李海鋒

原題：如圖在銳角三角形ABC中，M是BC的中點，點P在△ABC中，使得AP平分∠BAC.直線MP與△ABP，△ACP的外接圓分別相交于不同于點P的兩點D、E.

證明：若DE=MP，則BC=2BP.

本題是不可多得的、優(yōu)秀的競賽試題，整體難度適中，選拔作用突出，不只是在考試中，在教學和學生后續(xù)的學習中，這道題的作用尤其突出。本文就充分挖掘條件的內(nèi)涵探索多種解法，綜合多個知識點，多方面激活學生腦細胞，啟發(fā)思維，提高學生的學習興趣。

一、倍長中線法

如果觀察M是BC的中點，容易想到延長中線，利用倍長關(guān)系解決問題，但是一定要選好做哪個的倍長。

法1：如圖延長PM到點F，使得MF=ME.連接BF、BD、CE.

由條件可知：∠BDP=∠BAP=∠CAP=∠CEP=∠CEM.

因為BM=CM且EM=FM，所以BF=CE且BF‖CE.

于是∠F=∠CEM=∠BDP，進而BD=BF.

又DE=MP，故DP=EM=FM.

于是在等腰△BDF中，由對稱性得BP=BM，從而BC=2BM=2BP.

二、全等法

觀察三角形△DBP和△ECM，∠BDP=∠BAP=∠CAP=∠PEC=∠MEC，由于DE=MP，可知DP=EM，下面圍繞證明DB=EC的不同方法，分析以下3種方法。

法2：如圖連接DB，EC，在△DBP和△ECM中，由于DE=MP，可知EP=EM，

∠BDP=∠BAP=∠CAP=∠PEC=∠MEC，

過B作BH垂直MD于H點，過C作CJ垂直MD于J點，

∵M是BC的中點，可知BH=CJ，又∵∠BDP=∠JEC，

∴△DBP≌△ECM，∴BP=CM，∵M是BC的中點，∴BC=2CM=2BP

法3：∵∠BDP=∠BAP=∠CAP=∠PEC=∠MEC，可知sin∠BDP=sin∠CEM，

在△BDM和△CEM中由正弦定理可得BD/BM=sin∠BMD/sin∠BDM，①

CE/CM=sin∠CME/sin∠CEM，②

由BM=CM，sin∠CEM=sin∠BDM，sin∠BMD=sin∠CME，

又由①、②可知BD=CE

由于DE=MP，可知EP=EM，

∴△DBP≌△ECM，∴BP=CM，∵M是BC的中點，∴BC=2CM=2BP

三、圓冪定理法

如果觀察BC為兩圓的割線，想到圓冪定理，結(jié)合平行線也可以有以下方法。

法4：如圖設(shè)直線BC與圓APB圓APC交于的另一點是N、O.

連接PN、PO、DN.過P作PH垂直于BC，垂足為H，分別過E和P做DN的平行線，交BC與G和Q點。因為MP=DE，可知MQ=GN.

由A、P、N、B共圓，及A、P、O、C共圓，可知∠PNO=∠BAP，∠PON=∠CAP，而由已知可得：∠BAP=∠CAP，∠PNO=∠PON，所以PN=PO，

由圓冪定理，MB·MN=MP·MD，MP·ME=MO·MC

因為MB=MC，兩式做商可得MD∶ME=MN∶MO

由DN平行EG，可得MD∶ME=MN∶MG

可見MO=MG，由MQ=GN，所以NQ=NG+GQ=MQ+GQ=MG=MO

結(jié)合PH垂直于BC，PN=PO，由對稱性可得PQ=PM，

∵圓APB中同弧BD對的圓周角∠BND=∠BPD，等角的補角相等∴∠OND=∠MPD，

又∵DN平行PQ，∴∠PQM=∠DNO，

可得三角形MPQ與三角形MBP相似，在三角形MPQ中PQ=PM，如此三角形MBP中，BP=BM，∵M是BC的中點，∴BC=2CM=2BP

以上方法，入手方向不同，所用定理不同，在分析過程中把各個定理都復習了一遍，學生思維也得到了提高?？吹搅似矫鎺缀蔚淖C明也可以像其他數(shù)學分支的內(nèi)容一樣只要思路正確就可以達到“條條道路通羅馬”的效果，充分提高了學生學習平面幾何的積極性。