張卓杰，谷利雄，王東強，陳 煒，蔣 凡

(1.石家莊鐵道大學 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室，河北 石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學 土木工程學院，河北 石家莊 050043；3.華南理工大學 土木與交通學院，廣東 廣州 510641；4.中鐵橋隧技術(shù)有限公司，江蘇 南京 210061)

索是橋梁工程中常用的一種構(gòu)件，一般由高強度抗拉材料按照特定形式絞捻而成，現(xiàn)有研究常將其視為整體性良好的柔性結(jié)構(gòu)。實際工程中也存在大量帶剛性耦合的多索股結(jié)構(gòu)，這些索股結(jié)構(gòu)不具有良好的完整性，比如：平行鋼絞線斜拉索內(nèi)部索股除在靠近錨固端部使用索箍夾緊，其他位置獨立無黏結(jié)；懸索橋的同一吊桿可由兩根或四根鋼絲繩組成，鋼絲繩間采用剛性架連接；為了防止大型輸電線舞動，一組輸電線通常使用間隔棒(隔離子)進行耦合。上述結(jié)構(gòu)的共同點在于組成纜索系統(tǒng)的索股除在特定位置進行剛性耦合外，其他位置處索股是獨立的，這可能導致系統(tǒng)的自振特性與單根索股或完整性良好的系統(tǒng)振動特性均不同。

文獻[1]在考察阻尼器類型對懸索橋吊桿風振的減振效果時，考慮了雙吊索之間的影響。甘泉[2]借助有限元方法求解含減振架多吊索系統(tǒng)的自振頻率，并以此識別吊索力。文獻[3-4]研究了雙索股系統(tǒng)在彈性連接和阻尼器作用下的振動模態(tài)?？椎骡萚5]分析了安裝間隔棒的雙分裂導線微風條件下的振動強度。

現(xiàn)有相關(guān)研究一般僅針對含特定數(shù)量索股系統(tǒng)展開，研究側(cè)重點各不相同。工程中常通過測試索的自振頻率獲取索力，學者建立了多種索力-頻率換算關(guān)系式[6-8]。這些研究一般假定纜索整體性良好，此類公式對于諸如鋼絞線斜拉索這種含獨立索股的纜索適用性未知。文獻[9-11]基于實際橋梁，采用多種測量方法測試索力，考察了振動頻率法對于鋼絞線斜拉的適用性，但研究并沒有從理論層面上進行闡述。

為了考察剛性耦合對多索股系統(tǒng)自振特性的影響，首先通過理論推導得到了帶剛性耦合的索股系統(tǒng)自振方程，然后通過振動試驗對計算結(jié)果進行驗證，借助算例分析了索股張力不均勻性、耦合位置等參數(shù)對系統(tǒng)自振特性的影響，最后將相關(guān)結(jié)論應(yīng)用到索股系統(tǒng)振動試驗與鋼絞線斜拉索索力測試中，實測數(shù)據(jù)再一次驗證了結(jié)論的正確性。

1 振動方程

如圖1所示，由n根獨立錨固的索股組成的系統(tǒng)，各索股長均為L。索內(nèi)某位置用輕質(zhì)剛棒進行連接，剛棒距左、右錨固點的距離分別為l1和l2。剛棒將整個索股系統(tǒng)分為兩個子系統(tǒng)〈1〉和〈2〉，分別以各子系統(tǒng)左端為原點建立坐標系x1o1y1，x2o2y2。對于單根索股，可將其視為柔性弦。在各子系統(tǒng)內(nèi)，各索股振動方程為

(1)

圖1 索股系統(tǒng)模型

(2)

式(2)可通過分離變量法求解，其解形式為

(3)

(4)

(5)

2 方程求解

式(3)為含2n個待定系數(shù)的聯(lián)立方程組，其解可通過邊界條件、耦合關(guān)系確定。

2.1 邊界條件

根據(jù)邊界條件應(yīng)有

(6)

將式(3)、式(4)代入，若式(6)恒成立，則

(7)

(8)

2.2 位移連續(xù)性要求

剛結(jié)點位置處各索股的位移時刻相等，即

(9)

式中：r，s為索股號，取值范圍均為1至n(若無特別說明，下同)。

式(3)、式(4)、式(7)代入式(9)可得

(10)

要想式(10)恒成立，應(yīng)滿足[12]

(11)

(12)

這表明經(jīng)剛棒耦合，各索股振動同頻，且剛結(jié)點處振動同幅。

2.3 豎向力平衡要求

某時刻系統(tǒng)振動位形示意見圖2，在剛結(jié)點處各索股張力的豎向分力應(yīng)滿足平衡要求。

圖2 索股系統(tǒng)振動位形示意

假定索股振幅微小，則有

(13)

