金仁成 魏巍 孫慶飛 洪金輝 姜佳旭

摘要：針對傳統(tǒng)磁力計/MIMU組合導(dǎo)航系統(tǒng)存在的抗電磁干擾能力弱、適應(yīng)性差等問題，提出了一種基于大氣偏振分布模式的無人機導(dǎo)航航姿無約束優(yōu)化求解方法。融合陀螺儀、加速度計、偏振光傳感器測量數(shù)據(jù)，構(gòu)建基于改進擬牛頓法的姿態(tài)最優(yōu)化解算模型，其中，該模型以最優(yōu)化理論為基礎(chǔ)，引入實時四元數(shù)微分構(gòu)建動態(tài)步長因子，預(yù)測姿態(tài)更新趨勢;設(shè)計狀態(tài)判斷閾值，自適應(yīng)判斷飛行狀態(tài)，提高解算精度。實驗結(jié)果表明，這種方法得到的姿態(tài)角靜態(tài)性能穩(wěn)定，同時，在動態(tài)環(huán)境中，該方法得到的姿態(tài)角誤差值最小，較梯度下降法精度提高50%，較共軛梯度法精度提高37%～50%，表現(xiàn)出較好的動態(tài)收斂性與誤差穩(wěn)定性，動態(tài)精度較高，能夠較準(zhǔn)確跟蹤姿態(tài)變化，可以有效提高偏振光輔助的捷聯(lián)慣導(dǎo)組合導(dǎo)航系統(tǒng)航姿估計的準(zhǔn)確性與可靠性。

關(guān)鍵詞：偏振光;MIMU;航姿解算;擬牛頓

中圖分類號：V249???????????? 文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1009-9492（2021）12-0023-06

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

MIMU/ Polarized Light Quasi-newtonian Optimization Method for Attitude Solving

Jin Rencheng ，Wei Wei ，Sun Qingfei ，Hong Jinhui ，Jiang Jiaxu

（School of Mechanical Engineering， Dalian University of Technology， Dalian， Liaoning 116024， China）

Abstract： Aiming at the problems of the traditional magnetometer /MIMU integrated navigation system， such as weak anti-electromagnetic interference? ability? and? poor? adaptability，? an? unconstrained? optimization? method? for? UAV? navigation? attitude? was? proposed? based? on atmospheric polarization distribution mode. The attitude optimization model based on the improved quasi-Newton method was constructed by integrating the measurement data of gyroscope， accelerometer and polarized light sensor. Based on the optimization theory， the dynamic step factor was constructed by introducing real-time quaternion differential to predict the attitude updating trend. The threshold value of state judgment was designed， and the flight state was judged adaptively to improve the precision of solution. Attitude angle of the experimental results show that the approach of static performance is stable， at the same time， in a dynamic environment， the method to get the minimum value attitude angle error， the gradient descent method precision is increased by 50%， the conjugate gradient method precision is increased by 37%～50%， show a good dynamic stability， convergence and error dynamic accuracy is higher， can accurately track the attitude change， it can effectively improve the accuracy and reliability of attitude estimation of strapdown inertial navigation system assisted by polarized light.???? Key words： polarized light; MIMU; navigation position calculating; quasi-newton

0 引言

隨著微機電系統(tǒng)（MEMS）工藝和計算機技術(shù)的發(fā)展，小型無人機多采用低成本的 MEMS傳感器（主要有陀螺儀、加速度計、磁力計）作為姿態(tài)估計設(shè)備。其中，陀螺儀是姿態(tài)角度估計的關(guān)鍵傳感器，但由于其固有誤差，長時間累計積分運算，會存在嚴(yán)重漂移現(xiàn)象，通常利用加速度計補償陀螺儀的俯仰角和橫滾角偏差，利用磁強計補償航向角偏差。但是磁強計易受地磁場與電磁場的干擾，不能用于某些特殊環(huán)境。因此，進一步研究高精度、高可靠性的組合導(dǎo)航系統(tǒng)成為了無人機導(dǎo)航控制領(lǐng)域的研究熱點。

