朱帥飛，馬 偉，楊 芳

（1.河南科技大學(xué)機電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003；2.河南省機械設(shè)計及傳動系統(tǒng)重點實驗室，河南 洛陽 471003）

1 引言

圖像的邊緣檢測是運動目標(biāo)中心定位中的重要一環(huán)，直接影響著運動目標(biāo)中心位置檢測的精度。傳統(tǒng)的邊緣檢測方法包括Sobel、Roberts、Canny、Prewitt、Laplacian等，但是這些方法在硬件設(shè)備一定的情況下，檢測精度只能達(dá)到像素級。隨著對檢測精度的要求的提高，傳統(tǒng)的檢測方法早已不能滿足我們的需求，很多學(xué)者把目光轉(zhuǎn)向了亞像素邊緣檢測領(lǐng)域，而且取得較大的進(jìn)展[1]。

在亞像素邊緣檢測算法中，基于Zernike矩的亞像素邊緣檢測算法由于其獨特的優(yōu)點促使國內(nèi)外學(xué)者對其進(jìn)行了大量的研究。文獻(xiàn)[2]建立了理想的灰度模型，利用Zernike矩的旋轉(zhuǎn)不變形，通過3個不同階次的Zernike矩來計算定位所需要的4個參數(shù)，最終實現(xiàn)了亞像素級別的邊緣定位。文獻(xiàn)[3]為了提高Zernike矩邊緣檢測的速度，在傳統(tǒng)算法的基礎(chǔ)上將傅里葉變換函數(shù)與Zernike矩相結(jié)合提出了一種新的檢測算法，并通過一系列的實驗對檢測速度進(jìn)行了驗證；但是該算法邊緣檢測的精度不高。文獻(xiàn)[4]通過對三角函數(shù)的分析，結(jié)合三角函數(shù)的對稱性和反對稱性的特點，對原有的Zernike矩進(jìn)行了改進(jìn)，在一定程度上提高了算法的檢測精度。文獻(xiàn)[5]針對Zernike矩邊緣檢測的圖像存在的邊緣較粗、精度不高等問題，從邊緣判據(jù)和卷積模板的大小兩個方面出發(fā)，對其進(jìn)行改進(jìn)，從而達(dá)到了提高邊緣檢測精度的目的。文獻(xiàn)[6]將小波能量熵與二維Zernike矩相結(jié)合，來進(jìn)一步改善圖像邊緣檢測的精度，并且將該算法推廣到工程實踐中實現(xiàn)了對IC芯片表面的定位識別。文獻(xiàn)[7]等對傳統(tǒng)的形態(tài)學(xué)梯度算子進(jìn)行了改進(jìn)，利用改進(jìn)后的梯度算子作為邊緣粗定位，再通過Zernike矩算法對圖像進(jìn)行重定位，通過這兩種結(jié)合的方式提高了算法的精度和抗噪性。

以運動靶標(biāo)中心定位為研究對象，提出了一種基于改進(jìn)Zernike矩的亞像素邊緣定位算法。該算法首先采用改進(jìn)的Can?ny邊緣檢測算法對圖像進(jìn)行粗定位，再采用提出的改進(jìn)的Zernike矩算法對圖像進(jìn)行亞像素級重定位，并且對誤差進(jìn)行了分析和補償，然后利用最小二乘法擬合確定靶標(biāo)的中心，最終通過坐標(biāo)變換實現(xiàn)了靶標(biāo)位置的空間定位。

2靶標(biāo)標(biāo)記圓像素級邊緣粗提取

2.1改進(jìn)的Canny邊緣檢測算法

經(jīng)典的的Canny邊緣檢測算法利用高斯濾波降噪，會造成圖像邊緣模糊，影響之后的亞像素定位。自適應(yīng)中值濾波不但可以有效的濾除噪聲，而且可以能夠較好的保留圖像邊緣的完整度和圖像的細(xì)節(jié)[8]。利用自適應(yīng)中值濾波代替經(jīng)典的的Canny邊緣檢測算法中的高斯濾波。自適應(yīng)中值濾波算法主要分為如下兩個步驟：

