星雙頻單點(diǎn)定位精度的可行性。

1 雙頻單點(diǎn)定位模型

1.1 數(shù)學(xué)模型

BDS B1、B2 信號(hào)的偽距觀測方程分別為：

式中：P1、P2分別為B1、B2 信號(hào)的觀測值；ρ為站星的幾何距離；δtr為接收機(jī)鐘差；δts為衛(wèi)星鐘差；Δtrop為對(duì)流層延遲；Δion,1、Δion,2分別為B1、B2 信號(hào)的電離層延遲；ε1、ε2為偽距噪聲。

對(duì)流層采用薩斯塔莫伊寧（Saastamoinen）模型，它是GNSS 定位常用的一種對(duì)流層改正模型。對(duì)流層的延遲是由干分量延遲與濕分量延遲組成，其常用模型可以表示為

式中：T為對(duì)流層總延遲；dtry、dwet分別為天頂干分量與濕分量；Md、Mw為干分量與濕分量分別對(duì)應(yīng)的映射函數(shù)。

電離層延遲采用克洛布徹（Klobuchar）模型，它是單點(diǎn)定位中最常用的對(duì)電離層延遲的改正模型，該模型將白天的電離層延遲視為隨時(shí)間變化的余弦函數(shù)，而將晚上的電離層延遲視為一個(gè)常數(shù)。

BDS 廣播星歷中的衛(wèi)星鐘差的基準(zhǔn)是B3 頻點(diǎn)，而此次實(shí)驗(yàn)的接收機(jī)采集到的是BDS 衛(wèi)星的B1、B2 信號(hào)。盡管各種衛(wèi)星信號(hào)都是在同一臺(tái)原子鐘信號(hào)的驅(qū)動(dòng)下生成的；但由于不同信號(hào)生成的方法不同，所用的電子元器件和電子線路也不同，因此所產(chǎn)生的信號(hào)內(nèi)部時(shí)延也是不相同的[12]：所以要對(duì)這2 種頻率的觀測值進(jìn)行內(nèi)部時(shí)延的修正。

1.2 高度角定權(quán)模型

高度角定權(quán)隨機(jī)模型是目前GNSS 定位中最常用的定權(quán)模型。對(duì)流層延遲誤差隨著衛(wèi)星高度角的減小而逐漸增加，衛(wèi)星高度角高的信號(hào)質(zhì)量通常優(yōu)于衛(wèi)星高度角低的信號(hào)[13]。高度角定權(quán)其實(shí)質(zhì)就是以高度角為指標(biāo)，對(duì)具有不同高度角的觀測值進(jìn)行方差估計(jì)而得到的一種簡單的驗(yàn)前隨機(jī)模型，形式簡單，計(jì)算量小。

由于觀測的基線向量以及衛(wèi)星軌道模型都是基于空間3 維（3D）直角坐標(biāo)系，所以衛(wèi)星的高度角和方位角也可以基于笛卡爾運(yùn)算法則，通過構(gòu)建直角坐標(biāo)系統(tǒng)來獲得；但目前更常用的是基于矢量的方法求得衛(wèi)星高度角。

首先將衛(wèi)星與測站的在空間直角坐標(biāo)系下的基線向量通過平移旋轉(zhuǎn)，得到站心坐標(biāo)下的在東、北、天頂3 個(gè)方向的坐標(biāo)E、N、U[14]為：

式中：L0、B0分別為測站坐標(biāo)的經(jīng)度、緯度；Xs、Ys、Zs為衛(wèi)星的空間直角坐標(biāo)；X0、Y0、Z0為測站的空間直角坐標(biāo)。

則可以求得該衛(wèi)星與測站間的衛(wèi)星高度角

然后就可以利用衛(wèi)星高度角進(jìn)行觀測值方差的估計(jì)。其中一種方法就是利用正弦三角函數(shù)公式對(duì)不同高度角衛(wèi)星的觀測值方差σ2進(jìn)行估計(jì)，即

由于BDS 空間星座包括GEO 衛(wèi)星、MEO 衛(wèi)星和IGSO 衛(wèi)星，這些衛(wèi)星高度差異較大；當(dāng)衛(wèi)星高度角相同時(shí)，衛(wèi)星高度可能不一樣，僅以衛(wèi)星高度角定權(quán)未必準(zhǔn)確[15]。

1.3 Helmert 方差分量估計(jì)

Helmert 方差分量估計(jì)是一種利用預(yù)平差的改正數(shù)V，按驗(yàn)后估計(jì)各類觀測量驗(yàn)前方差的方法。以2 種獨(dú)立的觀測值L1、L2為例，它們的誤差方程為

式中：V1、V2分別為L1、L2的改正數(shù)；B1、B2分別為L1、L2的系數(shù)陣；為參數(shù)改正數(shù)；l1、l2分別為L1、L2的觀測殘差。利用最小二乘求得殘差，然后依次求得各類殘差的平方和由此估計(jì)出新的單位權(quán)方差，即

式中：n1、n2分別為L1 與L2 頻率的觀測值個(gè)數(shù)；

2 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本實(shí)驗(yàn)算例選取了Ublox 接收機(jī)1 h 內(nèi)采集的數(shù)據(jù)。觀測時(shí)間為1 h，采樣間隔1 s，共3 600 個(gè)歷元。由于該低成本接收機(jī)只能夠接收BDS B1、B2 信號(hào)，所以讀取了BDS 衛(wèi)星在B1、B2的偽距觀測值。通過圖1 可以看出在觀測時(shí)段內(nèi)衛(wèi)星數(shù)較少，從而觀測值數(shù)也較少。圖2 為衛(wèi)星在這1 h內(nèi)運(yùn)行軌跡的天空?qǐng)D。

