陳 慶,薛邵文,林乃昌*

(1.瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機械工程學(xué)院,四川 瀘州 646005;2.瀘州市智能制造重點實驗室,四川 瀘州 646005)

0 引 言

機械制造領(lǐng)域中,加工精度、裝配公差以及磨損等因素會使各種機構(gòu)產(chǎn)生運動副間隙[1],導(dǎo)致系統(tǒng)呈現(xiàn)非線性振動,加劇運動副的磨損,降低整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可靠性、精度以及使用壽命。因此,含間隙機構(gòu)的動力學(xué)研究成為了智能制造和精密機械領(lǐng)域中亟待解決的問題。

對于含間隙的機構(gòu)動力學(xué),國內(nèi)外諸多學(xué)者對其已研究多年[2-8]。王見等[9]以3-CPaRR并聯(lián)機構(gòu)為研究對象,基于Lankarani-Nikravesh和Coulomb模型,建立了含關(guān)節(jié)間隙的3-CPaRR并聯(lián)機構(gòu)彈性動力學(xué)模型,分析了不同的關(guān)節(jié)間隙對3-CPaRR并聯(lián)機構(gòu)運動特性的影響。姜洪奎等[10]基于赫茲彈性接觸理論和變形協(xié)調(diào)原理,考慮了初始游隙和接觸角變化等因素,建立了非理想滾道截形的滾珠絲杠副彈性變形接觸角的計算模型。何昊南等[11]針對折疊舵面內(nèi)、外舵鉸接處存在的間隙對地面振動響應(yīng)的影響,及間隙處的非線性建模方法展開了研究。邱雪松等[12]以月球車兩級往復(fù)可展太陽帆板為研究對象,通過接觸碰撞力描述間隙,運用有限元法對太陽帆板進行柔性化處理,建立了多間隙-柔性耦合的動力學(xué)模型。侯雨雷等[13]以含轉(zhuǎn)動副間隙RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)為研究對象,加入Baumgarte違約穩(wěn)定法和Runge-Kutta法,求解微分代數(shù)形式建立的動力學(xué)模型,分析了不同摩擦因數(shù)對機構(gòu)動態(tài)特性的影響。

在誤差補償方面,孔駿成等[14]在機器人操作手臂模型中,將間隙誤差完全等效成桿長誤差,利用PSO算法將間隙誤差補償問題轉(zhuǎn)化為求適應(yīng)度極小值問題。陳純等[15]建立了Y軸正、反向單向定位精度和反向差值補償?shù)臄?shù)學(xué)模型,通過840D的絲杠和間隙補償表功能完成了補償。唐俊杰等[16]運用了改進的PSO算法,優(yōu)化了驅(qū)動桿位移參數(shù),補償了由運動副間隙引起的結(jié)構(gòu)誤差。吳昊駿等[17]在分析鉆孔位姿參數(shù)和鉆具末端塌落量的函數(shù)關(guān)系后,對原有車體定位方法進行了修正,對鉆孔定位誤差進行了補償。

本文以含間隙曲柄滑塊機構(gòu)為對象,考慮運動副間隙碰撞接觸條件及能量耗散因素,結(jié)合Nikravesh[18]模型,提出一種表述接觸力的非線性彈簧阻尼模型;將其引入到含間隙曲柄滑塊機構(gòu)動力學(xué)模型的構(gòu)建中,分析間隙帶來的影響;建立其逆模型,就間隙帶來的誤差分別進行逆模控制和PID加逆?？刂苼硌a償間隙引起的系統(tǒng)誤差。

1 曲柄滑塊機構(gòu)的建模

1.1 理想曲柄滑塊機構(gòu)的建模

曲柄滑塊機構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 曲柄滑塊機構(gòu)示意圖r2—曲柄長度;r3—連桿長度;r1—滑塊位移;θ2—曲柄轉(zhuǎn)角;θ3—連桿轉(zhuǎn)角;r4—間隙半徑;θ4—x軸與軸銷軸套中心連線的夾角;rs1—曲柄質(zhì)心距o點的長度;rs2—連桿質(zhì)心距曲柄的長度;m4—滑塊質(zhì)量;M12—曲柄r2轉(zhuǎn)矩;Fmn,x,Fmn,y—機架、曲柄、連桿,滑塊兩兩之間的作用力在x,y軸的分量(其中：m,n=1,2,3,4)

用圖1就可表示理想曲柄滑塊機構(gòu)的示意圖(忽略其中表示間隙的大圓和小圓)。

由圖1可以得到x和y坐標軸的方程式,即:

r2cosθ2+r3cosθ3=r1

(1)

r2sinθ2+r3sinθ3=0

(2)

分別將上述兩式對時間求導(dǎo),分別可得到:

(3)

r2ω2cosθ2+r3ω3cosθ3=0

(4)

將式(3,4)寫成矩陣,即:

(5)

