孫 旭，趙才友，王 平

(1.高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，四川 成都 610031；2.西南交通大學 土木工程學院，四川 成都 610031)

黏彈性材料質(zhì)量輕、經(jīng)濟、可靠性高，能夠有效抑制結(jié)構(gòu)振動和降低噪聲水平，在薄板、殼體等構(gòu)件中已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用[1]。在軌道結(jié)構(gòu)的減隔振設(shè)計中也多采用增加黏彈性元件，如減振型扣件、阻尼鋼軌、軌枕墊層、道砟墊層等[2]。普通CRTSⅢ型板式無砟軌道主要由鋼軌、扣件、軌道板、自密實混凝土和底座板構(gòu)成。而減振型CRTSⅢ型板式無砟軌道則在底座板和自密實混凝土之間增加了橡膠減振墊，以降低軌道結(jié)構(gòu)共振頻率，從而起到降低環(huán)境振動的效果。已有研究表明[3-5]，橡膠減振墊有顯著隔振作用，鋪設(shè)橡膠減振墊后可以明顯減小底座板及其下部結(jié)構(gòu)的振動，但也會增加橡膠減振墊上部的軌道板、鋼軌的振動。

軌道結(jié)構(gòu)計算模型中對橡膠黏彈性材料的動態(tài)特性大多進行常量化處理，而橡膠黏彈性材料的動參數(shù)具有明顯的頻率依賴性[6-7]，為了更準確地預測軌道結(jié)構(gòu)的動力學響應(yīng)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)性能，國內(nèi)外已經(jīng)開展了對扣件膠墊動態(tài)特性及其對軌道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)影響的研究。Wei等[8]采用車輛-軌道垂向耦合系統(tǒng)動力計算模型分析了頻變、幅變扣件膠墊特性下的時域響應(yīng)，研究表明扣件膠墊的頻變特性能明顯增大輪軌間相互作用，增大輪重減載率。采用頻變剛度的扣件膠墊分析鋼軌的垂向自由振動，能夠提高鋼軌垂向敏感共振頻率及其振型的預測精度[9]。Oregui等[10]通過力錘試驗研究了有砟軌道結(jié)構(gòu)的動力特性，指出計算模型采用頻變剛度的扣件膠墊可以更好的符合試驗?zāi)B(tài)頻率和振型。

目前對于減振型CRTSⅢ無砟軌道的研究多集中于橡膠減振墊采用常量參數(shù)來評估其在軌道系統(tǒng)中的減隔振效果，考慮橡膠減振墊頻變特性對軌道結(jié)構(gòu)動力特性的研究鮮見報道。本文首先通過DMA試驗獲得橡膠減振墊試件在200 Hz范圍內(nèi)隨頻率改變的復模量，然后基于實測的復模量計算得到橡膠減振墊動剛度，最后建立減振型CRTSⅢ板式無砟軌道有限元模型，同時將Winkler彈性地基上四邊自由板的近似解與有限元結(jié)果對比，研究橡膠減振墊頻變特性對軌道結(jié)構(gòu)固有頻率和振型影響。

1 橡膠減振墊復剛度試驗研究

采用DMA Q800型動態(tài)熱機械分析儀對橡膠減振墊試件進行變頻率動態(tài)測試，試驗設(shè)定恒溫25.8 ℃，頻率為0.01～200 Hz，步長為4 Hz。試件尺寸為23.9 mm×8.1 mm×2.4 mm，密度為0.98 g/cm3，泊松比為0.44。試件兩端固定夾持進行恒定力下拉伸測試，得到實測的動態(tài)模量和損耗因子隨頻率變化曲線，如圖1所示。復模量E*和損耗因子δ計算公式為

(1)

tanδ=E″/E′

(2)

式中：σ*、ε*分別為復數(shù)形式的應(yīng)力和應(yīng)變；δ為損耗角；儲存模量E′=|E*|cosδ；損耗模量E″=|E*|·sinδ。

圖1 實測橡膠減振墊試件復模量

儲存模量、損耗模量和損耗因子分別反映材料的彈性、黏性和能量損失。由圖1可知，當激振頻率小于41 Hz時，E′、E″ 和δ都較小，且隨頻率變化不大，這時材料表現(xiàn)為高彈性；在41 Hz附近損耗因子δ達到峰值1.12，此時材料的黏性已經(jīng)超過彈性，能量損失較大，E′也達到峰值；此后，儲存模量E′在70 Hz附近隨頻率的增大而急劇增大，表現(xiàn)為剛性，E′很高，E″ 和δ都很小，且隨頻率變化不大。

