張 帥，全海洋，侯 溪，胡小川，吳高峰

1 中國(guó)科學(xué)院光電技術(shù)研究所，四川 成都 610209；2 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049

1 引 言

隨著光學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，以微電子裝備、航空航天、精密測(cè)量為代表的先進(jìn)光學(xué)系統(tǒng)對(duì)光學(xué)元件的光學(xué)面形以及均勻性提出了越來(lái)越高的要求。均勻性是度量材料折射率變化的關(guān)鍵參數(shù)。一般采用標(biāo)準(zhǔn)相位測(cè)量干涉儀(standard phase measuring interferometry)進(jìn)行測(cè)量，具體的方法有液浸法[1-2]和透射法[3-8]。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，由于液浸法過(guò)于繁瑣，因此研究方向主要聚焦在絕對(duì)測(cè)量技術(shù)，即把材料非均勻引起的表面偏差與系統(tǒng)誤差分開的測(cè)量技術(shù)。絕對(duì)面形檢測(cè)是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，通常需要多次測(cè)量才能得到相應(yīng)的面形誤差分布[9-10]。與絕對(duì)面形檢測(cè)類似，對(duì)于均勻性的絕對(duì)檢測(cè)也需要通過(guò)多次測(cè)量。透射法是均勻性檢測(cè)最常用的方法，為了實(shí)現(xiàn)均勻性的絕對(duì)檢測(cè)，需要通過(guò)四次透射測(cè)量(the four-step transmission method)以消除樣品板兩個(gè)絕對(duì)面形誤差以及參考平面和干涉儀引入的系統(tǒng)誤差從而實(shí)現(xiàn)絕對(duì)測(cè)量。然而，雜散光干擾是四步透射測(cè)量法不可忽視的干擾項(xiàng)。多光束干涉引起的強(qiáng)度失真可以通過(guò)波長(zhǎng)調(diào)諧法和復(fù)雜的數(shù)據(jù)處理計(jì)算，從頻域內(nèi)的多個(gè)干涉條紋中分離出目標(biāo)信號(hào)[11-16]；或者在被測(cè)樣品板的兩個(gè)表面之間人為引入一個(gè)小楔角來(lái)分離雜散光束，但是楔角選取不當(dāng)則會(huì)帶來(lái)額外的測(cè)量不確定度。另一種簡(jiǎn)單的方法叫做“窗口翻轉(zhuǎn)法”(window-flipping method)，通過(guò)翻轉(zhuǎn)窗口來(lái)測(cè)量窗口的后表面，避免雜散光的引入。但翻轉(zhuǎn)法無(wú)法完全消除參考平面的表面誤差。借助于絕對(duì)面形檢測(cè)技術(shù)(例如三平板測(cè)試[15,17-21])，可以預(yù)先獲得絕對(duì)面形以備將來(lái)使用，但這是另一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程。因此為了簡(jiǎn)化整個(gè)測(cè)量過(guò)程，需要同時(shí)測(cè)量樣品的絕對(duì)面形和折射率不均勻性。

本文提出了一種改進(jìn)的六步法(modified six-step method)，與傳統(tǒng)的透射法或絕對(duì)測(cè)量方法不同，該方法可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)測(cè)量?jī)蓚€(gè)表面間沒有楔角的拋光樣品(如平行平板)的均勻性以及相應(yīng)的絕對(duì)面形，提高了測(cè)量效率。同時(shí)，借助高效的數(shù)據(jù)稀疏迭代算法[19]，可以快速有效地重構(gòu)平板樣品的均勻性和絕對(duì)面形誤差，實(shí)現(xiàn)高分辨率的絕對(duì)檢測(cè)。理論仿真和實(shí)驗(yàn)研究驗(yàn)證了該方法的有效性，并且測(cè)量精度可以達(dá)到亞納米量級(jí)。通過(guò)測(cè)量不確定度分析表明，與傳統(tǒng)的四步透射法相比，改進(jìn)的六步翻轉(zhuǎn)法進(jìn)一步提高了測(cè)量不確定度。此外，該方法可有效地應(yīng)用于高精度拋光樣品的測(cè)量，并可推廣到斜入射式大口徑光學(xué)元件(如同步輻射裝置、慣性約束聚變中的大型光學(xué)元件以及巨型望遠(yuǎn)鏡)的測(cè)量。

