許銀伙

(福建省泉州外國語中學(xué) 362000)

原題再現(xiàn)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

我解方法二(特值代入法)由f(1)=a-lna≥1得a≥1，所以a<1不符合要求.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ex-1-lnx，要證f(x)≥1，即證ex-1≥1+lnx.易證：

ex-1≥x(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))且lnx≤x-1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))，所以ex-1≥1+lnx成立.

(2)當(dāng)a>1時(shí)，f(x)=aex-1-lnx+lna>ex-1-lnx，由(1)得f(x)>1恒成立.

綜上得：所求a的取值范圍是[1,+∞).

評(píng)注函數(shù)f(x)中含有ex-1和lnx很自然會(huì)想到取x=1代入嘗試，以縮小關(guān)于參數(shù)分類討論的范圍.當(dāng)a=1時(shí)，本解法中利用兩個(gè)常見不等式結(jié)論解決；當(dāng)a>1時(shí)，運(yùn)用放縮法利用當(dāng)a=1時(shí)的結(jié)論.本解答參考了文[3]和文[4]的技巧，也參考文[1]和2013年全國高考理科(Ⅱ)卷21題的解答.

綜上得：所求a的取值范圍是[1,+∞).

3.函數(shù)y=ex過原點(diǎn)的切線是y=ex，結(jié)合圖形或者通過導(dǎo)數(shù)可以得出不等式ex≥ex恒成立，是解決函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的常用結(jié)論.

評(píng)注雖然上面的兩種方法都是通過構(gòu)造新函數(shù)解決，但因?yàn)闃?gòu)造的函數(shù)g(x)=xlnx并不是在原來函數(shù)f(x)定義域上的單調(diào)函數(shù)，因此必須分段討論.構(gòu)造的函數(shù)選擇能在定義域內(nèi)單調(diào)，通常是減少思維量和運(yùn)算量的訣竅.

通過對(duì)文[1]的學(xué)習(xí)，可以大大加深對(duì)同構(gòu)函數(shù)解決問題的印象和技巧的掌握，針對(duì)文[1]給出高考?jí)狠S題的同構(gòu)函數(shù)的兩類常見形式，筆者給出更寬泛的概括：凡是見到式子中同時(shí)含有三個(gè)變量x,ex,lnx，都可以考慮把式子變形成其中一側(cè)含x,ex類型，另一側(cè)含elnx,lnx類型，然后構(gòu)造函數(shù)，且爭取讓構(gòu)造的函數(shù)具有單調(diào)性.