宋萬鴿,祝世寧,李 濤

(南京大學現(xiàn)代工程與應用科學學院，南京 210023)

0 引 言

隨著整數(shù)量子霍爾效應和量子自旋霍爾效應的發(fā)現(xiàn)[1-3]，拓撲絕緣體逐漸引起了人們的關注[4-5]。拓撲絕緣體的能帶具有獨特的拓撲特性，可以用非平庸的受對稱性保護的拓撲序來描述[6-8]。在非零的拓撲序下，拓撲絕緣體在整體上是絕緣的，而在其表面存在著導通的表面態(tài)。這種表面態(tài)具有單向傳輸?shù)奶攸c，并且是受拓撲保護的，因此具有背散射免疫的特性，對局部結構擾動和無序表現(xiàn)出較強的魯棒性。近年來，不同種類的拓撲態(tài)已經(jīng)在各種各樣的體系中被發(fā)現(xiàn)，包括準晶體[9]、高階拓撲絕緣體[10]、非厄米系統(tǒng)[11]和周期性驅(qū)動的Floquet系統(tǒng)[12]等。其中，在一維拓撲結構中，Su-Schriffer-Heeger(SSH)模型是一個結構簡單而內(nèi)涵豐富的系統(tǒng)。它描述的是聚乙炔鏈中由C—C單雙鍵交替排列的鏈中插入相鄰兩個單鍵或兩個雙鍵構成的扭結(kink和antikink)中發(fā)現(xiàn)的一種拓撲孤子態(tài)[13-14]，即所謂的零模[15]。零模具有對局部結構擾動和無序的魯棒性，已被用于實現(xiàn)魯棒性光傳輸[16]、拓撲激光[17]、邏輯運算[18]等方面。

另一方面，周期性驅(qū)動的Floquet系統(tǒng)也表現(xiàn)出了豐富的拓撲效應，F(xiàn)loquet系統(tǒng)的哈密頓量在時間上是周期性的，即H(t+T)=H(t)，其中T為周期。人們可通過調(diào)節(jié)頻率和幅度來設計準能帶結構并探索非平庸的物理效應。例如異常的拓撲Floquet邊界模式[19]、“ 0”和“π” Majorana模式[20]以及關聯(lián)的Floquet相[21]等。其中，周期性驅(qū)動的SSH模型也逐漸吸引了人們的關注[22-25]，人們發(fā)現(xiàn)了其中蘊含一種全新的拓撲π模[22]。與靜態(tài)零模不同，π模式表現(xiàn)出周期性的振蕩特征。此外π模也具有拓撲保護特性，因此對結構擾動也表現(xiàn)出良好的魯棒性。

值得一提的是，前面提到的多種拓撲態(tài)有一個共同點，即它們都出現(xiàn)在具有不同拓撲相的兩個系統(tǒng)之間的界面上，這就是著名的體邊對應關系[8]。然而，最近有研究表明，在Floquet系統(tǒng)中，即使拓撲相是一致的，但如果Floquet規(guī)范場[26-27]不同，也有可能產(chǎn)生拓撲邊界態(tài)。這種規(guī)范相變引起的拓撲態(tài)及單向傳播現(xiàn)象在彎曲的硅波導陣列系統(tǒng)中成功被實驗觀測到[28]，但是背后的物理機理還未完全清楚。

本文深入研究了Floquet系統(tǒng)中規(guī)范場對于系統(tǒng)準能帶以及π模式演化的影響。通過將Floquet系統(tǒng)與Jackiw-Rebbi (JR)模型[29]進行類比，推導出了π能隙質(zhì)量項與Floquet規(guī)范的關系，從而闡明了Floquet規(guī)范的物理內(nèi)涵，揭示了Floquet規(guī)范轉變誘導拓撲π模的產(chǎn)生機理。

1 周期性驅(qū)動的SSH模型

考慮在一個光波導陣列當中實現(xiàn)周期性驅(qū)動的SSH模型[22-25]。根據(jù)波導陣列的亥姆霍茲方程與薛定諤方程的形式上的一致性，波導的傳播方向?qū)跁r間。因此，如果將波導進行周期性彎曲，則可實現(xiàn)體系的含時調(diào)制。圖1(a)是周期性調(diào)制的SSH模型示意圖，可以看到，波導之間的間距隨著傳播方向z而周期性地發(fā)生變化。如果假設波導彎曲調(diào)制滿足正弦型調(diào)制，即x0(z)=Acos(2π/Pz)，那么波導之間的間距滿足d(z)=d0±Acos(ωz+φ)，這里d0是波導之間的平均間距，z為傳播方向，A為彎曲幅度，ω=2π/P為彎曲頻率，φ為彎曲的初相(這里φ=0)，即所謂的Floquet規(guī)范[26-28]。耦合系數(shù)c隨z變化的關系可以近似寫為c(z)=c0±δccos(ωz+φ)，其中c0是波導之間的平均耦合系數(shù)，δc是耦合系數(shù)的最大變化量?？梢钥吹?，c是具有周期性的，在一個周期內(nèi)，最強最弱的耦合系數(shù)分別為c0+δc和c0-δc。該體系哈密頓量可以寫為：