2 改進(jìn)的六步法

對(duì)于經(jīng)典的六步透射法，如圖1 所示，步驟如下：

圖1 樣品SUT 非均勻性測(cè)量以及K、L、M、N 四個(gè)表面的絕對(duì)面形測(cè)量(TF 透射標(biāo)準(zhǔn)平面、RF 標(biāo)準(zhǔn)平面、SUT 測(cè)試樣品)的六步測(cè)量步驟Fig.1 Six-step procedure for inhomogeneity evaluations,as well as absolute planarity measurements of the four surfaces K,L,M,N.(TF:Transmission flat,TF:Standard flat,SUT:Sample under test)

第一步：從透射平板(TF)和反射平板(RF)形成的光腔中取出被測(cè)樣品(SUT)，測(cè)量空腔狀態(tài)下面形數(shù)據(jù)SKN：

本文采用Vannoni 提出的符號(hào)線性算子[20]，SFyK表示 K 面繞y軸翻轉(zhuǎn)后的面形，即SFyK(x,y)=SK(-x,y)；N 表示RF 的前表面。

第二步：放入樣品SUT，使RF 通過(guò)SUT 反射，并進(jìn)行透射測(cè)量得到相應(yīng)的測(cè)量數(shù)據(jù)SKLMN：

式中：δ為樣本的不均勻性，n為樣品的折射率；SFyM表示表面M 繞y軸翻轉(zhuǎn)后的面形。

第三步：測(cè)量SUT 前表面L 反射的波前：

第四步：調(diào)整SUT 以獲得從內(nèi)后表面M 反射的測(cè)量值：

由SUT 的不均勻性引起的表面偏差(波前)可根據(jù)式(1)～式(4)得到：

因此，只要給定SUT 的厚度，就可以計(jì)算出相應(yīng)折射率的變化。本文僅討論由不均勻性引起的表面偏差。這種方法的主要優(yōu)點(diǎn)是完全消除了K、L、M 和N四個(gè)絕對(duì)面形誤差所引入的誤差。然而，在具體實(shí)踐應(yīng)用中，將待測(cè)樣品插入光腔中可能會(huì)在相應(yīng)的干涉儀腔中發(fā)生多光束干涉，從而導(dǎo)致無(wú)法用標(biāo)準(zhǔn)相移方法評(píng)估的強(qiáng)度失真。在這種情況下，必須在SUT 的兩個(gè)表面之間引入一個(gè)小楔角來(lái)消除干擾，而楔角的引入會(huì)限制該方法的通用性。

在此基礎(chǔ)上，四步窗口翻轉(zhuǎn)方法可以通過(guò)簡(jiǎn)單地翻轉(zhuǎn)SUT 用后表面的測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)代替SKLM測(cè)量數(shù)據(jù)(步驟四)。

繞y軸翻轉(zhuǎn)SUT，測(cè)量SKM：

由式(1)～式(3)和式(6)，得到了SUT 的不均勻性：

由于SUT 的兩個(gè)表面L 和M 是在反射中獨(dú)立測(cè)量的，因此不需要引入楔角(對(duì)于非常平行的SUT，可以使用傅里葉變換相移干涉術(shù)[12-13])，從而可以測(cè)量?jī)蓚€(gè)表面之間沒有楔角的光滑樣品(如平行的透明樣品)。如式(7)所示，翻轉(zhuǎn)法的缺點(diǎn)是不能徹底消除系統(tǒng)誤差。如果不消除或補(bǔ)償系統(tǒng)誤差，則對(duì)測(cè)量精度有很大的影響。為了同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)SUT 和四個(gè)表面的不均勻性絕對(duì)測(cè)量，需要引入兩個(gè)額外的測(cè)量(步驟五和步驟六)。