通過觀察一些鳥類和昆蟲的自主導(dǎo)航行為，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)某些生物能夠通過感知自然光經(jīng)過大氣散射后形成的偏振光用于導(dǎo)航。近年來，國內(nèi)外研究人員對偏振光在導(dǎo)航中的應(yīng)用開展了各種研究[1-5]，2011年，大連理工大學(xué)的褚金奎課題組將偏振光傳感器運用于移動機器人上，實現(xiàn)移動導(dǎo)航。2012年，德國學(xué)者 Wolfgang以及澳大利亞學(xué)者 Javaan Chahl ，分別嘗試將偏振光傳感器搭載于四軸無人機與固定翼無人機上進行實驗。2014年，中國科技大學(xué)通過與中科院先進制造所合作，將成像式偏振光導(dǎo)航傳感器應(yīng)用到了汽車導(dǎo)航系統(tǒng)。2019年，西北工業(yè)大學(xué)的周軍等提出一種基于偏振光傳感器和磁力計的姿態(tài)確定方法，驗證了其估計衛(wèi)星姿態(tài)信息的可行性。

現(xiàn)階段關(guān)于偏振光導(dǎo)航的研究主要集中在地面二維平面以及偏振光原理研究上，在無人機導(dǎo)航等三維空間的應(yīng)用仍處于起步階段。目前偏振光在組合導(dǎo)航系統(tǒng)中多以輔助慣性導(dǎo)航系統(tǒng)定姿為主，主要是通過卡爾曼濾波算法或互補濾波算法實現(xiàn)姿態(tài)估計。但卡爾曼濾波算法受誤差估計模型影響，易發(fā)生濾波精度下降甚至發(fā)散的情況，計算精度受噪聲影響明顯?；パa濾波算法需要對比例參數(shù)與積分參數(shù)進行估計，參數(shù)估計隨機性會影響補償?shù)男Ч鸞6-9]。

針對現(xiàn)階段偏振光輔助導(dǎo)航系統(tǒng)的優(yōu)勢與不足，本文基于大氣偏振光分布模式提出了一種航姿無約束優(yōu)化求解方法，設(shè)計動態(tài)步長因子與狀態(tài)閾值，提高了姿態(tài)求解的精度與效率，通過實驗驗證了該方法可以提高基于偏振光輔助的航姿參考系統(tǒng)的姿態(tài)估計準(zhǔn)確性與可靠性，為無人機仿生導(dǎo)航提供了一種可靠的姿態(tài)求解方案。

1 偏振光傳感器輔助定姿原理

1.1 姿態(tài)坐標(biāo)系描述

飛行器的空間姿態(tài)本質(zhì)上是機體坐標(biāo)系（b 系）與導(dǎo)航坐標(biāo)系（ n 系）的姿態(tài)關(guān)系，本文導(dǎo)航坐標(biāo)系原點選在飛行器質(zhì)心，Xn 軸指向地理北向（north）， Yn 軸指向地理東向（east）， Zn 軸指向地心方向。機體坐標(biāo)系原點選在飛行器質(zhì)心，Xb 軸沿機體縱軸指前， Yb 軸沿機體橫軸指右，Zb 軸指向機體下方，坐標(biāo)關(guān)系如圖1所示。

1.2 四元數(shù)姿態(tài)更新

目前對于無人機姿態(tài)更新主要有歐拉角法、四元數(shù)法和方向余弦法等。歐拉角法形式直觀、易于理解，但存在90°奇異性問題。方向余弦法采用方向余弦矩陣存儲姿態(tài)信息，每次更新需計算9個參數(shù)，計算量大。四元數(shù)法求解不存在奇異性問題，只需計算4個參數(shù)，方法簡單，計算時間短[10-12]。因此本文采用四元數(shù)法描述姿態(tài)更新過程。

四元數(shù)的物理意義表示了轉(zhuǎn)軸方向與轉(zhuǎn)角大小，其三角式表達為：

四元數(shù)微分方程為：

其矩陣表達為：

其中，四元數(shù)為 Q =q0 q1 q2 q3T? ，載體角速度為ωb =ω bx?? ω by?? ω bzT 。

無人機飛行姿態(tài)的變化可以理解為載體坐標(biāo)系（b系）相對于導(dǎo)航坐標(biāo)系（ n 系）的旋轉(zhuǎn)，本文將導(dǎo)航坐標(biāo)系到載體坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣定義為 Cnb ，同時用四元數(shù)進行表示，即：

通過將三姿態(tài)角表示的姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣與用四元數(shù)表示的姿態(tài)矩陣對應(yīng)可用四元數(shù)對3個姿態(tài)角進行表示，即：

式中：γ為橫滾角;θ為俯仰角;ψ為航向角。

1.3 偏振光輔助導(dǎo)航定姿模型

太陽光遇到大氣微粒分子發(fā)生散射會產(chǎn)生光的偏振，并形成穩(wěn)定的大氣偏振分布模式，本文利用偏振光傳感器檢測天空中偏振光分布模式[13]。由 Rayleigh 散射原理可知，最大偏振光矢量（E ）總是垂直與太陽矢量（S）與觀測矢量（Z ）所成平面，由此可建立偏振光傳感器理論測量模型，如圖2所示。