忽略由此引起的軸力變化，根據(jù)剛節(jié)點處豎向力的平衡條件，可得

(14)

代入式(3)、式(4)，因振動同頻，即式(10)消去公因式后可得節(jié)點處力的平衡條件為

(15)

3 拉索自振頻率方程

式(12)的3組方程中相互獨立的為2組，整理式(8)，式(12)和式(15)，可得

(16)

根據(jù)式(5)、式(11)應(yīng)有

(17)

式中：p，q為子系統(tǒng)號。

(18)

將以上參數(shù)代入式(16)并寫成矩陣形式

KX=0

(19)

式中：K為3n×3n的系數(shù)矩陣；X為3n×1的待定系數(shù)列向量。若式(19)有非零解，系數(shù)矩陣行列式為零，即

det(K)=0

(20)

根據(jù)式(20)可得帶剛性耦合的雙索股系統(tǒng)自振頻率方程

(21)

對于3索股系統(tǒng)，仿照前述步驟可得其自由振動頻率方程

以此類推，對于n索股組成的系統(tǒng)，在剛棒耦合作用下系統(tǒng)的自振頻率方程為

(23)

頻率方程為超越函數(shù)，可通過常規(guī)的數(shù)值方法(如二分法)求解。

4 參數(shù)分析

為研究剛性耦合對多索股系統(tǒng)振動特性的影響，對含多索股系統(tǒng)進行算例分析。選定系統(tǒng)單根索股的初始張力為30 kN，線密度為1.24 kg/m，索股長L為50 m，剛棒距離錨固端5 m，即L/10處。若索股間完全粘結(jié)，拉索可以看作完整性良好的柔性弦，按照弦理論可算得索股的基頻fs1為1.555 Hz，且各階頻率與基頻成整倍數(shù)關(guān)系。而對于僅在剛棒耦合作用下的索股系統(tǒng)，系統(tǒng)呈現(xiàn)的振動頻率不再和基頻保持良好的倍頻關(guān)系。2索股系統(tǒng)在給定條件下的前5階振動頻率見表1。由表1可知，2索股系統(tǒng)在整數(shù)倍基頻頻率之間出現(xiàn)了非整數(shù)倍基頻頻率，比如1.11倍、2.22倍等。為描述方便，本文稱這些非整數(shù)倍基頻的頻率為“分數(shù)倍頻”，等于整數(shù)倍基頻的頻率稱為“整數(shù)倍頻”。

表1 2索股振動頻率 Hz

為進一步研究剛性耦合作用下拉索的自振特性，分別對拉索的索力均勻性，剛性耦合位置進行參數(shù)分析。

4.1 索力不均勻性對自振頻率的影響

由于索股獨立錨固，各索股張力可能不同。選擇2索股系統(tǒng)和5索股系統(tǒng)進行參數(shù)分析，其基本參數(shù)如前所述，但改變索力的不均勻度分別為5%、10%、20%，測試工況及系統(tǒng)索力分析見表2。索力不均勻度為5%時，各索股系統(tǒng)的前十階振動頻率fn及fn與fs1的比值見表3。

表2 索股力偏差分布 kN

表3 不均勻度5%時系統(tǒng)前十階頻率 Hz

由表3可見，此時各系統(tǒng)fn與fs1的比值都不再保持嚴格的比例關(guān)系，但從近似的關(guān)系看，系統(tǒng)振動頻率同樣呈周期性變化。2索股系統(tǒng)以2個頻率為一個循環(huán)周期，5索股系統(tǒng)以5個頻率為一個循環(huán)周期。在第k個循環(huán)內(nèi)的首個頻率與均勻性良好的拉索的第k階振動頻率fsk非常接近，而剩余階次頻率與fsk或fs(k+1)的差別較大。仿照前述做法，將這些與fsk接近的頻率稱為第k次整數(shù)倍頻，而第k次與k+1次整數(shù)倍頻之間的頻率明顯偏離整數(shù)倍頻，稱之為第k循環(huán)的分數(shù)倍頻。

對于表2所示其他不均勻度的索股系統(tǒng)，對前20階頻率進行分析，分別計算各拉索第k次整數(shù)倍頻及其分數(shù)倍頻與對應(yīng)階次fsk的偏差，其百分比分布見圖3。

圖3 前20階自振頻率與對應(yīng)階次fsk的偏差分布

由圖3可見，對于不均勻度為10%和20%的拉索同樣存在整數(shù)倍頻和分數(shù)倍頻。對于2索股系統(tǒng)，整數(shù)倍頻和分數(shù)倍頻交替出現(xiàn)；對于5索股系統(tǒng)，1個整數(shù)倍頻和4個分數(shù)倍頻交替出現(xiàn)。由于第k次整數(shù)倍頻與整體性良好的拉索的第k階振動頻率fsk偏差較小，分別計算各拉索第k次整數(shù)倍頻與對應(yīng)階次fsk的偏差，見圖4。