第五步：將SUT 繞z軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)固定角度，并進(jìn)行旋轉(zhuǎn)測(cè)量(實(shí)際中廣泛使用54°)：

式中：RφM 表示平面M 繞z軸旋轉(zhuǎn)固定角度φ。

第六步：用RF 代替TF，測(cè)量SNM：

理論上，由式(1)、式(6)、式(8)可計(jì)算出TF 絕對(duì)面形的偶數(shù)項(xiàng)：

式中：“e”表示提取面形偶數(shù)項(xiàng)的操作。至此，通過(guò)五步測(cè)量法可得到非均勻性：

另一方面，四個(gè)表面的絕對(duì)面形可以通過(guò)簡(jiǎn)單地添加一個(gè)旋轉(zhuǎn)測(cè)量來(lái)計(jì)算(步驟五)。由于偶數(shù)項(xiàng)已經(jīng)得到，奇數(shù)量可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)測(cè)量來(lái)求解[21-22]。實(shí)際上，旋轉(zhuǎn)測(cè)量求解的是表面(SKRV)的旋轉(zhuǎn)變化分量，而面形(SK

o)的奇數(shù)項(xiàng)就包含在旋轉(zhuǎn)變量部分中：

當(dāng)奇偶項(xiàng)代入后，可以同時(shí)求解得到四個(gè)面的面形誤差。因此，采用改進(jìn)的六步翻轉(zhuǎn)法(圖1)可同時(shí)實(shí)現(xiàn)樣品絕對(duì)面形和均勻性的絕對(duì)測(cè)量。

在上述式(6)和式(8)所涉及計(jì)算中，通常采用基于Zernike 多項(xiàng)式的擬合方法來(lái)獲得旋轉(zhuǎn)變化分量(低空間頻率濾波)的部分解。為了獲得更高的計(jì)算精度，本文結(jié)合式(1)～式(3)、式(6)、式(8)～式(9)所描述的物理過(guò)程，將改進(jìn)六步翻轉(zhuǎn)法形成的求解模型歸納如下：

式中：Δ(·)為殘余誤差，它描述了測(cè)量數(shù)據(jù)與計(jì)算數(shù)據(jù)間的差異，并通過(guò)多次迭代計(jì)算得到近似解[19]。ω是求解模型的加速參數(shù)，當(dāng)選擇合適的加速參數(shù)可以進(jìn)一步加快迭代的收斂速度。

3 仿真結(jié)果

為驗(yàn)證上述方法，本文使用具有高頻信息的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為四個(gè)表面K、L、M、N 的面形誤差和均勻性誤差(圖2)。然后對(duì)每一次測(cè)量引入測(cè)量噪聲(1.0 nm PV 和0.1 nm RMS)，得到組合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。預(yù)期實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3 所示。圖2 顯示表面M 具有正Power 像差，而其他表面則是負(fù)Power 像差。因此，當(dāng)正Power 與負(fù)Power 相加時(shí)，相應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的Power 將被部分消除，如圖3 所示。

圖2 原始實(shí)驗(yàn)表面K、L、M、N 的面形誤差和由于樣板不均勻而產(chǎn)生的面形誤差Fig.2 Example figure errors of original experimental surfaces K,L,M,N and figure error due to inhomogeneity of the sample plate

圖3 六步翻轉(zhuǎn)試驗(yàn)的示例模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果(每次測(cè)量的測(cè)量噪聲為0.1 nm RMS)Fig.3 Example experimental results of simulation with six-step flipping test(the measurement noise of each measurement is 0.1 nm RMS)

運(yùn)用上述方法，得到絕對(duì)測(cè)試結(jié)果如圖4 所示，其中給出了K、L、M、N 的重建面形和均勻性分布。重建面形殘余誤差是用上述迭代算法得到的重建面形與理論面形的差值。從殘差圖可以看到，各個(gè)面的重建殘差均在亞納米R(shí)MS 量級(jí)。其中，當(dāng)測(cè)量隨機(jī)誤差在0.1 nm RMS 時(shí)，由樣品板均勻性引起的表面誤差的不確定度在0.17 nm RMS。

