翟陽(yáng)琴

(江蘇省南通市海門第一中學(xué) 226100)

基于數(shù)學(xué)視角來(lái)看，有些問(wèn)題結(jié)論不是唯一確定的，或者在解題中不能以統(tǒng)一的形式來(lái)研究，或者部分已知量是字母形式，字母取值不同所得結(jié)果也不同.這時(shí)應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決，即為分類討論思想的應(yīng)用.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師需依據(jù)題目情況指引學(xué)生有效應(yīng)用分類討論思想，提高他們的解題效率.

一、分類討論思想有效應(yīng)用于集合解題

集合作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的入門級(jí)內(nèi)容，也是高中生最先接觸的數(shù)學(xué)知識(shí)，雖然學(xué)習(xí)起來(lái)難度不是特別大，運(yùn)算過(guò)程也不是過(guò)于繁瑣，不過(guò)在平?？荚嚺c高考中都屬于必考類題型，占據(jù)著一定的分值比例，解決好集合類的題目能顯著增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信.在高中數(shù)學(xué)集合解題教學(xué)中，教師需引領(lǐng)學(xué)生對(duì)集合與集合及集合與元素間的關(guān)系作分類處理，部分集合問(wèn)題則存在參數(shù)，他們均需準(zhǔn)確分類后計(jì)算，從而得出正確答案，以免遺漏或多余.

例1同時(shí)滿足(1)集合M?{1，2，3，4，5}；(2)如果a∈M，則(6-a)∈M的非空集合M有多少個(gè)？且寫出這些集合.

解析本道題需按照集合M中元素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，①當(dāng)M中只有1個(gè)元素時(shí)，如果3∈M，則6-a=6-3=3∈M，所以M={3}；②當(dāng)M中有2個(gè)元素時(shí)，滿足條件的M有2個(gè)，分別為M={1，5}，M={2，4}；③當(dāng)M中有3個(gè)元素時(shí)，滿足條件的M有2個(gè)，即為M={1，3，5}，M={2，3，4}；④當(dāng)M中有4個(gè)元素時(shí)，滿足條件的M只有1個(gè)，M={1，2，4，5}；⑤當(dāng)M中有5個(gè)元素時(shí)，滿足條件的M也只有1個(gè)，M={1，2，3，4，5}，綜合起來(lái)適合條件的集合M一共有7個(gè).

隨后教師可設(shè)計(jì)一些同類題目展開(kāi)變式訓(xùn)練，讓學(xué)生繼續(xù)運(yùn)用分類討論思想解題.

該題結(jié)合集合運(yùn)算主要考查分類討論思想的應(yīng)用，學(xué)生需把握好分類的依據(jù)是集合的性質(zhì)，即無(wú)序性、互異性與確定性，他們無(wú)需計(jì)算，只需確保思維完整即可.

二、分類討論思想有效應(yīng)用于函數(shù)解題

函數(shù)不僅是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)與常考點(diǎn)，屬于數(shù)學(xué)考試中常見(jiàn)的一類題目，也是學(xué)生感到異常頭疼的數(shù)學(xué)問(wèn)題，他們?cè)诮忸}中經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤，難以準(zhǔn)確把握各種情況，容易導(dǎo)致答案不完整，或范圍過(guò)大.因此，在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題教學(xué)中，教師需指導(dǎo)學(xué)生科學(xué)合理地應(yīng)用分類討論思想，使其認(rèn)真閱讀題干信息，觀察是否存在變量或特殊要求，根據(jù)實(shí)際情況展開(kāi)分類討論.

例2已知函數(shù)f(x)=cos2x+asinx-a2+2a+5，有最大值2，求實(shí)數(shù)a的的值.

上述案例，教師指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用分類討論思想解答函數(shù)類題目時(shí)，不僅需對(duì)函數(shù)自身進(jìn)行分類，還要討論相應(yīng)的參數(shù)，使其順利找到題目的本質(zhì)，提升正確率的同時(shí)加快解題速度.

三、分類討論思想有效應(yīng)用于幾何解題

在整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，幾何也占據(jù)著較為重要的地位，雖然學(xué)生對(duì)平面幾何有所了解，但是高中階段以研究立體幾何為主，涉及到的知識(shí)點(diǎn)還較多，相應(yīng)的題目難度系數(shù)也更高，他們很難順暢解題.高中數(shù)學(xué)教師在立體幾何解題教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生有效應(yīng)用分類討論思想，先依據(jù)題干信息確定題目類型，再根據(jù)關(guān)鍵信息展開(kāi)深入分析，探討每一種可能性的存在，最后逐個(gè)列舉出來(lái)，以免遺漏掉任何一種情況，從而讓他們得出完整答案.

例3已知線段AB和平面α平行，平面α的斜線A1A，B1B和平面α所對(duì)的角分別是30°與60°，且∠A1AB=∠B1BA=90°，AB=a，A1B1=b(b>a)，求線段AB和平面α的距離.

針對(duì)上述案例，在解決立體幾何類的題目中，點(diǎn)、線、面是組成幾何圖形的三個(gè)基本要素，當(dāng)這三者的位置關(guān)系不確定時(shí)，就要對(duì)每種情況進(jìn)行分類討論求解，防止漏解.

四、分類討論思想有效應(yīng)用于數(shù)列解題

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及到的數(shù)列都是有一定規(guī)律的數(shù)列，即為等差數(shù)列和等比數(shù)列，數(shù)列類的題目雖然難度一般，但是通常涉及到變量和未知量，要想解決數(shù)列難題，分類討論思想同樣適用.在高中數(shù)學(xué)數(shù)列解題教學(xué)中，應(yīng)用分類討論思想可解決數(shù)量關(guān)系、周期性等問(wèn)題，具有降低題目難度系數(shù)的效果，當(dāng)學(xué)生處理數(shù)列問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)指引他們有效應(yīng)用分類討論思想，結(jié)合題干信息仔細(xì)分類與討論，由此簡(jiǎn)化解題過(guò)程，使其提高解題速度.

例4已知數(shù)列1，2x，3x2，4x3…，求它的前n項(xiàng)和.

解析由于題目中沒(méi)有明確指出該數(shù)列的類型，所以教師應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生分類討論，提醒他們考慮到x=0這一特殊情況.

先設(shè)Sn=1+2x+3x2+4x3…+nxn-1，再分類討論:

(1)當(dāng)x=0時(shí)，a1=1，a2=2x=0，a3=3x2=0，…，an=nxn-1=0，所以Sn=1+0+0+…+0=1；

綜合起來(lái)，通過(guò)對(duì)x三種情況的分類討論，最終得到完整的答案.

在上述案例中，當(dāng)遇到數(shù)列問(wèn)題中存在不確定因素時(shí)，教師就要指導(dǎo)學(xué)生打破固有思維定勢(shì)開(kāi)放性地思考，盡可能考慮到更多、更全的方面，借此培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)解題思維.

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，分類討論思想有著相當(dāng)重要的作用，教師需把握好機(jī)會(huì)，實(shí)時(shí)將分類討論思想融入到解題教學(xué)中，幫助學(xué)生在解題中形成良好的分類討論意識(shí)，使其有效應(yīng)用分類討論思想解題，進(jìn)而提高他們的解題準(zhǔn)確度.