王建河

【摘 要】解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)課程中常見的一種教學(xué)形勢，通過解題不僅能夠反映出學(xué)生對于知識的掌握程度，同時(shí)教師也可以集中強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)的再次理解以及應(yīng)用能力，而學(xué)生在經(jīng)過了一段時(shí)間的沉淀之后，在重新回顧數(shù)學(xué)知識時(shí)往往能夠更加清晰地觀察到知識的本質(zhì)，進(jìn)而對知識的理解層次能夠獲得進(jìn)一步的提升。然而，在實(shí)踐教學(xué)過程中學(xué)生在解題學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)往往都是不甚理想，究其原因，在于大部分學(xué)生對于題意理解不明，并且課堂上缺乏一定的主體意識，常常根據(jù)教師的安排“指哪打哪”?；诖?，本文結(jié)合三角形最值問題，站在對話數(shù)學(xué)的角度對高三數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)展開研究。

【關(guān)鍵詞】對話數(shù)學(xué);解題教學(xué);高中三年級;三角形最值問題

“對話數(shù)學(xué)”是根據(jù)心理學(xué)理論體系為依據(jù)，讓學(xué)生通過不同層次的“對話交流”來準(zhǔn)確把握題干中的關(guān)鍵信息，尋求解題的突破口，從而促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，引導(dǎo)學(xué)生建立起反思總結(jié)的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的目的。下面，本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)中的“三角形最值”問題，來淺談如何通過“對話數(shù)學(xué)”的方式為學(xué)生開展數(shù)學(xué)解題教學(xué)。

一、問題背景調(diào)查

三角形最值問題一直以來都是高中數(shù)學(xué)知識體系中較為重要的一項(xiàng)環(huán)節(jié)，同時(shí)也是高考中的必考項(xiàng)目。這一類考題通常會與函數(shù)以及不等式之間產(chǎn)生聯(lián)系，因而對于學(xué)生的綜合知識掌握情況考察的較為嚴(yán)格，同時(shí)在解題難度上也相對提高，因此導(dǎo)致學(xué)生在這類問題上失分現(xiàn)象較為嚴(yán)重?；诰C合考量，高中數(shù)學(xué)教師有必要針對這一類問題展開專門探討，尋求有效的解題技巧來提高學(xué)生的解題能力。

而對于學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，則需要引導(dǎo)學(xué)生站在宏觀角度上去理解三角形最值問題的出題特點(diǎn)，并探尋知識結(jié)構(gòu)間的關(guān)聯(lián)性，把握不同知識的運(yùn)用特點(diǎn)，最終總結(jié)出適用性較強(qiáng)的審題規(guī)律。同時(shí)在實(shí)際解題過程中，學(xué)生要學(xué)會通過角度對換的方式來與題干中的關(guān)鍵信息展開“交流”，從而得以把握住解題重點(diǎn)，從中分析出具體的解題思路。為此，教師在為學(xué)生開展解題教學(xué)的過程中，應(yīng)注意從多層次上對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生通過自主思考來建立起完整的知識結(jié)構(gòu)。

二、對話命題者，了解題目立意

立意新穎的高考考題背后，是無數(shù)命題者對數(shù)學(xué)知識的深刻領(lǐng)悟與靈活運(yùn)用。命題者通過數(shù)學(xué)問題來考驗(yàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識與思想的領(lǐng)悟能力，而學(xué)生對這些內(nèi)容的理解，最終可以構(gòu)建成命題者預(yù)想當(dāng)中的解題思路，實(shí)現(xiàn)與命題者思維的隔空對撞，完成了對學(xué)生的知識考查過程。

教師：誰能總結(jié)一下三角形最值問題的出題特點(diǎn)？

學(xué)生：這類問題通常結(jié)合正、余弦定理的概念，將三角形的邊、角以不等式或等式的形式呈現(xiàn)出來，以此來計(jì)算三角形的面積或邊長、夾角等最值問題。這類命題相對比較開放，同時(shí)出題方式多樣靈活，可以與基本不等式等多種知識點(diǎn)結(jié)合起來，因此在解題過程中，應(yīng)當(dāng)詳細(xì)思考題干內(nèi)容。

幫助學(xué)生從命題者的角度來理解特定范圍內(nèi)的命題立意，可以幫助學(xué)生快速掌握該類題型的出題規(guī)律，并通過命題者的出題意圖與思路，來摸索相應(yīng)的解題切入點(diǎn)，從而能夠更加精準(zhǔn)的把握住解決此類問題的關(guān)鍵，對于學(xué)生解題技巧的提升發(fā)揮出了關(guān)鍵作用。

