廖秋雨，張煜熔，吳智杭，葉 婷，張克非

(1.西南科技大學(xué) 理學(xué)院，綿陽(yáng) 621010；2.西南科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，綿陽(yáng) 621010)

引 言

光子晶體(photonic crystal，PC)具有操縱光子和控制光波傳輸?shù)哪芰?，但光在其中傳播仍有一定的散射和損耗。將拓?fù)鋺B(tài)引入光子系統(tǒng)中[1]，革新了傳統(tǒng)光波的傳輸和控制。受拓?fù)浔Ｗo(hù)的光子器件具有強(qiáng)魯棒性，可對(duì)結(jié)構(gòu)缺陷免疫，但由于衍射極限的存在使得器件的微型化受到工程限制。石墨烯是由單層碳原子經(jīng)sp2雜化組成的新型2維納米材料[2]，具有獨(dú)特的電學(xué)和光學(xué)特性[3-5]，可充當(dāng)一種實(shí)現(xiàn)量子霍爾效應(yīng)的理想平臺(tái)，在納米量級(jí)尺度上實(shí)現(xiàn)拓?fù)浔Ｗo(hù)的光子態(tài)。表面等離子體有很強(qiáng)的局域性，可突破衍射極限，為實(shí)現(xiàn)納米尺寸的光電器件和全光集成電路提供了可能[6-9]。與傳統(tǒng)的貴金屬相比，將石墨烯作為表面等離激元材料不僅成本更低，還具有可調(diào)性等許多優(yōu)點(diǎn)。

2009年，OCHIAI等人[10]在石墨烯蜂窩晶格光子晶體中討論了狄拉克點(diǎn)、拓?fù)溥吔绲葍?nèi)容，并研究了其拓?fù)湎嘧儭?013年，KHANIKAEV等人[11-12]通過(guò)實(shí)驗(yàn)使2維光子拓?fù)浣^緣體和光的量子自旋霍爾效應(yīng)得以實(shí)現(xiàn)。2015年，CONSTANT等人[13]在石墨烯中通過(guò)紅外光的近場(chǎng)散射激發(fā)表面等離子體激元。2016年，SLOBOZHANYUK等人[14]設(shè)計(jì)了一種超材料光子晶體，具有工程各向異性，實(shí)現(xiàn)了拓?fù)浔Ｗo(hù)態(tài)，并證明了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的強(qiáng)魯棒性和無(wú)背向散射的特性。2017年，MA等人[15]用數(shù)值方法研究了石墨烯和1維光子晶體的復(fù)合結(jié)構(gòu)對(duì)光波的吸收屬性，發(fā)現(xiàn)復(fù)合結(jié)構(gòu)吸收譜具有類似1維光子晶體通帶結(jié)構(gòu)的吸收帶結(jié)構(gòu)。2018年，LU等人[16]基于3-D磁性Weyl光子晶體，設(shè)計(jì)了一種單向光纖的傳輸模式，通過(guò)打破了時(shí)間反演對(duì)稱性，實(shí)現(xiàn)了拓?fù)浔Ｗo(hù)。同年，SONG[17]基于石墨烯提出了拓?fù)涔庾泳w平板結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)拓?fù)溥吔鐟B(tài)并驗(yàn)證其魯棒性，證明了此結(jié)構(gòu)在60THz～120THz范圍的可調(diào)諧性。2019年，GAO等人[18]實(shí)現(xiàn)了光子晶體拓?fù)溥吔鐟B(tài)光子自旋引導(dǎo)機(jī)制的光波導(dǎo)，有效提高了波導(dǎo)的傳輸效率，加強(qiáng)了波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的光子局域性，抑制背向散射，實(shí)現(xiàn)魯棒性好的單向拓?fù)鋫鬏敗?020年，HAN等人[19]基于石墨烯在中紅外和太赫茲波段可以產(chǎn)生表面等離激元，設(shè)計(jì)了一種共振可調(diào)結(jié)構(gòu)，從而在納米尺度上有效控制石墨烯與光的相互作用。同年，BI等人[20]發(fā)明了一種硅基集成基于拓?fù)浔Ｗo(hù)機(jī)理的光隔離器件，通過(guò)拓?fù)淦脚_(tái)結(jié)構(gòu)，有效減小了器件體積，且具有較小損耗等優(yōu)勢(shì)。

