高宏　梅圣烽

本文從隨機(jī)變量和隨機(jī)過程的定義出發(fā)，分析了金融數(shù)學(xué)在建立股票價(jià)格模型時(shí)，將股票價(jià)格與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系抽象為隨機(jī)變量的基本概念錯誤，無形中導(dǎo)致研究對象從一個(gè)樣本函數(shù)改變?yōu)闃颖竞瘮?shù)的集合，從而推導(dǎo)出了“股票價(jià)格服從對數(shù)正態(tài)分布”這一與事實(shí)不符的錯誤結(jié)論。本文將股票價(jià)格與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系還原為時(shí)間函數(shù)，根據(jù)“股票價(jià)格的對數(shù)收益率為白噪聲序列”的實(shí)證研究結(jié)果，建立了可正確描述股票價(jià)格波動現(xiàn)象及規(guī)律的樣本函數(shù)模型，為解決金融市場中資產(chǎn)定價(jià)、最優(yōu)配置、風(fēng)險(xiǎn)管理及金融監(jiān)管等實(shí)際問題提供了正確的數(shù)學(xué)模型及方法。

一、引言

金融數(shù)學(xué)是一門運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及方法，研究和揭示金融資產(chǎn)價(jià)格數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律，并解決金融市場中資產(chǎn)定價(jià)、最優(yōu)配置、風(fēng)險(xiǎn)管理及金融監(jiān)管等實(shí)際問題的應(yīng)用數(shù)學(xué)理論。金融數(shù)學(xué)的歷史最早可追溯到1900年法國巴黎大學(xué)巴舍利耶（Bachelier）的博士論文《投機(jī)理論》，巴舍利耶首先使用概率方法來研究股票價(jià)格波動現(xiàn)象，并將隨時(shí)間變化的股票價(jià)格看作一個(gè)增量獨(dú)立的隨機(jī)過程，構(gòu)建出隨機(jī)游走模型來描述股票價(jià)格隨時(shí)間的變化過程，根據(jù)中心極限定理推導(dǎo)出了股票價(jià)格服從正態(tài)概率的結(jié)論。巴舍利耶的研究不僅標(biāo)志著金融數(shù)學(xué)理論的誕生，而且也為后來金融數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了“將股票價(jià)格假設(shè)為隨機(jī)變量”的研究方法。1952年，馬科維茨（Markowitz）使用隨機(jī)變量的均值和方差分別描述證券投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)，建立了引發(fā)“第一次華爾街?jǐn)?shù)學(xué)革命”的組合投資理論，馬科維茨因在金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域的開創(chuàng)性工作，獲得了1990年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。1973年，布萊克（Black）和斯科爾斯（Scholes）基于幾何布朗運(yùn)動模型，推導(dǎo)出了著名的B-S期權(quán)定價(jià)公式，帶動了金融衍生品市場的快速創(chuàng)新發(fā)展，引發(fā)了“第二次華爾街?jǐn)?shù)學(xué)革命”，金融數(shù)學(xué)的理論大廈就此在隨機(jī)變量假設(shè)的基礎(chǔ)上建立起來。

金融數(shù)學(xué)在金融市場的應(yīng)用，使金融市場獲得了空前規(guī)模的發(fā)展，但是也造成了人類歷史上最大的金融體系崩潰。人們從眾多的案例分析中得出結(jié)論：金融數(shù)學(xué)建立的股票價(jià)格模型并不能正確描述股票價(jià)格的波動現(xiàn)象及規(guī)律，金融數(shù)學(xué)在金融領(lǐng)域的應(yīng)用是失敗的，金融數(shù)學(xué)因此陷入了嚴(yán)重的學(xué)科危機(jī)（高宏，2021）。本文從隨機(jī)變量和隨機(jī)過程的定義出發(fā)，分析了金融數(shù)學(xué)在建立股票價(jià)格模型時(shí)，將股票價(jià)格與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系假設(shè)為隨機(jī)變量的基本概念錯誤，無形中改變了股票價(jià)格的定義域，導(dǎo)致研究對象從一個(gè)樣本函數(shù)改變?yōu)闃颖竞瘮?shù)的集合，從而推導(dǎo)出了“股票價(jià)格服從對數(shù)正態(tài)分布”這一與事實(shí)不符的錯誤結(jié)論。本文將股票價(jià)格與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系還原為時(shí)間函數(shù)，根據(jù)“股票價(jià)格的對數(shù)收益率為白噪聲序列”的實(shí)證研究結(jié)果，建立了可正確描述股票價(jià)格波動現(xiàn)象及規(guī)律的樣本函數(shù)模型。