（1）若fmin

（2）若fmin

可以看出，算法中噪聲的檢測和認(rèn)定時以fmin和fmin為基準(zhǔn)的，如果fmin

其中，f ij表示點(i，j)的灰度值，s i j為當(dāng)前工作窗口。fmin表示當(dāng)前工作窗口s ij中灰度的最小值；fmax表示當(dāng)前工作窗口s ij中灰度的最大值；f med表示當(dāng)前工作窗口s ij中灰度的中值；smax預(yù)設(shè)允許的最大窗口。

2.2像素級邊緣粗提取

圖像在平移或旋轉(zhuǎn)時，圓形中心定位精度影響較小，算法的穩(wěn)定性較好；而對矩形中心定位精度影響很大，算法的穩(wěn)定性差[9]。因此在運動靶標(biāo)上制作圓形標(biāo)記，標(biāo)記圓的中心點作為特征點。靶標(biāo)標(biāo)記圓像素級邊緣提取步驟如下：

（1）對采集到的靶標(biāo)圖像進(jìn)行預(yù)處理。

（2）將R G B轉(zhuǎn)化為HSV模型，通過顏色特征作為提取的標(biāo)準(zhǔn)，提取出感興趣的區(qū)域即靶標(biāo)標(biāo)記圓，最后采用改進(jìn)的邊緣檢測算法，對提取出的標(biāo)記圓進(jìn)行像素級邊緣提取。

其中原始圖像和像素級提取后的圖像，如圖1、圖2所示。

圖1原始圖像Fig.1 The Original Image

圖2提取后圖像Fig.2 The Extracted Image

3傳統(tǒng)的Zernike邊緣定位算法

3.1圖像中Zernike矩定義

一副圖像中p階q次Zernike矩定義如下：

當(dāng)圖像為離散形式時，其理論公式如下：

Zernike正交矩的很重要的一個特性是擁有旋轉(zhuǎn)不變的性質(zhì)，根據(jù)這個特性可知當(dāng)轉(zhuǎn)角為φ時，旋轉(zhuǎn)前的正交矩A pq和旋轉(zhuǎn)后的正交矩關(guān)系如下：根據(jù)這個特性，可以推導(dǎo)得到其它所需要的參數(shù)，從而實現(xiàn)圖像邊緣的亞像素定位。

3.2 Zernike亞像素邊緣定位原理

傳統(tǒng)的Zenike正交矩在計算時，灰度邊緣模型采用的是理想的二級階躍邊緣模型，如圖3所示。其中參數(shù)k表示階躍高度，參數(shù)h表示背景灰度，l表示圓心與理論邊緣之間的垂直長度，φ表示l與坐標(biāo)軸x軸之間的夾角。

圖3 二級理想灰度模型Fig.3 Two-Level Ideal Gray Model

式中：f′(x，y)—旋轉(zhuǎn)后的邊緣函數(shù)。

由上式進(jìn)一步可得旋轉(zhuǎn)角度為：

進(jìn)而推導(dǎo)出模型的多元方程式如下：

由此可以推導(dǎo)出模型中各參數(shù)l，k，h的表達(dá)式，如式（9）所示。

最終得到圖像亞像素邊緣點的位置坐標(biāo)如下：

4 改進(jìn)的Zernike邊緣定位算法

經(jīng)典的Zernike邊緣檢測算法中亞像素邊緣判據(jù)為k≥τ?l≤δ，其中δ為1 2，由上面可以推導(dǎo)得出φ，h，l，k四個參數(shù)。其中閾值τ的選取的自由的，其值影響著亞像素邊緣檢測的效果。若閾值τ選取太小，亞像素邊緣檢測結(jié)果中會出現(xiàn)較多的虛假邊緣；若閾值τ選取太大，則會導(dǎo)致亞像素邊緣檢測時丟失較多的邊緣信息。傳統(tǒng)的閾值τ選取是經(jīng)過人工手動選取的，通過多次反復(fù)調(diào)整閾值τ使亞像素邊緣檢測達(dá)到理想的效果，不僅降低了檢測效率而且精測的精度會隨著調(diào)試人員的情緒問題而變得不穩(wěn)定，無法保證其檢測質(zhì)量。

4.1 基于迭代法的階躍灰度最佳閾值選取

基于迭代法的最佳閾值選取是采用逼近的思想，其原理是先選取一個估計值作為閾值，然后利用此閾值對圖像進(jìn)行分割，根據(jù)生成的子圖像的特征來選取新的閾值，再采用新的閾值來分割圖像，經(jīng)過一定次數(shù)的循環(huán)，使圖像中錯誤分割的像素點達(dá)到最少。

