許銀伙
(福建省泉州外國語中學 362000)
原題再現(xiàn)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.
(1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.
我解方法二(特值代入法)由f(1)=a-lna≥1得a≥1,所以a<1不符合要求.
(1)當a=1時,f(x)=ex-1-lnx,要證f(x)≥1,即證ex-1≥1+lnx.易證:
ex-1≥x(當且僅當x=1時取等號)且lnx≤x-1(當且僅當x=1時取等號),所以ex-1≥1+lnx成立.
(2)當a>1時,f(x)=aex-1-lnx+lna>ex-1-lnx,由(1)得f(x)>1恒成立.
綜上得:所求a的取值范圍是[1,+∞).
評注函數(shù)f(x)中含有ex-1和lnx很自然會想到取x=1代入嘗試,以縮小關于參數(shù)分類討論的范圍.當a=1時,本解法中利用兩個常見不等式結論解決;當a>1時,運用放縮法利用當a=1時的結論.本解答參考了文[3]和文[4]的技巧,也參考文[1]和2013年全國高考理科(Ⅱ)卷21題的解答.
綜上得:所求a的取值范圍是[1,+∞).
3.函數(shù)y=ex過原點的切線是y=ex,結合圖形或者通過導數(shù)可以得出不等式ex≥ex恒成立,是解決函數(shù)導數(shù)問題的常用結論.
評注雖然上面的兩種方法都是通過構造新函數(shù)解決,但因為構造的函數(shù)g(x)=xlnx并不是在原來函數(shù)f(x)定義域上的單調函數(shù),因此必須分段討論.構造的函數(shù)選擇能在定義域內單調,通常是減少思維量和運算量的訣竅.
通過對文[1]的學習,可以大大加深對同構函數(shù)解決問題的印象和技巧的掌握,針對文[1]給出高考壓軸題的同構函數(shù)的兩類常見形式,筆者給出更寬泛的概括:凡是見到式子中同時含有三個變量x,ex,lnx,都可以考慮把式子變形成其中一側含x,ex類型,另一側含elnx,lnx類型,然后構造函數(shù),且爭取讓構造的函數(shù)具有單調性.