相關(guān)研究表明[11]，軌道不平順激發(fā)的振動，其頻率多在包含輪軌系統(tǒng)同相共振頻率和鋼軌與軌枕反相共振頻率的0～200 Hz低頻段，故本試驗分析的頻率范圍為0.01～200 Hz。此外，由列車移動荷載引起的地面振動頻率范圍為2～200 Hz[12]。可見，對于分析軌道剛度、軌道結(jié)構(gòu)低頻振動以及列車引起的地面振動，選擇0.01～200 Hz頻段較為合理。

2 橡膠減振墊動剛度計算

黏彈性材料的頻變復模量會產(chǎn)生頻變剛度[13]，頻域內(nèi)黏彈性材料的運動方程可以表示為

[-Mω2+K(ω)(1+jδ(ω))]X(ω)=F(ω)

(3)

式中：ω為角頻率；M為質(zhì)量矩陣；K(ω)為剛度矩陣；δ(ω)為損耗因子矩陣；X(ω)、F(ω)分別為節(jié)點位移列陣和外力列陣的傅里葉變換。

系統(tǒng)動剛度D(ω)為

(4)

系統(tǒng)動剛度與質(zhì)量、頻變剛度、頻變損耗因子有關(guān)，而質(zhì)量和剛度與結(jié)構(gòu)的幾何尺寸、形狀密切相關(guān)，因此動剛度的影響因素較多，為更準確描述黏彈性材料的頻變特性，采用實測的頻變復模量和損耗因子計算橡膠減振墊的動剛度。橡膠減振墊(圖2)為具有特殊的釘柱結(jié)構(gòu)的橡膠層，釘柱呈周期性分布且具有對稱性，柱釘尖端半徑R0=8 mm，柱釘?shù)锥税霃絉1=28 mm，柱釘高H0=19 mm，覆蓋層長方體邊長B=66 mm，高度H1=10 mm。

圖2 橡膠減振墊示意

將周期性分布的橡膠減振墊簡化為單個釘柱，柱釘覆蓋層長方體周邊施加對稱約束。為分析簡化計算模型邊緣效應(yīng)的影響，分別建立包含k×k(k=1、3、5、9、11)個柱釘?shù)南鹉z減振墊實體有限元模型，以每個模型中心位置處的一個柱釘為研究對象，所有模型的柱釘尖端面施加固定約束，對單個柱釘模型的覆蓋層長方體周邊施加對稱約束，其他模型周邊自由無約束，由此對比分析單個柱釘周邊采用對稱約束邊界條件的影響。采用Comsol Multiphysics進行頻域分析，覆蓋層長方體底面施加垂向的單位面壓力諧波荷載，掃頻范圍為0～200 Hz，X(ω)為研究對象受力面上所有節(jié)點垂向位移幅值的平均值。其中包含單個柱釘和3×3個柱釘?shù)南鹉z減振墊有限元模型，如圖3所示，計算得到所有模型的動剛度如圖4所示。

圖3 橡膠減振墊有限元模型

圖4 橡膠減振墊動剛度

將各有限元模型分別簡稱為Ck模型，k值越大，則計算模型越接近真實的軌道結(jié)構(gòu)橡膠減振墊尺寸和受力狀態(tài)。由圖4可知，在0～74 Hz范圍內(nèi)各模型的動剛度值相差不大，在74 Hz之后各模型動剛度基本上隨著k值的增大先逐漸減小至C5模型，而后逐漸接近C1模型。若以C1模型動剛度值為基準，C5模型和C11模型與C1模型在各頻率下動剛度的最大差值分別為7.2%、1.8%，而同等條件下C5模型和C11模型的計算時間分別增至C1模型的10倍和80倍。因此，綜合考慮計算效率和精度，采用C1模型計算整個橡膠減振墊的動剛度是合理的。由圖4和圖1對比可知，橡膠減振墊動剛度與儲存模量的變化趨勢比較接近，損耗因子對動剛度影響較小，橡膠減振墊靜剛度為22.0 MPa/m。

3 CRTSⅢ板式無砟軌道自振特性分析

DMA試驗表明，橡膠減振墊的復模量具有明顯的頻變特性。由此計算得出橡膠減振墊的動剛度也隨外部激勵頻率而改變。因此，采用頻變特性橡膠減振墊時，不同激振頻率下橡膠減振墊剛度會有所不同，由此整個軌道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力特性也會隨之改變。為探究橡膠減振墊頻變特性對軌道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有頻率和振型的影響，計算橡膠減振墊采用常量參數(shù)(0 Hz處取值)和頻變參數(shù)兩種工況，其中常量參數(shù)的損耗因子采用圖1中實測損耗因子的初始值0.15；頻變參數(shù)的動剛度采用C1模型計算的參數(shù)，損耗因子采用圖1中的實測值。