圖1 BDS 衛(wèi)星數(shù)

圖2 BDS 衛(wèi)星運(yùn)行軌跡

本文利用高級(jí)程序設(shè)計(jì)語言C++自行設(shè)計(jì)的單點(diǎn)定位程序，對(duì)衛(wèi)星鐘差、對(duì)流層延遲、電離層延遲、地球自轉(zhuǎn)、相對(duì)論效應(yīng)都進(jìn)行了改正，并設(shè)置衛(wèi)星高度角為 10°。先對(duì)衛(wèi)星先驗(yàn)方差采用衛(wèi)星高度角定權(quán)，其次用最小二乘平差得到觀測值殘差，再次利用Helmert 方差分量估計(jì)重新定權(quán)，然后對(duì)比僅采用衛(wèi)星高度角模型的定位結(jié)果與后來又采用Helmert 方差分量估計(jì)的定位結(jié)果。接著利用 RTKLIB 軟件的精密單點(diǎn)定位（precise point positioning，PPP）靜態(tài)模式計(jì)算出接收機(jī)的坐標(biāo)。因?yàn)槠湓赑PP 靜態(tài)模式下的精度遠(yuǎn)高于單點(diǎn)定位的精度，所以可以作為接收機(jī)的坐標(biāo)真值。最后對(duì) 2 種定權(quán)模式進(jìn)行比較：①B1/B2 雙頻定位，采用衛(wèi)星高度角定權(quán)；②B1/B2雙頻定位，先采用衛(wèi)星高度角定權(quán)，再利用Helmert 方差估計(jì)定權(quán)。

2.1 定位動(dòng)態(tài)解

圖3 為2 種定權(quán)模式下在東、北、天頂3 個(gè)方向的真誤差的結(jié)果比較。

從圖中可以看出：采用Helmert 方差分量定權(quán)得到的各歷元的位置結(jié)果與B1/B2 采用衛(wèi)星高度角定權(quán)得到的位置的結(jié)果相差較大；前者各歷元的結(jié)果更接近真值且波動(dòng)變化更小。

表1 為2 種模式下內(nèi)符合精度標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation，STD）的比較。表2 為2 種模式下外符合精度均方根誤差（root mean square error，RMSE）對(duì)比。

表1 BDS 雙頻不同隨機(jī)模型下組合定位的標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比

表2 BDS 雙頻不同隨機(jī)模型下組合定位的均方根誤差對(duì)比

從表中可以看出，B1/B2 雙頻采用Helmert方差分量估計(jì)的定權(quán)的定位結(jié)果無論是內(nèi)符合精度還是外符合精度，在東、北、天頂3 個(gè)方向上都高于B1/B2 雙頻采用衛(wèi)星高度角的定權(quán)定位結(jié)果。

2.2 定位靜態(tài)解

以上是2 種模式下動(dòng)態(tài)解的精度對(duì)比。同樣的，可以對(duì)多個(gè)歷元的觀測值進(jìn)行整體解算，通過法方程疊加的方式來比較2 種模式的靜態(tài)結(jié)果。表3 反映了2 種模式得到的靜態(tài)解與真值在X、Y、Z3 個(gè)方向上的偏差。

表3 靜態(tài)定位結(jié)果與真值的偏差 m

從表中可以看出，整體解得到的結(jié)果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于單個(gè)歷元的解。相對(duì)于僅采用衛(wèi)星高度角模型的B1/B2 雙頻定位得到的米級(jí)誤差結(jié)果，采用了Helmert 方差分量估計(jì)的B1/B2 雙頻定位得到的結(jié)果誤差僅在毫米級(jí)，與真值十分接近。所以采用Helmert 方差分量估計(jì)模型對(duì)于整體解也有一定的提高。

3 結(jié)束語

通過對(duì)低成本接收機(jī)Ublox 所采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，對(duì)比了B1/B2 雙頻分別采用衛(wèi)星高度角定權(quán)與Helmert 方差分量定權(quán)的定位結(jié)果，得到以下結(jié)論：

1）在雙頻定位時(shí)，如果不能對(duì)不同類型的觀測值確定合理的權(quán)，則定位結(jié)果不如單頻定位理想；反之，如果能確定不同觀測值之間的合理權(quán)比，則可以得到更優(yōu)的定位結(jié)果。所以通過Helmert方差分量估計(jì)定權(quán)對(duì)于提升雙頻定位的精度是有一定幫助的。

2）最常用的衛(wèi)星高度角模型在雙頻定位時(shí)可能出現(xiàn)失效的情況，而采用Helmert 方差分量估計(jì)得到的雙頻定位結(jié)果，無論是動(dòng)態(tài)解還是靜態(tài)解的精度都有很大的提升，尤其是靜態(tài)解得到的結(jié)果非常接近真值。

3）方差分量估計(jì)一般用于多余觀測值較多的情況下，可以得到較優(yōu)的定位結(jié)果。而低成本接收機(jī)受自身的限制，多余觀測值相對(duì)較少。本次實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方差分量估計(jì)在多余觀測數(shù)較少的情況下仍有較大的定位優(yōu)勢，在E、N、U 3 個(gè)方向上的定位精度都能有較大的提高。