方玉龍，孫玉發(fā)，張華永

1.黃山職業(yè)技術(shù)學(xué)院醫(yī)學(xué)系，安徽黃山,245000;2.安徽大學(xué)電子信息工程學(xué)院，安徽合肥,230039

手征媒質(zhì)具有新奇的電磁特性，例如：旋光性、 圓二色性和負折射現(xiàn)象等，正是這些特性使其在化學(xué)、生物學(xué)、光學(xué)和微波技術(shù)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。從電磁本質(zhì)上來說，手征媒質(zhì)可以引起電場和磁場之間的耦合，體現(xiàn)在其本構(gòu)關(guān)系與電場和磁場均有關(guān)。電磁波經(jīng)過手征媒質(zhì)時的散射特性是手征媒質(zhì)電磁特性研究的重要內(nèi)容，為此很多學(xué)者已經(jīng)提出了多種理論和方法。其中，既有矩量法[1]和時域有限差分法[2]等數(shù)值方法,還有廣義Mie理論[3]和T矩陣法[4]等解析或半解析方法,它們成功解決了電磁波經(jīng)過手征球、圓柱以及任意形狀物體的散射問題。然而，這些研究還僅限于單個的散射體，對于存在手征結(jié)構(gòu)的多個散射體之間的耦合散射仍然是一個重要的課題。例如，手征平面與其上方球形粒子之間的耦合散射既具有重要的理論意義，同時在激光缺陷檢測、粒度分析、粒子操控以及近場超分辨成像等領(lǐng)域展現(xiàn)出了廣闊的應(yīng)用前景[5-7]。本文基于一種精確的解析方法，對上述耦合散射問題進行詳細研究。

1 理論公式

在自由空間傳播的平面波入射到半無限大手征媒質(zhì)上，即在手征媒質(zhì)的上方有一介質(zhì)球形粒子，其在直角坐標系Oxyz中來描述，而z=d為自由空間和手征媒質(zhì)的分界面，如圖1所示。入射波在分界面上會發(fā)生反射和折射，其中入射波和反射波照射到球粒子上將被散射。球粒子向下的散射場入射到分界面上，又會引起反射和折射，進一步引起球粒子的散射。這樣在分界面上的反射和球粒子的散射就會無限次的進行下去，此現(xiàn)象稱為球粒子和手征平面之間的耦合散射。顯然，耦合散射是一個復(fù)雜的過程，但是作為整體來說可以采取如下兩個步驟進行研究。

圖1 平面波入射下球粒子和手征平面耦合散射圖

1.1 球粒子不存在時平面波的反射和折射

入射平面波的電場和磁場可以用圓柱矢量波函數(shù)展開如下：

(1)

(2)

反射平面波的電場和磁場也可用圓柱矢量波函數(shù)相應(yīng)的展開為：

(3)

(4)

(5)

(6)

方程(1)—(6)中的展開系數(shù)可由如下的電磁場邊界條件確定：

(7)

其中下標r和φ分別表示相應(yīng)電磁場的r和φ分量。

把方程(1)—(6)代入方程(7)中可得如下關(guān)系式：

Im,TEeihd+ame-ihd=cmeih+d+dmeih-d

(8)

Im,TMcosαeihd-bmcosαe-ihd

(9)

Im,TEcosαeihd-amcosαe-ihd

(10)

(11)

從方程(8)—(11)組成的方程組即可求出反射場和折射場的展開系數(shù)，由于下面只用到反射場，僅給出反射場的展開系數(shù)am和bm如下：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

把方程(12)和(13)代入方程(3)和(4)，可得反射電磁場用反射系數(shù)表示的關(guān)系式，在后面研究球粒子和手征平面耦合散射時將用到。

1.2 球粒子與手征平面的耦合散射

雖然耦合散射是一個復(fù)雜的過程，但作為整體球粒子的散射場和內(nèi)部場可分別用第三和第一類球矢量波函數(shù)展開如下[8]：

(18)

(19)

為了下面在分界面z=d上應(yīng)用邊界條件，需要把散射場用球矢量波函數(shù)展開的表達式，即方程(18)轉(zhuǎn)化為圓柱矢量波函數(shù)的形式，為此需要用到如下的轉(zhuǎn)換關(guān)系式[10]：