為方便說明，引入偏振光傳感器測量坐標(biāo)系 m 系和太陽坐標(biāo)系p 系，其中，原點為偏振光傳感器質(zhì)心，Xm 軸為偏振傳感器參考軸方向，Zm 軸為偏振光傳感器觀測偏振矢量方向， Ym 軸與前二軸構(gòu)成右手笛卡爾坐標(biāo)系，太陽坐標(biāo)系三軸則分別指向地理的西向、南向、天向。

太陽在太陽坐標(biāo)系中的位置可以由太陽高度角和太陽方位角表示，二者滿足：

式中：φ為地理緯度;δ為太陽的赤緯;τ為太陽的時角。

三者可通過查詢天文歷獲得，太陽矢量在p 系中可表示為：

根據(jù)模型可得到 m 系下理論最大偏振矢量 E′的表達式：

式中： [W m ×]為觀測矢量的反對稱矩陣; Cb m 為載體坐標(biāo)系到偏振光測量坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣; Cnb Q 為四元數(shù)表示的導(dǎo)航坐標(biāo)系到載體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣; Cp n 為太陽坐標(biāo)系到偏振光測量坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

本文中，偏振光傳感器輸出值為最大偏振矢量與偏振光傳感器參考軸的夾角α，忽略偏振光傳感器輸出誤差，偏振光傳感器實測偏振矢量可以表示為：

2 基于偏振模式的組合導(dǎo)航航姿最優(yōu)化方法求解

共軛梯度法是求解大型非線性無約束優(yōu)化問題最常用的算法之一，通常以迭代點處的負梯度方向與共軛方向的線性組合來確定較優(yōu)搜索方向，通過迭代逐漸逼近最優(yōu)解[14-15]。本文利用加速度計傳感器，偏振光傳感器實測數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)的誤差構(gòu)建目標(biāo)誤差函數(shù)模型，并通過求解誤差函數(shù)最小值，獲得偏振光輔助航姿解算系統(tǒng)的最優(yōu)姿態(tài)四元數(shù)，進而得到最優(yōu)航姿姿態(tài)估計值。

2.1 重力矢量誤差函數(shù)模型

參考1.2節(jié)中的偏振光理論測量坐標(biāo)系模型，單位重力矢量在導(dǎo)航坐標(biāo)系中為：

將重力矢量轉(zhuǎn)換到載體坐標(biāo)系下：

式中： Ag（b）（Q ）為載體坐標(biāo)系中四元數(shù)表示的理論重力矢量;? Cnb （Q ）為四元數(shù)表示的導(dǎo)航坐標(biāo)系到載體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

在靜止與飛行中，MEMS加速度計傳感器輸出量可以認為是重力在載體坐標(biāo)系中的投影，加速度計輸出量為：

式中： abx 、 ay（b）、? abz 為加速計三軸輸出量。

載體坐標(biāo)系中，加速度計的輸出量與理論重力矢量的差值反應(yīng)的而是姿態(tài)矩陣估計的誤差值，因此建立重力矢量誤差模型：

對四元數(shù) Q =q0?? q 1?? q2?? q3T 求微分得到重力矢量誤差模型的 Jacobian矩陣 Jεb Q ：

2.2 偏振矢量誤差函數(shù)模型

參考1.2節(jié)中的偏振光理論測量坐標(biāo)系模型，查詢天文年歷和經(jīng)緯度信息，根據(jù)偏振矢量與太陽矢量及觀測矢量組成的平面成垂直關(guān)系，由式（15）得到四元數(shù)表示的偏振光測量坐標(biāo)系下的理論偏振矢量 Esm Q ：

式中： vx（n）、? vy（n）、? vz（n）為太陽矢量Vs p 在導(dǎo)航坐標(biāo)系下投影 Vs n 的三軸分量。

偏振光傳感器的輸出量為偏振光測量坐標(biāo)系中偏振矢量與傳感器參考軸的夾角，測量偏振矢量可表示為：

由理論偏振矢量與測量偏振矢量可得到偏振矢量誤差模型：

對四元數(shù) Q =q0?? q 1?? q2?? q3T 求微分得到重力矢量誤差模型的 Jacobian矩陣 Jεm Q ：

2.3 動態(tài)步長因子設(shè)計

根據(jù)2.1節(jié)中建立的重力矢量誤差模型 AbεQ 及其對應(yīng)的 Jacobian矩陣 Jεb Q ，2.2節(jié)中建立的偏振矢量誤差模型 Eεm Q 及其對應(yīng)的 Jacobian 矩陣 Jεb Q ，組建偏振光輔助航姿解算系統(tǒng)的綜合矢量誤差模型 F Q 及其對應(yīng)的 Jacobian矩陣 J Q ：