三、對話題干信息，尋找解題方法

題干中給出的信息是學(xué)生題目交流的渠道，通過與題干“交流”學(xué)生可以在了解題目含義的基礎(chǔ)上進(jìn)行充分的聯(lián)想，尋找題干中的關(guān)鍵信息，比如特殊的數(shù)字與符號等等。從而發(fā)掘出試題真正的考察方向，繞過題干中無關(guān)信息的干擾，準(zhǔn)確找到解題的的關(guān)鍵所在。

例一：已知三角形的三個(gè)角分別為A、B、C，如果A=π/4，計(jì)算√2cosB+cosC的最大值為多少。

在教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題型、問題特點(diǎn)來簡單敘述一下對此題的看法，以此來總結(jié)出更加清晰的解題思路。

生A：這是一道三角形最值問題，根據(jù)題干中給出的信息，本題可以借助余弦定理來進(jìn)行求解。

教師：總體思路是正確的，已知三角形的一個(gè)角A為π/4，那么通過三角形內(nèi)角和定理，C=3/4π-B，將輔助角公式與余弦公式帶入到題干中給出的等式當(dāng)中，可以將其分解并計(jì)算：√2cosB+cosC=√2cosB+cos（3/4π-B）=sin（π/4+B），B的值域?yàn)椋?，3/4π），因此當(dāng)B為π/4的情況下，題干中所給出的函數(shù)有最大值為1。但是僅能通過這一個(gè)角度進(jìn)行求解嗎？

生B：此題還可以從另一個(gè)角度來進(jìn)行思考，也是對B進(jìn)行消元，從而根據(jù)C的三角函數(shù)求最值。即√2cosB+cosC=2cos（3/4π-C）+cosC=sinC，當(dāng)C=π/2時(shí)，函數(shù)有最大值1。

教師：沒錯(cuò)，這種形式也是正確的求解思路之一，那么，同學(xué)們能否根據(jù)這兩種解題思路來總結(jié)一下規(guī)律，嘗試敘述本題的切入點(diǎn)是什么？

學(xué)生經(jīng)過討論與總結(jié)，不難發(fā)現(xiàn)兩種解題方法都用到了消、減元的知識，根據(jù)題干中給出的信息，學(xué)生可以總結(jié)出一個(gè)關(guān)鍵的信息，即三角形的內(nèi)角和為180°，由此根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可以總結(jié)出A、B、C三個(gè)角的和為π，又根據(jù)題干中給出的已知量A，因此可以根據(jù)等量轉(zhuǎn)換關(guān)系來消元B或C，從而形成了基本的一元三角函數(shù)關(guān)系式。

四、對話數(shù)學(xué)思想，探尋問題本質(zhì)

學(xué)生在解題過程中，對知識的運(yùn)用以及規(guī)律總結(jié)均離不開數(shù)學(xué)思想作為依據(jù)，掌握正確的數(shù)學(xué)思想精髓，可以幫助學(xué)生更加系統(tǒng)的建立知識框架，并使得學(xué)生解題應(yīng)用過程中，能夠更加精確地把握問題的本質(zhì)。從而使學(xué)生不再依靠模仿來完成解題過程，而是充分開發(fā)個(gè)人的思維能力，靈活的將各類知識點(diǎn)應(yīng)用到解題步驟當(dāng)中。

例二：已知三角形三個(gè)角分別為A、B、C，已知BC=AC*cosC+AB*sinB，若AC=2，B=π/4，求三角形面積的最大值。

教師：三角函數(shù)是勻速圓周運(yùn)動的一種體現(xiàn)，因此三角函數(shù)又被稱為圓函數(shù)。在三角形問題中，三角形的邊長和角的大小決定了一個(gè)三角形的形狀，因此在解題過程中應(yīng)當(dāng)把握好三角形邊和角關(guān)系。在這道題中，根據(jù)正弦定理，可以知道B在三角形外接圓的優(yōu)弧移動，如圖一所示。根據(jù)圖形可以判斷，B移動到AC的中垂線位置時(shí)，三角形面積有最大值，由題干信息可以求出BO=√2，DO=√R2-（AC/2）2=1，因此最大面積為CA/2*DB=√2+1。