圖像中相同像素點的灰度值與階躍灰度值在其像素點及其鄰域內(nèi)的變化趨勢相同，因此可以利用迭代法求最佳閾值的方法求出最佳階躍灰度閾值τ。具體步驟如下：

（1）初始值的選取

式中：Zmin、Zmax—圖像中最小階躍灰度值和最大階躍灰度值。

（2）根據(jù)閾值T k將圖像分為兩部分，并分別求出兩部分的平均階躍灰度值。

式中：Z(i，j)—圖像上(i，j)點的階躍灰值；N(i，j)—(i，j)點的權(quán)重系數(shù)。

（3）求解新閾值

（4）如果T k=T k+1，即階躍灰度最佳閾值τ=T k=T k+1迭代結(jié)束，反之k=k+1轉(zhuǎn)向步驟（2）。

4.2 改進(jìn)的Zernike邊緣定位算法檢測流程

改進(jìn)的Zernike邊緣定位算法檢測流程，如圖4所示。其大致可以分為以下幾個步驟：

圖4 改進(jìn)算法檢測流程圖Fig.4 Flow Chart of Improved Algorithm Detection

（1）采用傳統(tǒng)的Zernike矩檢測算法分別求得三個不同階次的Zernike矩A00，A11，A20，φ；

（2）根據(jù)Zernike正交矩旋轉(zhuǎn)不變的性質(zhì)，計算得到A′00，A′11，A′20；

（3）將階躍灰度值作為研究對象，利用4.1基于迭代法求取階躍灰度最佳閾值τ；

（4）根據(jù)亞像素邊緣判據(jù)為k≥τ?l≤δ，對圖像中像素點進(jìn)行判別。符合條件k≥τ?l≤δ，則該像素點為邊緣像素點，反之不成立。

5 誤差分析及補償

5.1 卷積模板引起的誤差

在選取卷積模板時，由于模板大小的不同會引起誤差。若模板大小為N×N，其覆蓋區(qū)域是模板中心周圍N2個像素，在單位圓內(nèi)取樣時，此時單位圓半徑變成N∕2，則需要把計算出來的垂直距離增大兩倍，補償后的亞像素邊緣檢測坐標(biāo)公式如下：

5.2 邊緣模型選取引起的誤差

上述亞像素邊緣檢測位置坐標(biāo)的推導(dǎo)是基于理想的二級階躍邊緣模型，即一個表示背景灰度另一個表示前景灰度。但是圖像中圖形的邊緣是以灰度漸變的形式存在的，實際的邊緣模型更接近三級階躍邊緣模型，即一個表示背景灰度，一個表示目標(biāo)灰度，另一個表示過渡階段灰度，其模型，如圖5所示。

圖5 三級灰度模型示意圖Fig.5 Three-Level Ideal Gray Model

類似于傳統(tǒng)的Zernike矩亞像素邊緣檢測位置坐標(biāo)推導(dǎo)方法，同理可以得到如下的公式：

將傳統(tǒng)的Zernike邊緣檢測算法計算得到的l與三級灰度模型得到的l m做差，可推導(dǎo)偏差e如下：

當(dāng)圖像邊緣位于模板中心的兩側(cè)像素及其鄰域時，則可以利用偏差e對傳統(tǒng)的Zernike邊緣檢測算法計算得到的l進(jìn)行補償，從而達(dá)到提高亞像素邊緣精測的精度的目的。

6 最小二乘法擬合靶標(biāo)圓心坐標(biāo)

利用上述改進(jìn)的Zernike矩算法可以得到靶標(biāo)標(biāo)記圓的一系列亞像素邊緣點，然后通過最小二乘法可以擬合得到標(biāo)記圓的圓心圖像坐標(biāo)位置，隨后采用文獻(xiàn)[10]的方法對攝像機進(jìn)行進(jìn)行標(biāo)定，根據(jù)得到的標(biāo)定參數(shù)通過坐標(biāo)變換最終得到靶標(biāo)的空間位置。其中最小二乘法理論公式如下：

