楊勇強(qiáng)，張 曼

（陜西科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710021）

1 引言

振動(dòng)磨機(jī)是一種礦產(chǎn)試樣破碎加工的主要設(shè)備。振動(dòng)磨機(jī)的原理是利用特殊研磨介質(zhì)和礦料之間的相互碰撞、擠壓和摩擦將礦料制成粉狀。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)振動(dòng)磨機(jī)進(jìn)行了一定的研究。文獻(xiàn)[1]采用有限元法進(jìn)行了振動(dòng)磨機(jī)的振動(dòng)特性分析，得到了振動(dòng)磨機(jī)整體的工作頻率控制方法。文獻(xiàn)[2]建立了離散磨介群動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算獲得研磨介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度以及應(yīng)力應(yīng)變的變化情況。文獻(xiàn)[3]以振動(dòng)強(qiáng)度和撞擊力最大，研磨介質(zhì)體積最小為優(yōu)化目標(biāo)，采用多目標(biāo)遺傳算法對(duì)立式振動(dòng)磨機(jī)關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。上述研究主要針對(duì)振動(dòng)磨機(jī)整機(jī)工作及研磨介質(zhì)進(jìn)行了分析，對(duì)其激振機(jī)構(gòu)的研究較少。一種小型立式振動(dòng)磨機(jī)，其核心部位為環(huán)扇形機(jī)構(gòu)，如圖1所示。該環(huán)扇形機(jī)構(gòu)高速旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生激振力促使缽體產(chǎn)生振動(dòng)，實(shí)現(xiàn)磨料工作。立式振動(dòng)磨機(jī)的激振力、振動(dòng)頻率和振幅等參數(shù)與環(huán)扇形機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)速度等因素有關(guān)[4]，環(huán)扇形激振機(jī)構(gòu)的橫向振動(dòng)對(duì)振動(dòng)磨機(jī)的整機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)產(chǎn)生較大影響，因此研究振動(dòng)磨機(jī)環(huán)扇形機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性具有重要的理論意義。

近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)環(huán)扇形板橫向振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了一定的研究分析。文獻(xiàn)[4]利用有限元法分析了功能梯度扇形板的非線性自由振動(dòng)問(wèn)題。文獻(xiàn)[5]在建立統(tǒng)一旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，分析了復(fù)雜邊界條件下扇形板和類(lèi)扇形板的自由振動(dòng)問(wèn)題。文獻(xiàn)[6]在平面線彈性理論基礎(chǔ)上，建立了環(huán)扇形板面內(nèi)自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程，并計(jì)算獲得其自由振動(dòng)的無(wú)量綱固有頻率。以上動(dòng)力學(xué)研究均未研究旋轉(zhuǎn)角速度對(duì)環(huán)扇形板橫向振動(dòng)的影響，事實(shí)上，旋轉(zhuǎn)角速度對(duì)其橫向振動(dòng)影響較大。基于此，本文以振動(dòng)磨機(jī)的環(huán)扇形激振板為研究對(duì)象，對(duì)其在一定旋轉(zhuǎn)角速度情況下的橫向振動(dòng)進(jìn)行分析，并研究其運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題。

圖1振動(dòng)磨機(jī)示意圖Fig.1 Sketch of Vibration Mill

2環(huán)扇形板運(yùn)動(dòng)微分方程的建立

該小型振動(dòng)磨機(jī)的環(huán)扇形激振機(jī)構(gòu)，如圖2（a）所示。其結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化為環(huán)扇形板，如圖2（b）所示。圖中：h—環(huán)扇形板的板厚為，b—外半徑，a—內(nèi)半徑，?—扇形角，Ω—旋轉(zhuǎn)角速度。

圖2振動(dòng)磨機(jī)環(huán)扇形激振板Fig.2 Annular Sector Excitation Plate of Vibration Mill

根據(jù)哈密頓原理，環(huán)扇形板橫向振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程為[7]：