由無約束優(yōu)化方法中的梯度優(yōu)化理論，得到綜合矢量誤差函數(shù)的梯度：

為減小計算量，定義步長為：

式中：k 為姿態(tài)四元數(shù)第 k 次迭代;?F Q k 為第 k 次迭代的梯度; Dk Q 為第 k 次迭代的搜索方向，以負梯度方向-?F Q k 與黑塞矩陣的近似矩陣 Bk Q 通過線性組合得到。

規(guī)定搜索方向：

其中， Bk Q 通過 BFGS修正公式獲得：

根據(jù)載體的運動狀態(tài)變化引入動態(tài)步長因子，當(dāng)姿態(tài)變化較小時，動態(tài)步長因子減小，反之，動態(tài)步長因子增大，提高解算精度，加快收斂速度，動態(tài)步長因子αk?? （可變化）定義為：

式中： Q?k 為第 k 次迭代的四元數(shù)微分，通常共軛梯度優(yōu)化方法需通過多次迭代來獲得最優(yōu)解，但在航姿求解中，每一次迭代都可以得到姿態(tài)四元數(shù)的最優(yōu)解。

由于重力加速度計輸出為重力加速度與運動加速度的矢量和，當(dāng)運動加速度過大時會影響模型解算精度，因此設(shè)計狀態(tài)閾值 c ，當(dāng)加速度計輸出大于設(shè)定值ε時，運動加速度較大應(yīng)減小搜索步長，提高搜索精度。

本方法通過求解綜合姿態(tài)矢量誤差函數(shù)最小值，求解最優(yōu)四元數(shù)，對陀螺儀數(shù)據(jù)進行補償，完成最優(yōu)姿態(tài)四元數(shù)的解算，過程如下：

式中： ω b =ωbx?? ωy（b）? ωbz為陀螺儀測得的角速度矢量;?為四元數(shù)乘法運算; ΔT 為姿態(tài)四元數(shù)更新周期; P Q k 為最優(yōu)搜素方向。

3 實驗驗證與結(jié)果分析

基于偏振光輔助的航姿解算系統(tǒng)主要包括慣性測量單元與偏振光傳感器。本實驗使用 Paparazzi uav開源項目中 Lisa/M2.0飛控系統(tǒng)（集成慣性測量單元MPU6000和地磁傳感器 HMC5883L）中慣性測量傳感器輸出數(shù)據(jù)與偏振光傳感器輸出數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)融合估計姿態(tài)并將飛控系統(tǒng)輸出作為實驗參考值，該系統(tǒng)使用慣性測量單元與地磁傳感器作為姿態(tài)估計傳感器，圖 3所示為飛控系統(tǒng)輸出精度測試結(jié)果。

考慮到飛控板安裝誤差的存在可以認定飛控系統(tǒng)輸出具有一定精度可以作為參考值。為了評估提出的航姿解算方法，分別在靜態(tài)與動態(tài)實驗環(huán)境下進行實驗驗證，并與飛控系統(tǒng)實驗參考值，梯度下降優(yōu)化法與共軛梯度優(yōu)化法進行對比分析，以驗證本文中基于動態(tài)步長因子與狀態(tài)閾值的擬牛頓優(yōu)化航姿解算算法的可靠性和準(zhǔn)確性。

3.1 靜態(tài)實驗測試及分析

靜態(tài)實驗地點為大連理工大學(xué)機械東樓樓頂（121.528255° E ，38.8814192° N），海拔35 m ，時間是2021年1月17日上午10：34，天氣晴朗，根據(jù)天文歷表可知太陽高度角為26.12°，太陽方位角為-0.8°。由于將實驗平臺靜止放置在地面一段時間，實驗數(shù)據(jù)如圖4所示。圖中展示了靜態(tài)實驗中本文設(shè)計的基于動態(tài)步長因子的擬牛頓優(yōu)化方法與梯度下降法、共軛梯度法的姿態(tài)對比曲線和狀態(tài)變化曲線。圖中狀態(tài)變化曲線平緩，符合靜態(tài)實驗的特點。