式中：p(x i，y i)—離散的亞像素邊緣點；N—離散的數(shù)；(x0，y0)—目標(biāo)的坐標(biāo)位置；r—圓半徑。

7 實驗結(jié)果及分析

第一組實驗是計算機仿真實驗，為了對兩種算法的檢測精度進(jìn)行檢測，制做了一副分辨率為（256×256）的圖像。以一系列點為圓心坐標(biāo)，圓半徑為60像素，圖像背景像素值為0，如圖6所示。分別采用傳統(tǒng)的Zernike算法與改進(jìn)算法對圓心坐標(biāo)進(jìn)行定位，然后利用最小二乘法擬合得圓心圖像坐標(biāo)位置，如表1所示。通過表1可知傳統(tǒng)算法的定位誤差為0.03107像素；改進(jìn)算法定位誤差為0.013624像素，表明算法檢測精度優(yōu)于傳統(tǒng)Zernike算法。

圖6 仿真所用圖像Fig.6 The Image for Simulation

表1 仿真結(jié)果Tab.1 Simulation Result

第二組實驗：在省基金的支持下我們搭建了柔索驅(qū)動機構(gòu)實驗平臺。實驗臺主要包括機械結(jié)構(gòu)和電氣控制系統(tǒng)，機械結(jié)構(gòu)部分主要由機架、靶標(biāo)的運動平臺、柔索、靶標(biāo)等模塊組成；控制系統(tǒng)主要由用戶操作界面、圖像采集卡、運動控制中心、伺服電機、驅(qū)動器等模塊構(gòu)成，實驗臺，如圖7所示。

圖7 柔索驅(qū)動機構(gòu)實驗平臺Fig.7 Experimental Platform for Cable Driving Mechanism

其中采集裝置為德國巴斯勒acA2000-340kc型號的工業(yè)相機，分別率為2046*1086，編程平臺為vs2013，編程語為c++結(jié)合OpenCV2.4.10。在驅(qū)動靶標(biāo)運動的過程中，首先分別采用傳統(tǒng)的Zernike算法與這里改進(jìn)算法分別對運動靶標(biāo)中心進(jìn)行亞像素邊緣提取，然后采用最小二乘法對提取的亞像素邊緣進(jìn)行擬合，最終通過坐標(biāo)變換得到靶標(biāo)中心空間坐標(biāo)。通過進(jìn)行對比分析，來驗證改進(jìn)算法的檢測精度。在靶標(biāo)運動過程中抽取十個數(shù)據(jù)點，將計算坐標(biāo)與理論坐標(biāo)進(jìn)行了對比分析，實驗結(jié)果，如表2所示。

表2 實驗結(jié)果Tab.2 SimulationResult

三條曲線比較接近，不容易直觀地對其進(jìn)行區(qū)分、評價，如圖8所示。為了對兩種算法的檢測精度進(jìn)行定量的分析，將這些實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理分析，整理后的數(shù)據(jù)，如表2所示。通過表2可知傳統(tǒng)Zernike算法的x方向最大誤差為1.269mm，平均誤差為0.787mm，y方向最大誤差為1.451mm，平均誤差為1.065mm；改進(jìn)算法x方向最大誤差為0.744mm，平均誤差為0.475mm，y方向最大誤差為0.819mm，平均誤差為0.65mm。顯然，改進(jìn)算法的檢測精度要優(yōu)于傳統(tǒng)的Zernike算法；同時最佳閾值的自動選取相比于相比于人工手動調(diào)試具有更高的效率，為后期柔索機構(gòu)伺服反饋、高精度的控制提供了有效依據(jù)。

圖8 算法對比曲線Fig.8 Algorithmic Contrast Curve

8 結(jié)論

經(jīng)典的Zernike矩算法邊緣檢測判據(jù)中因為自由閾值的存在，降低了檢測效率，且傳統(tǒng)的檢測方法對誤差的來源未進(jìn)行分析，也未考慮誤差補償，造成檢測精度的下降。針對這兩個檢測的難題，提出一種基于改進(jìn)Zernike矩的亞像素邊緣定位算法。以運動靶標(biāo)中心定位為實驗研究對象，測試結(jié)果表明：該方法能夠準(zhǔn)確對運動靶標(biāo)中心進(jìn)行定位，檢測精度要優(yōu)于傳統(tǒng)的Zernike算法，同時最佳閾值的自動選取相比于人工手動調(diào)試具有更高的效率。