式中：w—橫向撓度，抗彎剛度，E—彈性模量，μ—泊松比，N r和Nθ—環(huán)扇形板單位寬度的徑向和環(huán)向拉壓力，ρ—材料密度。

根據(jù)彈性小撓度薄板理論，利用平衡微分方程、物理方程和相容方程可得[8]：

式中：u r—環(huán)扇形板中面的徑向位移；A和B—積分常數(shù)，與環(huán)扇形板的邊界條件有關(guān)。外徑邊界條件為自由，即。根據(jù)邊界條件計(jì)算A和B，得到環(huán)扇形板拉壓力分別為：

3運(yùn)動(dòng)微分方程及邊界條件無(wú)量綱化

引入下列無(wú)量綱量：

則方程（1）的無(wú)量綱形式為：

環(huán)扇形板拉壓力無(wú)量綱化分別為：

設(shè)方程（6）的解為：

式中：ω—無(wú)量綱振動(dòng)頻率，j= -1。

將式代（9）入方程（6），得到環(huán)扇形板的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

環(huán)扇形板內(nèi)外徑處的無(wú)量綱邊界條件為：

4 微分求積法求解

利用微分求積法在環(huán)扇形板的徑向和環(huán)向區(qū)域內(nèi)取若干節(jié)點(diǎn)，則節(jié)點(diǎn)的橫向振動(dòng)函數(shù)值W及其各階導(dǎo)數(shù)可用其函數(shù)值加權(quán)求和來(lái)表示。徑向節(jié)點(diǎn)劃分采用節(jié)點(diǎn)替代法（即δ法）進(jìn)行非均勻劃分，其計(jì)算公式為：

根據(jù)參考文獻(xiàn)[9-10]，徑向一階導(dǎo)數(shù)權(quán)系數(shù)

徑向高階導(dǎo)數(shù)的權(quán)系數(shù)可以通過(guò)矩陣相乘求得，即：

環(huán)向節(jié)點(diǎn)劃分及函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)B(kmj)權(quán)系數(shù)矩陣與上述徑向情況類(lèi)似，這里省略。采用微分求積法法離散化振動(dòng)方程（10），其微分求積法形式為：

式（15）和（16）的微分求積形式聯(lián)立得到的矩陣形式為：

其中，矩陣[R]，[G]和[K]中含有環(huán)扇形板的半徑比、扇形角以及無(wú)量綱角速度等參數(shù)，式（17）構(gòu)成了廣義特征值問(wèn)題。因此，振動(dòng)磨機(jī)環(huán)扇形板的特征方程表達(dá)為：

5 無(wú)量綱復(fù)頻率隨無(wú)量綱角速度變化的數(shù)值計(jì)算與分析

根據(jù)磨料工況不同，該小型振動(dòng)磨機(jī)環(huán)扇形板的半徑比為ξ=0.25,0.305（內(nèi)半徑為55 mm，外半徑為220mm，180mm），扇形角?分別為π4和π2。以下對(duì)不同半徑比和扇形角情況下的環(huán)扇形板無(wú)量綱復(fù)頻率進(jìn)行計(jì)算分析。

當(dāng)半徑比ξ=0.25，扇形角?=π4時(shí)，旋轉(zhuǎn)環(huán)扇形板前四階模態(tài)無(wú)量綱復(fù)頻率隨無(wú)量綱角速度的變化情況，如圖3所示。由圖3可知，當(dāng)無(wú)量綱角速度c=0，環(huán)扇形板自由振動(dòng)的無(wú)量綱固有頻率ω為實(shí)數(shù)。隨著無(wú)量綱角速度c的增加，前四階無(wú)量綱復(fù)頻率Re(ω)實(shí)部為正值，虛部Im(ω)保持為零，表明板處于穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)c=0.72時(shí)，第1階模態(tài)復(fù)頻率實(shí)部Re()ω=0，而虛部Im()ω分為正負(fù)兩個(gè)分支，說(shuō)明環(huán)扇形板出現(xiàn)第1階模態(tài)發(fā)散失穩(wěn)。無(wú)量綱臨界角速度c=0.72即為第1階臨界發(fā)散角速度。當(dāng)c=0.96時(shí)，板又恢復(fù)穩(wěn)定。當(dāng)c=1.44時(shí)，第1階和2階模態(tài)發(fā)生顫振耦合；當(dāng)c=0.90時(shí)，第3階和4階模態(tài)也發(fā)生顫振耦合。c=1.44和c=0.90分別為第1、2階臨界顫振角速度和第3、4階臨界顫振角速度。