圖4 (a)通過(guò)迭代算法計(jì)算得到的K、L、M、N 表面的面形誤差和由于樣板不均勻而產(chǎn)生的面形誤差；(b)各個(gè)表面對(duì)應(yīng)的測(cè)量殘差圖Fig.4 (a)Retrieved figure errors of surfaces K,L,M,N and figure error due to inhomogeneity of the sample plate by the iterative algorithm;(b)The associated measurement error maps with respect to the original surfaces

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文利用6 inch(1 inch=2.54 cm)英寸相移Fizeau干涉儀(光軸水平)，進(jìn)一步開展了相關(guān)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證工作。首先，用兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)平板K 和N 測(cè)量了一個(gè)6 inch 平行平板(?150 mm×6 mm)的絕對(duì)面形L、M 和折射率不均勻性δ。在確保實(shí)驗(yàn)操作和實(shí)驗(yàn)室溫度的前提下進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)測(cè)量[23]，得到面形測(cè)量重復(fù)性約為1.5 nm RMS。圖5 顯示了使用改進(jìn)的六步翻轉(zhuǎn)法的絕對(duì)測(cè)量結(jié)果，其中分別給出了平行平板兩個(gè)表面L、M 的絕對(duì)面形和折射率不均勻性引起的面形誤差。

圖5 本文所提出改進(jìn)的六步翻轉(zhuǎn)法，計(jì)算出表面L 絕對(duì)面形(RMS=18.61 nm)(a)；表面M 絕對(duì)面形(RMS=4.87 nm)(b)和折射率不均勻性(RMS=19.47 nm)(c)引起的面形誤差Fig.5 Retrieved figure errors of (a)surface L (RMS=18.61 nm),(b)surface M (RMS=4.87 nm),and (c)figure error due to inhomogeneity (RMS=19.47 nm)of the PPP by the proposed iterative algorithm

另一方面，本文通過(guò)交叉驗(yàn)證的方法來(lái)檢驗(yàn)改進(jìn)六步翻轉(zhuǎn)方法的有效性。為了獲得表面L 和M 的絕對(duì)面形誤差，預(yù)先用三平板法對(duì)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)平面K 和N 進(jìn)行了標(biāo)定[18-21]。結(jié)果如圖6(a)和圖6(b)所示。通過(guò)使用傅里葉變換相移干涉法(FTPSI)處理Fizeau 干涉儀采集的數(shù)據(jù)，得到由于均勻性引起的面形誤差，結(jié)果如圖6(c)所示。

圖6 通過(guò)傅里葉變換相移干涉法(FTPSI)，計(jì)算得到(a)表面L 絕對(duì)面形(RMS=19.71 nm)；(b)表面M絕對(duì)面形(RMS=4.62 nm)和(c)折射率不均勻性(RMS=19.67 nm)而引起的面形誤差Fig.6 Retrieved figure errors of (a)surface L (RMS=19.71 nm),(b)surface M (RMS=4.62 nm),and (c)figure error due to inhomogeneity (RMS=19.67 nm)of the PPP by the proposed iterative algorithm

通過(guò)對(duì)比圖5 和圖6 所示的面形圖，可以看到其RMS 差異不超過(guò)1 nm。圖7 則是圖5 和圖6 之間點(diǎn)對(duì)點(diǎn)像素之間的殘差，其值不超過(guò)2.3 nm RMS。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了兩者具有高度一致性，同時(shí)具有較好的重復(fù)性，驗(yàn)證了本文提出的改進(jìn)六步翻轉(zhuǎn)方法的準(zhǔn)確性。

圖7 圖5 和圖6 點(diǎn)對(duì)點(diǎn)對(duì)應(yīng)像素的差異。(a)所述方法與三平面法的L 面殘差圖(RMS=1.65 nm)；(b)所述方法與三平法得到的M 面殘差圖(RMS=1.59 nm)；(c)所述方法與FTPSI 法得到的不均勻性之間的殘差圖(RMS=2.25 nm)Fig.7 Differences between Fig.5 and Fig.6 pixel by pixel.(a)Difference map of surface L between the proposed method and three-flat method (RMS=1.65 nm);(b)Difference map of surface M between the proposed method and three-flat method(RMS=1.59 nm);(c)Difference map of inhomogeneity between the proposed method and FTPSI method (RMS=2.25 nm)