式(5)即為理想曲柄滑塊機構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。

1.2 含間隙曲柄滑塊機構(gòu)的建模

實際系統(tǒng)的間隙:在圖1中用大圓和小圓表示連桿軸套與軸銷的間隙。

1.2.1 含間隙機構(gòu)的閉環(huán)矢量方程

曲柄滑塊機構(gòu)的閉環(huán)矢量方程如下:

R2+R3=R1+R4

(6)

將式(6)分別向x,y軸投影得:

r2cosθ2+r3cosθ3=r1+r4cosθ4

(7)

r2sinθ2+r3sinθ3=r1+r4sinθ4

(8)

將式(7,8)求導(dǎo)可得:

(9)

(10)

1.2.2 含間隙機構(gòu)的動力學(xué)方程

根據(jù)圖1的受力分析,曲柄動力學(xué)方程為:

(11)

式(11)中:

(12)

式中:R—軸銷半徑。

滑塊動力學(xué)方程為:

F14,y-Fy-m4g=0

(13)

(14)

1.2.3 接觸力的非線性彈簧阻尼模型

本文結(jié)合Nikravesh[18]模型,建立表述接觸力更精確的非線性彈簧阻尼碰撞模型,即:

(15)

碰撞接觸條件取值如表1所示。

表1 碰撞接觸條件

該模型綜合考慮了接觸力是否存在，以及彈性力和碰撞體的材料阻尼引起的能量損失等因素。

接觸點軸銷相對于軸套的切向速度(Vt)和法向速度(Vn)為:

(16)

(17)

切向觸力為:

Ft=(-fsign(Vt)Fn-CtVt)S

(18)

式中:Ct—切向阻尼。

將Fn,Ft向x,y軸分解得:

Fx=Ftsinθ4+Fncosθ4

(19)

Fy=-Ftcosθ4+Fnsinθ4

(20)

最后,聯(lián)立式(6～20),經(jīng)整理可得到一個16階的矩陣,根據(jù)矩陣建立的仿真模型如圖2所示。

圖2 含間隙曲柄滑塊機構(gòu)動力學(xué)仿真模型

2 實驗驗證

2.1 實驗平臺

為測量曲柄轉(zhuǎn)角,連桿傾角和滑塊位移所搭建的實驗機構(gòu)如圖3所示。

圖3 實驗機構(gòu)

實驗平臺如圖4所示。

圖4 實驗平臺

實驗機構(gòu)的參數(shù)如表2所示。

表2 曲柄滑塊機構(gòu)參數(shù)

試驗平臺的規(guī)格如表3所示。

表3 實驗平臺規(guī)格

(續(xù)表)

2.2 數(shù)據(jù)采集RTW平臺

本次實驗所需數(shù)據(jù)的采集RTW平臺如圖5所示。

圖5 實驗數(shù)據(jù)采集RTW平臺

圖5中,曲柄轉(zhuǎn)角、連桿傾角和滑塊位移的傳感器輸出數(shù)據(jù)由3個Analog Input模塊采集測量,Analog Output是信號輸出模塊;采集之前需將每個數(shù)據(jù)點的采樣頻率設(shè)置為0.005 s。

2.3 仿真模型驗證

RTW平臺獲得的實驗數(shù)據(jù)是電壓,滑塊位移需要對實驗數(shù)據(jù)進行處理才能得到,其式為:

(21)

用MATALAB將處理后的實驗數(shù)據(jù)和仿真模型的數(shù)據(jù)對比,便可得到考慮間隙的曲柄滑塊機構(gòu)模型滑塊位移和實測滑塊位移的比較圖。

考慮到實驗的客觀性,此處分別選取電機轉(zhuǎn)速在1 200 r/min、1 500 r/min和1 800 r/min時,對滑塊的位移和誤差進行測量,其結(jié)果如圖6所示。

圖6 滑塊位移(左)和誤差(右)

從圖6中可以得出:采用不同的運行轉(zhuǎn)速,含間隙模型與實際系統(tǒng)的輸出吻合度較高。

為衡量不同轉(zhuǎn)速下兩組數(shù)據(jù)之間的波動程度,筆者計算兩組數(shù)據(jù)的均方差,即:

(22)

式中:Ri—滑塊位移實測值;ri—滑塊位移仿真值;n—數(shù)據(jù)個數(shù)。

均方差計算的結(jié)果如表4所示。

表4 滑塊位移誤差的均方差

由表3可以看出,滑塊位移誤差隨著電機的轉(zhuǎn)速增加而減小。產(chǎn)生這種情況的原因是:當(dāng)曲柄滑塊機構(gòu)滑塊運動到極限位置時,方向發(fā)生改變;速度越快,軸銷反向通過軸銷和軸套之間間隙的時間越短,而誤差越小。