圖4 不同均勻度下整數(shù)倍頻與對應(yīng)階次fsk偏差

由圖4可知，整數(shù)倍頻與fsk的偏差呈現(xiàn)波動變化，偏差波動幅度與索力不均勻度呈正相關(guān)。，即使對于具有相同不均勻度的拉索，增大拉索內(nèi)各股索力的不均勻程度也會增大整數(shù)倍頻與對應(yīng)階次fsk的偏差。

剛棒的耦合作用可減小拉索整數(shù)倍頻與對應(yīng)階次fsk的偏差。對于雙索股拉索，當索力不均勻度在5%以內(nèi)時，各階主振動頻率與對應(yīng)階次fsk的偏差均小于2%；當最大不均勻度達到20%時，各階主振動頻率與對應(yīng)階次fsk的偏差均小于9%，且前50階整數(shù)倍頻中80%的階次與對應(yīng)階次fsk的偏差小于3%。

當索力不均勻度一定時，增加索股根數(shù)有助于減小偏差。比如當不均勻度為20%時，雙索股拉索的前三次整數(shù)倍頻與對應(yīng)階次fsk的偏差百分比分別為-3.61%、-3.31%、-2.75%，當索股增加至5根時，對于5-(5)拉索，前三次整數(shù)倍頻與對應(yīng)階次fsk的偏差百分比分別減小至-2.08%、-1.90%、-1.57%。

因為整數(shù)倍頻接近或等于基頻的整數(shù)倍，帶剛棒耦合的拉索與整體性良好的拉索具有比擬性。

4.2 耦合位置對拉索自振特性的影響

改變各拉索剛棒的位置，令其分別在L/10～L/2之間變化。索力不均勻度分別為10%和20%的拉索中剛棒位于L/10、3L/10、L/2處，各拉索前20次整數(shù)倍頻與對應(yīng)階次fsk的偏差分布情況，見圖5。

圖5 耦合位置對整數(shù)倍頻與fsk偏差的影響

由圖5可知，各拉索的第k次整數(shù)倍頻與對應(yīng)階次fsk的偏差呈波動變化，但總體來說，隨著錨固位置增高，拉索耦合效應(yīng)增強，整數(shù)倍頻與對應(yīng)階次fsk的偏差顯著減小。當剛棒位于拉索中央時，對于不均勻度為20%的拉索，其整數(shù)倍頻與對應(yīng)階次fsk的偏差均小于2%，當不均勻度減小至10%，偏差減小至1%以內(nèi)。

5 索股系統(tǒng)振動試驗及應(yīng)用

5.1 索股結(jié)構(gòu)振動試驗

為進一步驗證上述結(jié)論的正確性，在實驗室進行2索股系統(tǒng)振動試驗。鋼絞線索股兩端錨固于反力架上，自由長度均為3.37 m，鋼絞線質(zhì)量為1.106 kg/m，索股間采用輕質(zhì)剛性棒耦合。錨固端安裝穿心式傳感器用于測試鋼絞線張拉力；在每根鋼絞線索股上安裝加速度傳感器，同步測量耦合索股系統(tǒng)振動過程中的系統(tǒng)自振頻率。

當兩根索股均施加30 kN的張力時，分別測量兩索股在無耦合條件和在L/10處剛性耦合條件下鋼絞線的振動頻率。為進一步驗證理論推導的正確性，采用Ansys軟件進行仿真分析。考慮到索長較短，抗彎剛度對索股振動可能產(chǎn)生影響，分別采用Beam188單元和Link10單元進行模擬，鋼絞線抗彎剛度通過文獻[13]所述方法識別確定。相關(guān)結(jié)果見表4。

表4 均勻索力條件下拉索自振頻率實測值與計算值

由表4可知，當索端力相同時，兩索股自振頻率實測值差別非常小。由于本文未考慮鋼絞線的抗彎剛度，因此與用Link10單元計算的結(jié)果一致，可驗證推導的正確性。自振頻率計算值略小于實測值，對比Beam188模型的計算值可知，鋼絞線抗彎剛度導致自振頻率略微增大。隨著索股長度增加，鋼絞線的彎曲剛度對于自振頻率的影響將降低。當索股系統(tǒng)在L/10位置處耦合后，實測值表明兩索股振動一致，且在整數(shù)倍頻之間出現(xiàn)分數(shù)倍頻，實測值與計算值具有較好的相符度。