5 不確定度分析

在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，需要對(duì)可能影響測(cè)量精度的因素進(jìn)行進(jìn)一步研究。在改進(jìn)的六步翻轉(zhuǎn)法進(jìn)行測(cè)量中，干涉儀隨機(jī)噪聲和實(shí)驗(yàn)操作引起的誤差是影響最終測(cè)量不確定度的兩個(gè)主要誤差源，與經(jīng)典的四步翻轉(zhuǎn)法類似。用兩種不同的方法對(duì)不均勻性進(jìn)行測(cè)量，評(píng)估兩種測(cè)量方法結(jié)果的一致性，并對(duì)本文所提出的方法進(jìn)行總體測(cè)量不確定度評(píng)估。

5.1 隨機(jī)噪聲引入的測(cè)量不確定度

第一個(gè)誤差源是干涉儀由于環(huán)境影響而產(chǎn)生的隨機(jī)噪聲，如空氣湍流、振動(dòng)、探測(cè)器噪聲等。對(duì)于高精度檢測(cè)來(lái)講，環(huán)境是影響其測(cè)量不確定度的主要因素。

對(duì)于經(jīng)典的四步透射法(式(5))，隨機(jī)噪聲引起的非均勻性絕對(duì)測(cè)量誤差如下[3-5]：

式中：ε為干涉儀重復(fù)性誤差。定義隨機(jī)誤差傳播系數(shù)為ccoef=σ/ε，當(dāng)折射率為1.515 時(shí)，透射法的隨機(jī)誤差傳播系數(shù)為2.2036。如果隨機(jī)噪聲的均方根誤差為1.5 nm，則測(cè)量誤差約為3.3 nm RMS。對(duì)于改進(jìn)的六步翻轉(zhuǎn)法(式(11))，隨機(jī)噪聲引起的不均勻性測(cè)量誤差如下：

式(11)中SKMe被平均項(xiàng)(SKMe+SKMre)/2代替。在這種情況下，當(dāng)折射率為1.515 時(shí)，改進(jìn)的六步翻轉(zhuǎn)法的隨機(jī)誤差傳播系數(shù)為1.7，接近四步透射法的一半。如果隨機(jī)噪聲的均方根誤差為1.5 nm，則測(cè)量誤差約為2.6 m RMS，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致(圖7(c)所示)。因此對(duì)于折射率大于1.0 的情況，改進(jìn)的六步翻轉(zhuǎn)法的系數(shù)均小于四步透射法的系數(shù)(如圖8 所示)。

圖8 隨機(jī)誤差傳播系數(shù)與折射率的關(guān)系Fig.8 Coefficient of random error propagation versus refractive index

由隨機(jī)噪聲引起的四個(gè)待測(cè)表面的絕對(duì)面形測(cè)量誤差可以用類似的方法得到。另一方面，每次測(cè)量都會(huì)引入隨機(jī)誤差，由此引起的不確定度可通過(guò)蒙特卡洛試驗(yàn)來(lái)評(píng)估[19]。

5.2 實(shí)驗(yàn)操作引入的測(cè)量不確定度

另一個(gè)主要誤差源是由實(shí)驗(yàn)操作引起的誤差，包括角度誤差、旋轉(zhuǎn)測(cè)量SKMr的旋轉(zhuǎn)軸未對(duì)準(zhǔn)以及在兩個(gè)不同位置處RF 和SUT 翻轉(zhuǎn)方向未對(duì)齊。這些誤差主要在步驟四到步驟六的測(cè)量過(guò)程中引入(圖1)。蒙特卡洛試驗(yàn)結(jié)果表明，在均勻性引起的面形誤差圖中，0.5°角度誤差引起的最大誤差約為0.07 nm RMS，單個(gè)像素(沿x和y軸)的對(duì)準(zhǔn)誤差引入的面形誤差約為0.10 nm RMS(其他四個(gè)面形誤差均小于0.06 nm RMS)。