3.1 CRTSⅢ型板式無砟軌道有限元模型

CRTSⅢ型板式無砟軌道采用預制軌道板結(jié)構(gòu)，以“路基縱連、橋上單元”的基本原則為總體設(shè)計思路[14]。路基上板間用預應(yīng)力鋼棒或普通鎖扣連接，支承在素混凝土支承層上；橋梁上和隧道內(nèi)軌道板為單元板，板間無連接，支承在鋼筋混凝土底座?？紤]單元軌道板的下部結(jié)構(gòu)(橋面板和隧道仰拱)剛度較大，將其簡化為剛性面。因此，根據(jù)減振型CRTSⅢ型板式無砟軌道特點進行合理簡化，建立有限元模型，如圖5所示。其中，軌道板和自密實混凝土形成緊密連接的“復合板”結(jié)構(gòu)，均采用實體單元模擬，不考慮鋼軌和扣件系統(tǒng)，并忽略自密實混凝土的限位凸臺。橡膠減振墊采用面彈簧-材料阻尼單元?？紤]一塊單元板長度，單元板四邊自由無約束。模型主要計算參數(shù)見表1。

圖5 CRTSⅢ型板式無砟軌道有限元模型

表1 有限元模型主要計算參數(shù)

3.2 計算模態(tài)分析

3.2.1 固有頻率和振型

Comsol Multiphysics采用隱式重啟動Arnoldi算法求解廣義復特征值問題。有限元模型只采用了垂向的計算參數(shù)，因此只提取軌道結(jié)構(gòu)可出現(xiàn)垂向分量的振動，忽略橫向、縱向平動和水平面轉(zhuǎn)動的整體振動。計算200 Hz內(nèi)的固有頻率和振型，其中橡膠減振墊采用常量工況時軌道結(jié)構(gòu)前6階固有頻率和振型，如圖6所示。

圖6 前6階模態(tài)頻率和振型

前3階為整體振動，分別為垂向平動、縱向轉(zhuǎn)動和橫向轉(zhuǎn)動。對于彈性模態(tài)，設(shè)m、n分別代表陣型縱向、橫向的1/4正弦函數(shù)波，則第4、5、6階振型分別用(m=2、n=0)，(m=1、n=1)，(m=4、n=0)表示。當橡膠減振墊采用頻變參數(shù)時，軌道結(jié)構(gòu)的固有頻率也將隨著橡膠減振墊受到的激振頻率的變化而改變。頻變條件下軌道結(jié)構(gòu)前6階固有頻率隨激振頻率的關(guān)系曲線如圖7所示。

圖7 軌道結(jié)構(gòu)固有頻率隨激勵頻率的影響曲線

為便于觀察對比，將橡膠減振墊動剛度隨激振頻率的變化一起繪于圖7。從整體趨勢看，軌道結(jié)構(gòu)各階固有頻率與橡膠減振墊動剛度變化趨勢相近，但橡膠減振墊頻變對整體振動和彈性模態(tài)固有頻率的影響不同。前三階整體振動固有頻率與橡膠減振墊動剛度呈正相關(guān)，變化趨勢相近。而彈性模態(tài)，即板的彎曲模態(tài)受橡膠減振墊動剛度的影響較小，并且隨著軌道結(jié)構(gòu)模態(tài)階數(shù)的提高其影響越小。各階模態(tài)振型則不受橡膠減振墊頻變的影響，仍與圖6中的規(guī)律一致，這在3.3節(jié)中的彈性地基上四邊自由板的近似解中表現(xiàn)更明顯。

3.2.2 橡膠減振墊頻變時的敏感共振頻率和振型

文獻[9]研究鋼軌-扣件系統(tǒng)時提出的扣件膠墊頻變剛度下敏感共振頻率概念，軌道板-橡膠減振墊系統(tǒng)可以參考。當橡膠減振墊動參數(shù)頻變時，亦即橡膠減振墊動參數(shù)隨著外激勵荷載頻率的變化而改變時，軌道結(jié)構(gòu)固有頻率也將與外部激振頻率相關(guān)。若外部激振頻率為fi時，橡膠減振墊動剛度為ki，損耗因子為δi，在此參數(shù)下可計算出軌道板-橡膠減振墊系統(tǒng)的一組n階固有頻率。當其中的某階固有頻率與外部激振頻率一致時，該階固有頻率為敏感共振頻率，其對應(yīng)的振型為敏感共振振型。據(jù)此采用Comsol Multiphysics參數(shù)化掃描方式，求解與激勵頻率fi臨近的幾階固有頻率，找到與激勵頻率一致的固有頻率和對應(yīng)的振型，計算流程如圖8所示。