綜上所述，光學(xué)拓?fù)鋺B(tài)的實(shí)現(xiàn)可更好地控制光在特定通道內(nèi)進(jìn)行傳播，同時(shí)具有高傳輸效率和低損耗的優(yōu)勢(shì)，引入石墨烯等離子體為把光集中在納米尺度進(jìn)行研究提供了依據(jù)。本文中基于石墨烯等離子體，提出一種新型2維光子晶體結(jié)構(gòu)，通過(guò)調(diào)節(jié)一個(gè)周期內(nèi)兩個(gè)石墨烯圓盤(pán)的直徑大小，最終實(shí)現(xiàn)拓?fù)溥吔鐐鬏攽B(tài)。研究結(jié)果可為在納米量級(jí)設(shè)計(jì)具有對(duì)結(jié)構(gòu)缺陷免疫的可調(diào)諧光子傳輸器件提供理論依據(jù)，給光學(xué)器件領(lǐng)域的研究注入新的活力。

1 理論分析與計(jì)算

空間反演對(duì)稱性和時(shí)間反演對(duì)稱性保護(hù)著狄拉克錐，但當(dāng)任意一個(gè)被破壞時(shí)，狄拉克簡(jiǎn)并將被打開(kāi)，產(chǎn)生拓?fù)鋷丁?/p>

量子霍爾效應(yīng)基于時(shí)間反演對(duì)稱性被破壞，用第一陳數(shù)C來(lái)描述此系統(tǒng)情況下的拓?fù)湫再|(zhì)，其表征整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的拓?fù)洳蛔兞浚荒茉谀芟堕]合的地方才會(huì)改變。引入Z2不變量[10]表征具有時(shí)間反演對(duì)稱性系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)：

(1)

式中，k是波矢,A(k)是貝里聯(lián)絡(luò)，Ω(k)是貝里曲率，B+表示半個(gè)布里淵區(qū)[21]，?B+為沿著半個(gè)布里淵區(qū)B+的邊界，dl表示在半個(gè)布里淵區(qū)里的路徑積分微元，mod 2表示除以2取余數(shù)，Z2=0為普通絕緣體，Z2=1為拓?fù)浣^緣體。

在霍爾電導(dǎo)實(shí)驗(yàn)中，垂直電導(dǎo)Rxx=零，霍爾電阻Rxy確定為定值量子化常數(shù)RH=h/ve2，v為填充數(shù)。對(duì)于整數(shù)量子霍爾效應(yīng)，霍爾電導(dǎo)為：

(2)

式中，h是普朗克常數(shù)，e是電子電荷，N為正整數(shù)。

本文中采取調(diào)節(jié)石墨烯圓盤(pán)的直徑大小來(lái)破壞晶格的時(shí)間反演對(duì)稱性來(lái)打開(kāi)狄拉克點(diǎn)，獲得拓?fù)鋷叮a(chǎn)生具有免疫結(jié)構(gòu)缺陷和背向散射的拓?fù)溥吔绫Ｗo(hù)態(tài)。

為控制同一周期內(nèi)兩個(gè)石墨烯圓盤(pán)的化學(xué)勢(shì)一致，運(yùn)用單層石墨烯上橫向磁(transverse magnetic，TM)模的色散關(guān)系，在的非延遲體系中β?k0，即：

(3)

式中，εair=1，εSiO2=3.9，分別是空氣和二氧化硅的介電常數(shù)，對(duì)應(yīng)于本研究中的表層材料和基底材料，ε0是自由空間的真空介電常數(shù)，k0=ω/c為自由空間中的波數(shù)，β是在表面等離子體激元在石墨烯層上的傳播常數(shù)，σg為石墨烯的表面電導(dǎo)率，ω是等離激元的角頻率，c是光速。

而石墨烯的帶間電導(dǎo)率為：

(4)

由上式可知，可通過(guò)施加外部電壓來(lái)控制兩個(gè)石墨烯圓盤(pán)的化學(xué)勢(shì)保持相同。基于控制變量法，僅調(diào)節(jié)兩個(gè)石墨烯圓盤(pán)的直徑大小來(lái)破壞時(shí)間反演對(duì)稱性。

2 石墨烯光子晶體結(jié)構(gòu)