5.3 合成標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量不確定度

在用上述兩個(gè)誤差源(即第四步至第六步的三次測(cè)量中，干涉儀重復(fù)性誤差為0.1 nm RMS，角度誤差為0.5°，對(duì)準(zhǔn)誤差為1 個(gè)像素)進(jìn)行蒙特卡洛重復(fù)試驗(yàn)后，折射率不均勻性測(cè)量的最大誤差約為0.21 nm RMS。這比仿真得到的最大誤差(0.17 nm RMS)略大，表明由于環(huán)境影響引起的隨機(jī)誤差是該方法測(cè)量不確定度的主要因素。

如果用五倍的噪聲(即0.5 nm RMS 隨機(jī)噪聲)進(jìn)行重復(fù)模擬實(shí)驗(yàn)，那么不均勻性測(cè)量的最大誤差約為0.86 nm RMS。根據(jù)式(16)，由隨機(jī)噪聲引起的非均勻性測(cè)量誤差為1.7ε=1.7 × 0.5 ≈0.85 nm RMS。這也表明由實(shí)驗(yàn)操作(添加兩個(gè)額外的測(cè)量)引起的誤差比由隨機(jī)誤差引起的誤差小得多。

綜上所述，本文提出的改進(jìn)的六步翻轉(zhuǎn)法可有效地同時(shí)重建四個(gè)表面的絕對(duì)面形和待測(cè)樣品的折射率均勻性分布，且其測(cè)量不確定度接近實(shí)驗(yàn)噪聲水平。測(cè)量不確定分析表明，高重復(fù)性干涉儀、溫度控制實(shí)驗(yàn)室和高穩(wěn)定性支撐工裝等是高精度光學(xué)表面測(cè)量所必需的基礎(chǔ)條件。同時(shí)，附加測(cè)量(如多次旋轉(zhuǎn))可進(jìn)一步降低隨機(jī)噪聲引起的測(cè)量不確定度。在實(shí)踐中，由于實(shí)驗(yàn)操作引起的誤差可以用誤差匹配方法來(lái)進(jìn)行評(píng)估和控制[24]。

此外，輸入折射率、回溯誤差、平板溫度梯度以及重新安裝引起的面形變化等因素，也會(huì)影響測(cè)量的不確定度。為了獲得更高精度的測(cè)量結(jié)果，必須在全面地了解整個(gè)測(cè)量過(guò)程的基礎(chǔ)上識(shí)別和控制這些系統(tǒng)誤差。這些誤差源也是影響其他絕對(duì)測(cè)量方法精度的主要因素[18-21,23-24]。

6 結(jié) 論

本文提出了一種改進(jìn)的六步翻轉(zhuǎn)法，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了平行平板絕對(duì)面形和均勻性的絕對(duì)測(cè)量，并開展了相應(yīng)的理論仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證工作。與傳統(tǒng)的透射方法不同，改進(jìn)的六步翻轉(zhuǎn)法不需要引入楔角，從而增強(qiáng)了方法的通用性。而與絕對(duì)面形檢測(cè)方法相比，本文提出的六步翻轉(zhuǎn)法不僅可以獲得四個(gè)面的絕對(duì)面形，還能同時(shí)獲得被測(cè)樣品的均勻性分布。理論仿真和實(shí)驗(yàn)研究驗(yàn)證了該方法的有效性，仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法的測(cè)量精度可以達(dá)到亞納米量級(jí)。測(cè)量不確定度分析表明，改進(jìn)的六步翻轉(zhuǎn)法相比傳統(tǒng)的四步透射法進(jìn)一步提高了測(cè)量不確定度。該方法可用于高精度平行平板的測(cè)量，并可推廣到大口徑光學(xué)平板的折射率均勻性和絕對(duì)面形測(cè)量。