張守柏

在物體平衡問題中，有一類動態(tài)平衡問題，這類問題的特點(diǎn)是一部分力是變力，是動態(tài)力，力的大小和方向隨平衡態(tài)發(fā)生變化。這類題目難度大，對學(xué)生而言是一個難點(diǎn)，但是在高考中考查頻率非常高。解決物體動態(tài)平衡問題時，我們常用的方法有數(shù)學(xué)解析法、三角形圖解法、相似三角形法等。但在動態(tài)平衡問題中有一種情形：在三個共點(diǎn)力作用下而處于平衡狀態(tài)的物體，這三個共點(diǎn)力其中有一個力是大小和方向都保持不變的恒力，而另外兩個力的大小和方向都隨平衡態(tài)發(fā)生變化，但這兩個力的夾角（不等于90°）保持不變。這種動態(tài)平衡問題，解題的難度最大，若找不到恰當(dāng)?shù)慕夥▌t很難解答，尤其若采用以上常規(guī)解法來解，則難以解決，但此時若用數(shù)學(xué)知識正弦定理或三角形外接圓法則就容易多了。用數(shù)學(xué)知識來解決物理問題，這正是高考對學(xué)生的一種基本能力的考查要求。因此，我們在教學(xué)過程中應(yīng)該加強(qiáng)對學(xué)生這一能力的培養(yǎng)。下面我以2017年理綜全國卷Ⅰ第21題為例加以說明。

題目：（多選）現(xiàn)有一柔軟輕質(zhì)細(xì)繩ON的O端點(diǎn)固定不動，在細(xì)繩中間某處M點(diǎn)拴一重物，用手拉住繩的另一端點(diǎn)N。如圖1所示，開始時，繩OM段保持豎直狀態(tài)，繩MN段則剛好被拉直，繩OM與MN之間的夾角為α（其中角α>90°）。現(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，但保持夾角α不變，直到繩OM被拉至水平，則在此過程中下列說法正確的是（? ）

A.繩OM段的拉力先變小后變大

B.繩MN段的拉力逐漸變大

C.繩OM段的拉力先變大后變小

D.繩MN段的拉力保持不變

解法一：利用數(shù)學(xué)知識——正弦定理

基本思路：如圖2所示，當(dāng)物體受到三個共點(diǎn)力作用而保持平衡狀態(tài)時，這三個力就可以構(gòu)成一個封閉的三角形，那么此時這三個共點(diǎn)力中任何一個力的大小與這力所對角的補(bǔ)角的正弦值之比都相等，即有

下面我們就用此種方法來解答，具體解法如下：

解法二：作三角形外接圓

解題思路：當(dāng)物體受到三個共點(diǎn)力作用而處于平衡狀態(tài)時，這三個共點(diǎn)力可以構(gòu)成一個封閉的三角形，這個三角形就有一個對應(yīng)外接圓。由于這三個共點(diǎn)力中有一個力是大小和方向都保持不變的恒力，而且這個力所對的角保持不變。因此，在力的三角形中有一條有向線段不變，同時這條線段所對的角也就保持不變，這時我們就可以以表示這個力的有向線段為弦作三角形的外接圓，那么這條弦所對的圓周角都相等。

下面我們再用上面的方法來解答一下。具體解答如下：

假設(shè)重物的質(zhì)量為m，則重力為mg，設(shè)繩OM段受到的拉力大小為TOM、繩MN段的拉力大小為TMN。在重物緩慢拉起的過程中每一時刻都認(rèn)為是平衡狀態(tài)，這三個力的合力為零。所以，這三個共點(diǎn)力的有向線段就能構(gòu)成一個封閉的三角形，現(xiàn)在以表示重力mg的有向線段為弦（非直徑弦，因?yàn)榻铅?90°）作一三角形外接圓。如圖4所示，在此過程中重力mg保持不變，而繩拉力TOM與繩拉力TMN夾角180°-ɑ不變，則有向線段mg所對的圓周角不變，有向線段三角形中TMN與TOM的交點(diǎn)在一個圓弧上移動，由圖可以看出，在OM被拉到水平的過程中，繩MN中拉力一直增大最后達(dá)到最大值，繩OM中拉力先增大后減小，所以B、C答案正確。

以上兩種解法在解決共點(diǎn)力的動態(tài)平衡問題，尤其是其中的一個力是恒力，而另外兩個力大小、方向都變化的動態(tài)平衡問題，則非常簡便快捷，可以輕松解答此類題型。通過比較我們還可以看出，此種情形采用正弦定理法更事半功倍。