本文中提出一種周期性蜂窩狀石墨烯表面等離激元光子晶體結(jié)構(gòu)。通過(guò)設(shè)置晶格常數(shù)a=50nm，石墨烯圓盤(pán)直徑d=0.42a，石墨烯圓盤(pán)圓心之間的距離R=31/2a/3，構(gòu)建出三角晶格的六格點(diǎn)原胞，如圖1中正六邊形所示，蜂巢晶格的初始兩格點(diǎn)原胞如圖1中菱形所示。為增加對(duì)稱性，提高簡(jiǎn)并度，以包含兩個(gè)石墨烯盤(pán)的菱形晶格為一個(gè)周期。其中3-D基底可采用SiO2材料，平面上的基底為石墨烯等離子體，周期性排列于基底上的圓盤(pán)均為石墨烯材料，共同組成蜂巢光子晶體結(jié)構(gòu)。

Fig.1 Graphene plasmon honeycomb photonic crystal structure diagram

如圖2所示，是三角晶格原胞結(jié)構(gòu)，在倒格矢空間相對(duì)應(yīng)的布里淵區(qū)(Brillouin zone，BZ)如圖3所示，Γ-M-K-Γ所圍成的區(qū)域作為不可約布里淵區(qū)。

Fig.2 Structure of primitive cell

Fig.3 Establishment of the BZ

3 仿真與分析

3.1 直徑調(diào)節(jié)與能帶拓?fù)湫?yīng)

對(duì)石墨烯等離激元光子晶體結(jié)構(gòu)的研究中發(fā)現(xiàn)，石墨烯圓盤(pán)的大小可打開(kāi)狄拉克點(diǎn)，對(duì)帶隙進(jìn)行改變，可實(shí)現(xiàn)能帶拓?fù)湫?yīng)。本小節(jié)中將研究直徑調(diào)節(jié)與能帶拓?fù)湫?yīng)的關(guān)系，將菱形晶格中的兩個(gè)石墨烯圓盤(pán)直徑分別設(shè)置為d1(左)和d2(右)，如圖4所示。

Fig.4 Graphene disks diameter setting

將背景基底的石墨烯等離激元的化學(xué)勢(shì)μ3設(shè)置為0.62eV，同一周期內(nèi)的兩個(gè)石墨烯圓盤(pán)化學(xué)勢(shì)保持一致，設(shè)置μ1=μ2=0.4eV，即δμ=0，避免化學(xué)勢(shì)差值對(duì)仿真結(jié)果的影響，其中，μ1和μ2分別是以d1和d2為直徑的石墨烯圓盤(pán)化學(xué)勢(shì)。當(dāng)d1=d2=0.42a，即δd=0時(shí)，仿真分析得其光場(chǎng)分布與能帶結(jié)構(gòu)如圖5所示。

Fig.5 Light field distribution and band structure

如圖5b所示，能帶圖中不存在帶隙，但在布里淵區(qū)角點(diǎn)K/K′相交形成的錐形色散，即狄拉克錐;D點(diǎn)為二重簡(jiǎn)并點(diǎn)，被稱作狄拉克點(diǎn)。

當(dāng)兩石墨烯圓盤(pán)直徑d1=0.4a，d2=0.44a時(shí)，仿真結(jié)果如圖6所示。狄拉克點(diǎn)被成功打開(kāi)，在15.3THz～15.8THz頻率范圍內(nèi)，獲得間隙為0.5THz的帶隙。

Fig.6 Light field distribution and band structure

當(dāng)兩石墨烯圓盤(pán)直徑d1=0.38a，d2=0.46a時(shí)，仿真結(jié)果如圖7所示?？梢?jiàn)狄拉克點(diǎn)可仍被成功打開(kāi)，在15.3THz～15.77THz頻率范圍內(nèi)，獲得間隙為0.47THz的帶隙。

Fig.7 Light field distribution and band structure

當(dāng)兩石墨烯圓盤(pán)直徑d1=0.36a，d2=0.48a時(shí)，仿真結(jié)果如圖8所示。可見(jiàn)狄拉克點(diǎn)仍被成功打開(kāi)，在15.3THz～15.75THz頻率范圍內(nèi)，獲得間隙為0.45THz的帶隙。