圖3 前四階無(wú)量綱復(fù)頻率隨無(wú)量綱角速度變化曲線（ξ=0.25，?=π4）Fig.3 First Four Order Dimensionless Complex Frequency Versus Dimensionless Angular Speed（ξ=0.25，?=π 4）

當(dāng)半徑比ξ=0.305，扇形角?=π4時(shí)，旋轉(zhuǎn)環(huán)扇形板前四階模態(tài)無(wú)量綱復(fù)頻率隨無(wú)量綱角速度的變化情況，如圖4所示。由圖4可知，當(dāng)c=1.04時(shí)，環(huán)扇形板出現(xiàn)第1階模態(tài)發(fā)散失穩(wěn)，第1階臨界發(fā)散角速度c=1.04大于圖3所示的第1階臨界發(fā)散角速度。當(dāng)c=1.22時(shí)，板又恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)。與ξ=0.25，?=π4情況不同在于，環(huán)扇形板并沒(méi)有發(fā)生第1階和2階顫振耦合失穩(wěn)，僅僅出現(xiàn)了第3、4階模態(tài)耦合失穩(wěn)，相應(yīng)的第3、4階臨界顫振角速度為c=0.48。

圖4 前四階無(wú)量綱復(fù)頻率隨無(wú)量綱角速度變化曲線（ξ=0.305，?=π4）Fig.4 First Four Order Dimensionless Complex Frequency Versus Dimensionless Angular Speed（ξ=0.305，?=π4）

當(dāng)半徑比ξ=0.25，0.305，扇形角?=π4時(shí)，旋轉(zhuǎn)環(huán)扇形板前三階模態(tài)無(wú)量綱復(fù)頻率隨無(wú)量綱角速度的變化情況，如圖5和6所示。由圖5、圖6可以看出，隨著無(wú)量綱角速度c的增加，環(huán)扇形板均發(fā)生第1階發(fā)散失穩(wěn)現(xiàn)象以及第2階和3階顫振耦合現(xiàn)象。對(duì)比圖5、圖6，在半徑比ξ=0.305，扇形角?=π4情況下，當(dāng)c=0.98時(shí)，旋轉(zhuǎn)環(huán)扇形板第2和3階模態(tài)的無(wú)量綱復(fù)頻率實(shí)部Re(ω)分為兩支，虛部Im(ω)為零，說(shuō)明板在發(fā)生顫振耦合失穩(wěn)之后又重新恢復(fù)穩(wěn)定。同時(shí)，ξ=0.305情況下的第1階臨界發(fā)散角速度大于ξ=0.25情況下的第1階臨界發(fā)散角速度

圖5 前三階無(wú)量綱復(fù)頻率隨無(wú)量綱角速度變化曲線（ξ=0.25，?=π2）Fig.5 First Three Order Dimensionless Complex Frequency Versus Dimensionless Angular Speed（ξ=0.25，?=π 2）

圖6 前三階無(wú)量綱復(fù)頻率隨無(wú)量綱角速度變化曲線（ξ=0.305，?=π2）Fig.6 First Three Order Dimensionless Complex Frequency Versus Dimensionless Angular Speed（ξ=0.305，?=π2）

6 結(jié)論

采用微分求積法對(duì)振動(dòng)磨機(jī)旋轉(zhuǎn)環(huán)扇形激振板的橫向振動(dòng)和穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了分析，得到了旋轉(zhuǎn)環(huán)扇形板的前三（或四）階復(fù)頻率的實(shí)部和虛部隨旋轉(zhuǎn)角速度的變化情況。分析結(jié)果表明，隨著無(wú)量綱角速度的增加，振動(dòng)磨機(jī)環(huán)扇形板發(fā)生第1階模態(tài)發(fā)散失穩(wěn)現(xiàn)象和其它階模態(tài)的顫振耦合失穩(wěn)現(xiàn)象，顫振耦合失穩(wěn)現(xiàn)象發(fā)生的模態(tài)階數(shù)與環(huán)扇形板的半徑比和扇形角有關(guān)。上述結(jié)果為振動(dòng)磨機(jī)激振系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研究提供了一定的參考依據(jù)。