圖1 (a)波導陣列中周期性調(diào)制的SSH模型示意圖；(b)Floquet規(guī)范轉變界面示意圖

(1)

下面，考慮把兩個具有不同F(xiàn)loquet規(guī)范的陣列拼在一起，形成一個Δφ≠0的界面，如圖1(b)所示(這里左邊陣列φ1=φ0=0，右邊φ2=φ1+Δφ=π，其他參數(shù)一致，Δφ是左右陣列的規(guī)范差)。雖然兩個陣列的拓撲不變量是相同的，即該界面處沒有拓撲相變，但是如果φ2=φ1+π，即Δφ=π，那么在該界面處會由于Floquet規(guī)范的轉變而出現(xiàn)π模[28]，如圖2(b)所示，可以看到界面處也出現(xiàn)了局域的場分布。為了解釋規(guī)范相變引起拓撲態(tài)的物理機理，本文采用Floquet理論[24,30-31]來處理該周期性驅(qū)動的系統(tǒng)。

圖2 (a)周期性驅(qū)動SSH模型中π模的場分布;(b)具有Floquet規(guī)范轉變的π模的場分布?？偛▽Ц鶖?shù)為80，F(xiàn)loquet規(guī)范轉變界面位于第40根波導附近

根據(jù)Floquet理論，該體系的薛定諤方程的解可以寫成Floquet態(tài)的疊加：

|ψα(z)〉=exp(-iεαz)|uα(z)〉

(2)

式中：εα是準能量，為ω的整數(shù)倍；|uα(z)〉是相應的Floquet模式，是P的周期函數(shù)|uα(z+P)〉=|uα(z)〉。

將式(2)代入薛定諤方程，可以得到相應的特征值方程：

(3)

將哈密頓量H(z)和Floquet模式|uα(z)〉進行頻譜分解，得到：

(4)

(5)

由此，可以得出與時間(z)無關的Floquet方程：

(6)

下面，將Floquet理論應用于周期性彎曲波導陣列系統(tǒng)。圖1(b)所示的具有規(guī)范轉變的Floquet波導系統(tǒng)的哈密頓量可以寫為：

(7)

式中：N是每個陣列的波導數(shù)(N是偶數(shù))，總波導數(shù)是2N。根據(jù)Floquet理論，可以將式(7)的哈密頓量表示為與時間無關的項和與時間周期相關項之和：

H(z)=H0+Hp(z)

(8)

其中：

(9)

以及：

(10)

H0和Hp可以進一步寫為2N×2N矩陣形式：

(11)

以及：

Hp(t)=H1e-iωt+H-1eiωt

(12)

注意，這里將傳播常數(shù)β0設為零作為參考值。式(12)中分量H1和H-1表示為：

(13)

因此，式(6)中與時間無關的Floquet方程可以用塊矩陣運算符表示為以下特征值問題：

(14)

其中Floquet哈密頓量為：

(15)

式(14)揭示了Floquet理論的本質(zhì)。它可以將一維時間周期問題轉換為二維時間無關問題，除了原來的空間維度i之外，另一個人工維度由Floquet指數(shù)n構成，又稱Floquet復制帶，第n個Floquet復制帶的準能量會出現(xiàn)nω的偏移[24,30-31]。若將式(15)在足夠大的n處截斷，可以求得收斂的特征向量(即本征模式分布)和特征值(即準能量)。

2 Floquet規(guī)范轉變誘導拓撲π模的產(chǎn)生機理

為了解釋該π模式的出現(xiàn)原因，可以在Bloch基中重新寫出系統(tǒng)的哈密頓量。為此，必須考慮如圖1(a)所示的具有周期性的體系。根據(jù)平移對稱性，可以將實空間中的哈密頓量式(1)變換到動量空間k中[31]：

H(k,z)=[(c0-δccos(ωz+φ))+(c0+δccos(ωz+φ))cos(k)]σx+(c0+δccos(ωz+φ))sin(k)σy

(16)

式中：k是準動量(晶格常數(shù)設置為1)；σx，σy是Pauli矩陣。由于該哈密頓量遵循反對易關系{H(k，z),σz}=0[22]，因此該系統(tǒng)具有由Pauli算子σz定義的手性對稱性。在這種情況下，式(15)中的Floquet哈密頓量HF的矩陣塊可以寫為：