為進一步說明不同方法之間的差異，表1所示為靜態(tài)實驗姿態(tài)角均方差以及平均值對比數(shù)據(jù)。由表可知，橫滾角中，擬牛頓法最接近參考值，俯仰角中，共軛梯度法與擬牛頓法最接近參考值，誤差相同，航向角中，3種優(yōu)化方法平均值相同，可以看出3種優(yōu)化方法在靜態(tài)時沒有明顯區(qū)別。與參考值相比較，在可接受誤差范圍內(nèi)，具有一定靜態(tài)精度與穩(wěn)定性。

3.2 動態(tài)實驗測試及分析

選取地點不變，時間是2021年1月16日16：33，根據(jù)天文歷表可知太陽高度角為2.64°，太陽方位角為-143.16°。將偏振光導(dǎo)航實驗平臺在三維空間中，實驗數(shù)據(jù)如圖5所示。由圖可知，在姿態(tài)變化時，本文的擬牛頓優(yōu)化方法可以很好地跟蹤姿態(tài)角的變化。狀態(tài)變化的曲線，符合實驗的動態(tài)特點，對復(fù)雜運動狀態(tài)下的姿態(tài)誤差起到了調(diào)控作用。

為了更直觀地比較姿態(tài)解算方法的差異，圖 6所示為不同方法獲得的姿態(tài)角的偏差曲線圖。由圖可知，在姿態(tài)變化時，基于動態(tài)步長因子與狀態(tài)閾值的擬牛頓優(yōu)化方法的收斂速度快于其他方法，姿態(tài)估計角度誤差較小。

為進一步說明其他方法之間的差異，表2～3所示為動態(tài)實驗姿態(tài)角最大絕對值誤差以及誤差均方差對比數(shù)據(jù)。由表可知，基于動態(tài)步長因子與狀態(tài)閾值的擬牛頓優(yōu)化航姿解算的姿態(tài)角誤差最小，較梯度下降法精度提高50%，較共軛梯度法精度提高37%～50%，說明基于動態(tài)步長因子的共軛梯度法與其他方法相比，在誤差最小的情況下誤差波動最小，表現(xiàn)出更好的動態(tài)收斂性，動態(tài)精度更高，驗證了對于偏振光輔助的捷聯(lián)慣導(dǎo)導(dǎo)航系統(tǒng)共軛梯度優(yōu)化方法有利于飛控系統(tǒng)的航姿估計。

4 結(jié)束語

本文將點源式偏振光傳感器引入傳統(tǒng)慣導(dǎo)系統(tǒng)替代磁強計，構(gòu)成新的航姿參考系統(tǒng)（陀螺儀、加速度計、偏振光傳感器），利用誤差最小原理搭建算法模型，通過動態(tài)步長因子優(yōu)化的擬牛頓法進行最優(yōu)解求解，通過狀態(tài)閾值抑制運動加速度對加速度計的干擾，實現(xiàn)姿態(tài)解算，為偏振光導(dǎo)航提供了一種新的航姿求解方案。實驗結(jié)果表明，擬牛頓優(yōu)化的航姿解算方法在靜態(tài)環(huán)境下的具有一定精度與平穩(wěn)性，而且由于動態(tài)步長因子與狀態(tài)閾值的設(shè)計，在動態(tài)環(huán)境下也表現(xiàn)出較好的姿態(tài)跟蹤能力，與梯度下降法、共軛梯度優(yōu)化的濾波算法的對比結(jié)果表明，擬牛頓優(yōu)化方法的解算收斂速度更快，姿態(tài)誤差更小，說明本文提出的偏振光/慣導(dǎo)組合導(dǎo)航的擬牛頓優(yōu)化航姿算法能夠有效提高偏振光輔助導(dǎo)航系統(tǒng)的姿態(tài)跟蹤能力與解算效率。

在建立重力矢量模型時，忽略了運動加速度對加速度計輸出的影響，雖然使用狀態(tài)閾值進行抑制，并且優(yōu)化搜索本身基于誤差最小情況進行，但在運動加速度過大時仍會影響姿態(tài)解算，下一步工作將考慮建立運動加速度計誤差補償，從而進一步優(yōu)化現(xiàn)有姿態(tài)解算模型，以提高偏振光/慣導(dǎo)組合導(dǎo)航系統(tǒng)的魯棒性能。

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第一作者簡介：金仁成（1969-），男，吉林長春人，博士，副教授，研究領(lǐng)域為無線傳感器網(wǎng)絡(luò)與無人機自主導(dǎo)航技術(shù)，已發(fā)表論文70余篇。

（編輯：王智圣）