為考察索力不均勻度對索股系統(tǒng)自振頻率的影響，進一步改變索力兩索股張力值，使1#索張力偏大2.5%，即張力為30.75 kN；2#索張力偏小2.5%，即張力為29.25 kN，相關(guān)測試結(jié)果與計算結(jié)果見表5。

由表5可知，當兩索股索端力發(fā)生改變時，索股的自振頻率將隨之改變；當索股耦合后，實測值和計算值均表明，主振動頻率接近無偏差系統(tǒng)的索股振動頻率。上述結(jié)果可以驗證理論推導的正確性。

表5 索力不均勻度5%時索股系統(tǒng)自振頻率實測值與計算值

5.2 振動頻率法測試鋼絞線拉索索力

振動頻率法是工程中測量索力經(jīng)常采用的一種方法。由于鋼絞線斜拉索索股間獨立無粘結(jié)，拉索不具備良好的完整性，這可能影響振動頻率法的測量精度。

根據(jù)前述研究可知，若在拉索上安裝剛性耦合裝置，可保證鋼絞線索股振動同頻，這是使用振動頻率法測試索力所需滿足的首要前提。此外，在剛棒耦合下，拉索振動存在整數(shù)倍頻和分數(shù)倍頻，剛性耦合可大大降低整數(shù)倍頻與fsk的偏差。對于5索股拉索，當不均勻度在10%以內(nèi)，可保證整數(shù)倍頻與fsk的偏差小于5%。因為帶剛性耦合的索股系統(tǒng)與整體性良好的拉索具有比擬性，使用振動頻率法測試鋼絞線拉索索力時，事先用剛性構(gòu)件將各索股箍緊，可大大提高振動頻率法的測量精度。

為此，以一座在建的三跨鋼桁架拱橋為工程背景進行實橋測試。該橋使用斜拉扣掛法架設(shè)，扣索采用φ17.8低松弛鋼絞線，抗拉強度為1 860 MPa。單個扣塔設(shè)置兩層扣背索，每層沿橫橋向設(shè)置4根鋼絞線拉索(編號1#～4#)，上層扣背索單束采用20根鋼絞線，下層單束采用24根鋼絞線。鋼絞線索股采用等值張拉法[14]進行張拉，張拉過程中在基準索和被張拉索端安裝測力傳感器。

扣索張拉完成時，鋼絞線間獨立無黏結(jié)，為增強拉索的整體性，鋼絞線采用臨時索箍綁扎(見圖6)。同一工況下，其中的2根扣索索力目標值T0與綁扎前、綁扎后的索力實測值T，見表6。

圖6 綁扎后的鋼絞線拉索

由表6可知，綁扎可降低索力實測值與目標值之間的偏差。因為綁扎前索股存在獨立振動的可能性，索力均勻性對測試結(jié)果產(chǎn)生一定影響；傳感器所采集的頻率實際上反映的是與之接觸的索股的振動頻率。綁扎后各索股振動發(fā)生耦合，減弱了個別索力偏差較大的索股對測試結(jié)果的影響。此外，從采集的頻率來看，綁扎后的拉索呈現(xiàn)的振動頻率均為整數(shù)倍頻。

表6 索力理論值和綁扎前后實測值

橋梁工程中的鋼絞線斜拉索一般在索兩端安裝索箍，與單個索箍相比，雙索箍進一步增強了拉索的整體性；此外，鋼絞線外套管的自重與幾何約束作用可使得部分索箍發(fā)生耦合[15]，這將進一步降低索股張力不均勻問題對索力測試結(jié)果的影響。

6 結(jié)論

針對剛棒對多索股系統(tǒng)自振特性的影響進行理論和實測研究，可得到如下結(jié)論。

(1)剛性耦合使索股振動發(fā)生耦合，振動頻率呈現(xiàn)周期性的變化規(guī)律，系統(tǒng)自振頻率可分為整數(shù)倍頻和分數(shù)倍頻兩類，整數(shù)倍頻與整體性良好的拉索的自振頻率具有比擬性。

(2)剛性耦合增強了索股系統(tǒng)的整體性，可顯著降低整數(shù)倍頻與整體性良好的拉索對應(yīng)階次fsk之間的偏差；減小各索股之間的索力偏差，該偏差進一步減小。剛性連接越靠近拉索中央，對增強索股系統(tǒng)的整體性越明顯；在其他參數(shù)相同時，增加索股的根數(shù)有助于減小整數(shù)倍頻與fsk的偏差。

(3)當采用振動頻率法測試鋼絞線拉索索力時，應(yīng)采用剛性結(jié)構(gòu)對索股進行緊箍。對于橋梁中的大部分鋼絞線斜拉索，當索力不均勻性小于10%時，對索股進行剛性耦合后，使用整數(shù)倍頻換算的索力精度可滿足工程需要。