圖8 頻變參數(shù)下軌道結(jié)構(gòu)敏感共振頻率計算流程圖

由圖8計算流程可以得到橡膠減振墊頻變工況下軌道板在200 Hz內(nèi)的敏感共振頻率，如圖9所示。通常阻尼對結(jié)構(gòu)固有頻率影響較小，而橡膠減振墊頻變剛度值均大于靜剛度值(圖4)，因此相同模態(tài)階次軌道結(jié)構(gòu)的固有頻率在頻變工況時大于常量工況。頻變工況下并非每階都有軌道結(jié)構(gòu)敏感共振頻率，在本文計算參數(shù)和容差范圍內(nèi)，軌道結(jié)構(gòu)第3階橫向整體轉(zhuǎn)動和第11階(m=1,n=2)彎曲模態(tài)沒有敏感共振頻率和振型。

圖9 軌道結(jié)構(gòu)敏感共振頻率

3.3 彈性地基上四邊自由板的振動

將橡膠減振墊視為Winkler彈性地基，上述有限元模型可以轉(zhuǎn)化為彈性地基上四邊自由板的振動問題。軌道板和自密實混凝土組成的“復合板”厚度h=0.29 m，板寬b=2.5 m，h/b<1/8，可以采用薄板理論[15]。目前，針對四邊自由矩形板的振型函數(shù)和固有頻率精確解研究相對較少，難以找到既滿足平板彎曲控制方程又滿足自由邊界條件的振型函數(shù)表達式。目前的處理方法大多為尋找振型函數(shù)的近似解[16]。本文采用雙向梁函數(shù)組合法[17]求解彈性地基上四邊自由矩形板的自由振動問題。梁函數(shù)組合法實質(zhì)上為里茲法的一種具體應(yīng)用，雖然為近似解，但方法簡單，適用一般性邊界條件，且在較少的項數(shù)下即能達到足夠精度。Winkler彈性地基上板橫向自由振動的微分方程為

(5)

(6)

式中：w為位移；D為板的彎曲剛度；ks為基床系數(shù)；ρ為板的質(zhì)量密度；E為板的彈性模量；ν為泊松比。

相應(yīng)的陣型方程為

(7)

(8)

固有頻率為

(9)

彈性地基板的振型方程和邊界條件不變，因此彈性地基上板的振型完全同無地基板。梁函數(shù)組合法的具體計算過程可參考文獻[17]，據(jù)此方法采用Matlab軟件編制彈性地基上四邊自由矩形板的自由振動程序，采用與上述有限元模型相同的計算參數(shù)，與有限元計算結(jié)果進行對比。圖10為由梁函數(shù)組合法計算得到的第2階縱向整體轉(zhuǎn)動和第4階彈性模態(tài)固有頻率近似解與橡膠減振墊動剛度變化關(guān)系的曲線。圖11為對應(yīng)的歸一化振型。

圖10 軌道結(jié)構(gòu)固有頻率近似解

圖11 梁函數(shù)組合法的軌道結(jié)構(gòu)歸一化陣型

4 結(jié)論

本文基于DMA實測復模量計算了橡膠減振墊的動剛度，建立了減振型CRTSⅢ板式無砟軌道模型，研究了橡膠減振墊頻變特性對軌道結(jié)構(gòu)固有頻率和振型的影響，并采用近似解驗證了有限元模型的正確性，得到如下主要結(jié)論：

(1)橡膠減振墊試件DMA試驗表明，在41 Hz附近損耗因子達到峰值，能量損失較大，隨后儲存模量發(fā)生顯著提高，這直接導致橡膠減振墊動剛度隨儲存模量產(chǎn)生較大變化。

(2)有限元模型和梁函數(shù)組合法近似解對比結(jié)果都表明，橡膠減振墊動剛度對板的整體振動和彈性模態(tài)固有頻率的影響是不同的。整體振動固有頻率與橡膠減振墊動剛度平方根成正比。橡膠減振墊動剛度越小，模態(tài)階數(shù)越高，則板的彎曲模態(tài)受橡膠減振墊動剛度的影響越小。各階模態(tài)振型則不受橡膠減振墊頻變的影響。

(3)將敏感共振頻率和振型概念應(yīng)用于軌道板-橡膠減振墊系統(tǒng)，頻變下軌道結(jié)構(gòu)并非每階都有敏感共振頻率和振型，常量工況下軌道結(jié)構(gòu)第3階橫向整體轉(zhuǎn)動和第11階(m=1,n=2)彎曲模態(tài)在頻變工況則沒有出現(xiàn)敏感共振頻率和振型。

(4)軌道結(jié)構(gòu)含有黏彈性部件時，建議考慮其頻率依賴特性以提高結(jié)構(gòu)動態(tài)特性預測精度。