Fig.8 Light field distribution and band structure

此后還分別模擬分析d1=0.34a，d2=0.5a和d1=0.52a，d2=0.32a時(shí)的光場(chǎng)分布和能帶結(jié)構(gòu)，狄拉克點(diǎn)都可被成功打開(kāi)，并分別獲得了0.4THz與0.38THz的帶隙。

3.2 動(dòng)態(tài)可調(diào)諧分析

在第3.1節(jié)的研究分析中，基于周期內(nèi)石墨烯圓盤(pán)相同化學(xué)勢(shì)的狀態(tài)下，通過(guò)調(diào)節(jié)其石墨烯兩圓盤(pán)的大小能打開(kāi)狄拉克點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)能帶拓?fù)湫?yīng)，同時(shí)得到不同頻率范圍的帶隙。

當(dāng)直徑差值δd分別于0.04a，0.08a，0.12a，0.16a，0.2a動(dòng)態(tài)變化時(shí)，分別打開(kāi)了位于15.3THz～15.8THz，15.3THz～15.77THz，15.3THz～15.75THz，15.3THz～15.7THz，15.5THz～15.688THz范圍內(nèi)的帶隙?；谏鲜鲅芯?，對(duì)帶隙范圍和間隙大小的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

由圖9和圖10可見(jiàn)，當(dāng)一個(gè)周期內(nèi)的兩個(gè)石墨烯圓盤(pán)的直徑大小差值逐漸增加時(shí)，帶隙頻率范圍逐漸下移，通過(guò)直徑差值于0.04a～0.2a間以步長(zhǎng)為0.04a進(jìn)行調(diào)節(jié)，在頻率范圍15.3THz～15.8THz間實(shí)現(xiàn)可調(diào)諧。隨著圓盤(pán)大小差值增大，獲得帶隙寬度逐漸變窄。

Fig.9 Relationship between disc size adjustment and gap

Fig.10 Region of band gap change

實(shí)驗(yàn)表明，通過(guò)調(diào)節(jié)石墨烯圓盤(pán)的直徑，可在保持化學(xué)勢(shì)不變的狀態(tài)下，實(shí)現(xiàn)石墨烯拓?fù)涔怆娮悠骷?5.3THz～15.8THz頻段的工作范圍。

4 結(jié) 論

拓?fù)湫?yīng)革新了光子晶體中傳統(tǒng)光學(xué)傳輸?shù)恼J(rèn)知，在光子學(xué)領(lǐng)域具有巨大潛力。本文中提出一種新型石墨烯的等離激元光子晶體表面結(jié)構(gòu)，基于石墨烯圓盤(pán)直徑大小的調(diào)節(jié)，實(shí)現(xiàn)在15.3THz～15.8THz頻段內(nèi)動(dòng)態(tài)調(diào)制，具有工作的靈活性。理論計(jì)算分析表明，相較于普通的拓?fù)涔庾悠骷肓耸┖?，可有效提高光傳播性能；晶格常?shù)及模式體積均降至納米量級(jí)，比自由空間波長(zhǎng)小了近30倍，為納米量級(jí)的高集成度光電子傳輸器件的設(shè)計(jì)提供全新而有價(jià)值的理論依據(jù)。

作者下一步將在本文中提出的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，設(shè)想一種拓?fù)溥吔鐐鬏斖ǖ赖姆桨?。為更大程度地?shí)現(xiàn)器件的靈活性和可重構(gòu)性，通過(guò)調(diào)節(jié)以圖1菱形為周期的兩個(gè)石墨烯圓盤(pán)的直徑大小，于兩個(gè)石墨烯圓盤(pán)中間的結(jié)構(gòu)表面構(gòu)建通道，局域特定頻段的電磁波，實(shí)現(xiàn)拓?fù)溥吔鐐鬏敗?/p>

關(guān)于動(dòng)態(tài)控制的工作方式，提出控制通斷的光開(kāi)關(guān)功能：基于上述提出的通道，研究石墨烯圓盤(pán)的直徑差值，設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)通道打開(kāi)的樞紐：當(dāng)一個(gè)周期內(nèi)兩個(gè)石墨烯圓盤(pán)的面積存在差值時(shí)，該通道為導(dǎo)通狀態(tài)；當(dāng)直徑差值恢復(fù)為0時(shí)，通道關(guān)閉。