3 誤差補償

理想的曲柄滑塊模型和實測數(shù)據(jù)的對比如圖7所示。以下僅給出電機轉(zhuǎn)速在1 200 r/min時的對比。

圖7 滑塊位移和誤差對比

由圖7可知:兩者之間有較大誤差,誤差峰值達到了1.943 mm,此處的均方差經(jīng)計算為1.151 mm。原因是曲柄滑塊機構(gòu)除了文中提到的連桿和滑塊鉸連接處含間隙,在機架和曲柄、曲柄和連桿這兩個連接處同樣存在不同程度的間隙;本文中的含間隙模型僅考慮了其中較大的連桿和滑塊之間的間隙。當(dāng)滑塊運動到極限位置時,軸銷反向運動通過間隙需一定時間,導(dǎo)致實際系統(tǒng)運動情況較理想機構(gòu)有所滯后,需對實際系統(tǒng)進行誤差補償。

3.1 含間隙曲柄滑塊機構(gòu)的逆模型

系統(tǒng)∑具有u(t)=(u1,u2,…un)T這樣的n維輸入和y(t)=(y1,y2,…ym)T的m維輸出,初始狀態(tài)x(t0)=x0,輸入、輸出間關(guān)系可用式(23)表示:

(23)

從式(23)可以看出:系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型等價于一個從n維輸入到m維輸出的映射,該映射輸出完全由初始狀態(tài)x(t0)=x0和輸入u(t)確定。

用函數(shù)θ描述這一映射關(guān)系,即:

y(·)=θ(x0,u(·))

(24)

其中,輸入yd(t)=(yd1,yd2,…ydm)T是可微函數(shù)向量,輸出向量記為:u(t)=(u1,u2,…un)T。

(25)

則稱模型∏為系統(tǒng)∑的單位逆模型,∑為原系統(tǒng)模型。結(jié)構(gòu)如圖8所示。

圖8 單位逆模型與原模型復(fù)合結(jié)構(gòu)

圖8中,將∑的期望輸出yd(t)作為∏的輸入,而逆模型∏的輸出恰是∑的輸入控制量u(t)。根據(jù)這一思想建立含間隙曲柄滑塊機構(gòu)逆模型時,閉環(huán)矢量方程式(6)不變,將式(7,8)兩邊同時平方可得:

(26)

(27)

將以上兩式相加化簡得:

(28)

因為在建立逆模型時,換r1為輸入,ω2為輸出,所以式(28)可改寫為:

(29)

將其作反余弦函數(shù)得:

(30)

構(gòu)建后的逆模型如圖9所示。

圖9 含間隙曲柄滑塊機構(gòu)逆模型

圖9中,逆模型由r1作為輸入,ω2作為輸出,將式(6～20)組裝成矩陣,嵌入MATLAB中的function模塊,求解出θ3和r4,然后輸入到式(30),再求解出ω2。

3.2 逆?？刂?/h3>

本文根據(jù)圖8構(gòu)造一個含間隙曲柄滑塊機構(gòu)的逆模型,作為補償器的逆?？刂七M行誤差補償,如圖10所示。

圖10 逆?？刂?/p>

補償效果如圖11所示。

分析比較圖11(a,b)可以得出:在系統(tǒng)中加入逆?？刂坪笕匀挥姓`差,計算得誤差均方差為0.852 3 mm,使系統(tǒng)穩(wěn)定性提升25.9%;為得到更明顯的效果,筆者在此基礎(chǔ)上加入了PID控制。

圖11 逆模補償后的輸入輸出

3.3 PID加逆模控制

為獲得更好的補償結(jié)果,筆者將建立的逆模型和PID控制相結(jié)合進行誤差補償,如圖12所示。

圖12 PID加逆?？刂?/p>

仿真平臺如圖13所示。

圖13 PID加逆模控制仿真平臺

在該補償方法中,PID和逆?？刂破鞯碾p重作用保證了系統(tǒng)輸出信號對輸入信號的跟蹤精度。

PID加逆模補償后滑塊位移誤差的均方差如表5所示。

表5 PID加逆模補償后滑塊位移誤差的均方差

補償效果圖如圖14所示。

圖14 補償效果圖{滑塊位移(左)和誤差(右)}

從圖14和表5可以看出:PID的引入使得誤差和均方差均變小,信號跟蹤精度又一次得到了提高。

4 結(jié)束語

筆者針對含間隙的強非線性系統(tǒng)難以建立較準確數(shù)學(xué)模型的問題,運用Nikravesh非線性彈簧阻尼碰撞模型,對含間隙曲柄滑塊機構(gòu)進行了動力學(xué)建模,并對其建立了逆模型,就其帶來的誤差分別應(yīng)用逆模控制和PID加逆?？刂七M行了補償。理論研究和實驗結(jié)果表明:

(1)采用非線性彈簧模型所建立的含間隙曲柄滑塊機構(gòu)模型仿真結(jié)果和實驗測量結(jié)果之間的誤差處于合理范圍之內(nèi);

(2)該逆模型誤差補償策略有較好的補償效果,具有較強的工程應(yīng)用價值,可以作為誤差補償?shù)挠行緩?為復(fù)雜的非線性系統(tǒng)誤差補償提供新的方法和途徑。

在下一步的研究中,筆者將考慮到含間隙機構(gòu)建模的過程中可能存在的各種間隙進行建模,使模型更符合實際情況,且大幅提高模型運算速度。