H0=[c0+c0cos(k)]σx+c0sin(k)σy

(17)

(18)

將式(17)和式(18)代入式(15)中，可以得到動量空間中的Floquet哈密頓量HF。這里取五個Floquet復制帶，即n=0、±1和±2，因此HF是10×10的矩陣：

(19)

求解式(19)，可以得到關于準動量k的準能譜，如圖3所示?？梢钥吹剑诟哳l下(例如ω/4c0=2)，不同的復制帶被完全分開，并且π能隙是打開的，但是是平庸的(見圖3(a))。隨著頻率降低(ω/4c0=1)，復制帶彼此恰好接觸(例如，n=0和n=±1，n=±1和n=±2，見圖3(b))。進一步降低頻率(例如ω/4c0=0.5)，復制帶可以相互交疊并重新打開非平庸的π能隙(見圖3(c))。但是，當將驅(qū)動頻率降低到ω/4c0=1/3時，其中n=2和n=-1(n=-2并且n=1)復制帶恰好交叉，則π能隙會重新閉合(見圖3(d))。因此，隨著頻率從0增大，π能隙會在ω/4c0=1/3處開始打開，在ω/4c0=1處關閉，并且在該區(qū)域會形成拓撲π模式。

圖3 動量空間中不同彎曲頻率的準能量譜，清楚地顯示了Floquet系統(tǒng)中π能隙的開-閉-開機制

為了研究Floquet規(guī)范轉變的影響，將Floquet哈密頓量簡化為僅包含n=1和n=0之間的兩個相關Floquet復制帶。相應的Floquet哈密頓量HF為：

(20)

式(20)的準能譜如圖4(a)所示，包含四條能帶。因為π能隙與兩個中心能帶密切相關，因此在排除了第一和第四能帶而保持中心能帶不變的情況下，可以得到緊湊的有效哈密頓量：

(21)

其中對角線項代表兩個不受擾動的Floquet帶(n=0的上帶，n=1的下帶)，非對角線項對應于周期性彎曲調(diào)制引起的兩個帶的耦合。

式(21)的特征值為：

(22)

下面，將式(22)在k=k0附近展開，并保留k的第一階近似，得到：

(23)

若假設δc/c0→0，則k0和Δπ可以近似表示為：

(24)

(25)

則式(23)的準能量可以進一步簡化為：

(26)

式(26)的能帶如圖4(b)中黑色加粗點線所示，注意式(26)僅在k=k0附近有效。

可以從準能量色散方程式(26)中得出Floquet波導系統(tǒng)的類似狄拉克哈密頓量的形式HFD：

(27)

其中I2×2是單位矩陣。Floquet-Dirac質(zhì)量項為mπ=(Δπ/2)e-iφ，其中φ即為Floquet規(guī)范，在這里充當質(zhì)量項的相位。特別地，如果Floquet規(guī)范反向，即φ→φ+π。則質(zhì)量項mπ→(Δπ/2)e-i(φ+π)=-(Δπ/2)e-iφ=-mπ將獲得相反的符號。根據(jù)式(7)，兩個陣列的Floquet規(guī)范分別為φ1和φ2(φ2=φ1+π)。因此該系統(tǒng)具有相反的π能隙質(zhì)量項，即mπ1=-mπ2。盡管兩個陣列的都具有非平庸且相等的拓撲變量(Gπ=1)，但Floquet規(guī)范相變會引起相反的π能隙質(zhì)量項，因此根據(jù)Jackiw-Rebbi模型[29]，在質(zhì)量項反轉的界面處會出現(xiàn)拓撲局域模式，即所謂的規(guī)范相變誘導的π模式，如圖4(c)所示。

圖4 (a)動量空間中的準能量譜，其中僅考慮兩個復制帶(n=0，1);(b)形成π能隙的準能量譜,黑色加粗虛線是通過在k=k0附近保留k的一階近似并假定δc/c0→0得到的;(c)Floquet規(guī)范相變誘導π界面態(tài)產(chǎn)生的示意圖

3 結 論

本文利用Floquet理論對周期性驅(qū)動的SSH模型進行了分析，構建出類似于Jackiw-Rebbi模型的哈密頓量，研究了Floquet系統(tǒng)中規(guī)范對于系統(tǒng)準能帶以及模式的影響。闡明了Floquet規(guī)范的物理內(nèi)涵為π能隙質(zhì)量項的相位。由此揭示了Floquet規(guī)范轉變誘導拓撲π模的產(chǎn)生機理，即Floquet規(guī)范轉變會造成π能隙的質(zhì)量項的反號，帶來能帶的翻轉，從而在界面處誘導產(chǎn)生拓撲π模。