二、概率論中的隨機(jī)變量定義

隨機(jī)變量是概率論中一個(gè)極為重要的基本概念，也是研究隨機(jī)現(xiàn)象的基本工具。引入隨機(jī)變量的主要目的是：把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，將隨機(jī)事件的結(jié)果映射為實(shí)數(shù)，這樣就可以利用數(shù)學(xué)分析方法來研究隨機(jī)現(xiàn)象。

隨機(jī)變量的定義涉及隨機(jī)試驗(yàn)、樣本點(diǎn)和樣本空間三個(gè)基本概念。隨機(jī)試驗(yàn)是指人們對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的觀察或觀測，隨機(jī)試驗(yàn)具有以下3個(gè)特征：一是可重復(fù)性。在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行;二是多結(jié)果性。試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè)，但所有可能的結(jié)果都是事先明確可知的;三是不確定性。每次試驗(yàn)之前不能確定會出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果，但可以肯定會出現(xiàn)上述所有可能結(jié)果中的一個(gè)。

盡管一次隨機(jī)試驗(yàn)將要出現(xiàn)的結(jié)果是不確定的，但其所有可能結(jié)果是明確的。我們把大量重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)會出現(xiàn)的每一種可能的結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，一般記為ω;全部樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間，一般記為Ω。

定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω={ω}，若X（ω）為定義在樣本空間Ω上的單值實(shí)數(shù)函數(shù)，則稱X（ω）為隨機(jī)變量，簡記為X。

隨機(jī)變量的取值可以是連續(xù)的，也可以是離散的，根據(jù)隨機(jī)變量取值的不同，可以分為連續(xù)型隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量。

通常用大寫英文字母X，Y，Z，…來表示隨機(jī)變量，用小寫英文字母x，y，z，…表示實(shí)數(shù)。如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身就是一個(gè)實(shí)數(shù)x，即樣本點(diǎn)ω本身是一個(gè)實(shí)數(shù)，這時(shí)常定義X= X（ω）= ω= x。

對于拋硬幣試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果可能是硬幣正面向上，也可能是硬幣反面向上，即有兩種可能的結(jié)果，而且只有這兩種結(jié)果，事先可以明確。因此該試驗(yàn)所對應(yīng)的樣本空間Ω由ω1和 ω2兩個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成，我們指定實(shí)數(shù)1和-1分別與樣本點(diǎn)ω1和 ω2對應(yīng)（圖1），則隨機(jī)變量可寫成：

從上述隨機(jī)變量的定義可以看出，隨機(jī)變量X的取值由樣本點(diǎn)ω決定，也就是說，隨機(jī)變量X是樣本點(diǎn)ω的函數(shù)，即有X= X（ω），因此，隨機(jī)變量的定義域?yàn)闃颖究臻gΩ。

隨機(jī)變量實(shí)質(zhì)上是一個(gè)定義在“隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果集合”上的單值實(shí)數(shù)函數(shù)，隨機(jī)變量的不同取值與隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果一一對應(yīng)，隨機(jī)變量的值隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化。從數(shù)學(xué)上講，隨機(jī)變量就是一個(gè)從隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集的映射。

三、隨機(jī)過程與隨機(jī)變量的關(guān)系

在現(xiàn)實(shí)世界中，許多隨機(jī)現(xiàn)象都是隨著時(shí)間的進(jìn)程而變化發(fā)展的，這類動態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象就是所謂的隨機(jī)過程。例如在相同條件下重復(fù)10次觀察一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)的布朗粒子位移x隨時(shí)間t的變化過程，可得到圖2所示的10條布朗粒子位移曲線，這10次測量結(jié)果也可分別用10個(gè)時(shí)間函數(shù)x1（t），x2（t），…，x10（t）表示。盡管每次的試驗(yàn)結(jié)果各不相同，但每次的結(jié)果卻是一個(gè)確定性的時(shí)間函數(shù)xi（t）。若同時(shí)觀測10個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)的布朗粒子位移x隨時(shí)間t的變化過程，也會得到與圖2類似的試驗(yàn)結(jié)果曲線。

顯然，對每個(gè)布朗粒子的觀測結(jié)果均為一個(gè)隨時(shí)間變化的實(shí)數(shù)，亦即隨機(jī)過程的試驗(yàn)結(jié)果是一族時(shí)間函數(shù)x1（t），x2（t），…，xi（t），…，也就是說，隨機(jī)過程試驗(yàn)的樣本點(diǎn)ωi與時(shí)間函數(shù)xi（t）一一對應(yīng)（圖3）。