(20)

把方程(20)代入(18)，可得散射場用圓柱矢量波函數(shù)展開的關(guān)系式為：

(21)

同理，雖然球粒子和手征平面之間存在耦合散射，但作為整體散射場的反射場仍可用圓柱矢量波函數(shù)展開，其中的反射系數(shù)與方程(14)—(17)一致，具體可表示為：

(22)

把參數(shù)(AB)m(α)代入方程(22)，可得：

(23)

(24)

為了求解方程(18)和(23)中的展開系數(shù)αmn和βmn，還需用到球粒子表面的邊界條件：

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

其中Umn′n,Vmn′n,Kmn′n和Lmn′n的表達式分別為：

(30)

(31)

2 數(shù)值結(jié)果和討論

通常實際應(yīng)用中只關(guān)心上半平面，即π/2<θ≤π區(qū)域內(nèi)的散射場。取散射場Es及其反射場Ers在k0r→∞的漸近表達式，可定義如下的微分散射截面(DSCS):

(32)

其中λ0為入射波長，其他參數(shù)為：

(33)

(34)

為了驗證本文的理論方法，圖2給出了與文獻[11]的比較。文獻[11]采用T矩陣法研究了球形粒子與介質(zhì)平面的耦合散射。當(dāng)手征媒質(zhì)的手征參數(shù)κ=0時，則手征媒質(zhì)就成為通常的介質(zhì)。在圖2中，給出了TM極化平面波照射下球形粒子與介質(zhì)平面耦合散射的歸一化微分散射截面，其中球形粒子在介質(zhì)平面上或在其上方一定位置處，結(jié)果與文獻[11]中圖4吻合的很好。

圖2 TM極化平面波照射下的歸一化微分散射截面

圖3給出了TE和TM極化平面波照射下歸一化微分散射截面的比較，其中球形粒子在手征平面上。從圖3中可以看出由于手征平面的反射以及與球粒子的耦合散射，使θ=135°和θ=225°處出現(xiàn)耦合散射強度的極大值。與 TE極化相比，TM極化平面波照射下歸一化微分散射截面的曲線振蕩較少，這可解釋為由于TM極化平面波反射的布儒斯特角現(xiàn)象[9]，導(dǎo)致耦合散射較弱。

圖3 TE和TM極化平面波照射下歸一化微分散射截面

圖4(a)和(b)分別展示了不同的手征參數(shù)對TE和TM極化平面波照射下歸一化微分散射截面的影響?？梢钥闯鍪终鲄?shù)對TM極化平面波照射下散射強度的影響較大，這與手征參數(shù)對TM極化平面波的反射系數(shù)影響較大的結(jié)論一致。

圖4 極化平面波照射下的歸一化微分散射截面

本文的數(shù)值結(jié)果由Matlab程序計算，其中用到的球貝塞爾函數(shù)和連帶勒讓德函數(shù)這兩個特殊函數(shù)調(diào)用自Matlab函數(shù)庫。由于采用了精確的解析方法，很多結(jié)果已推導(dǎo)出解析表達式，所編的程序占用內(nèi)存很小，約40 KB。程序在用高斯積分法數(shù)值求積分和用高斯消去法求解由方程(26)—(29)組成的方程組時運行較慢，但整體運行時間在一分鐘以內(nèi)，效率較高。

3 結(jié) 語

本文通過把相應(yīng)的場用適當(dāng)?shù)那蚧驁A柱矢量波函數(shù)展開，并應(yīng)用球矢量波函數(shù)與圓柱矢量波函數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，以及電磁場邊界條件，給出了一種研究手征平面與其上方的介質(zhì)球耦合散射的解析方法。針對不同情況，給出了歸一化微分散射截面的數(shù)值結(jié)果。其中當(dāng)κ=0時，本文所研究的內(nèi)容就成了球形粒子與介質(zhì)平面的耦合散射，結(jié)果與有關(guān)文獻進行了比較，吻合的很好，在很大程度上驗證了本文的理論方法。另外結(jié)果還表明在θ=π-ζ處出現(xiàn)耦合散射強度的極大值，與TE極化相比，TM極化平面波照射下耦合散射較弱，而手征參數(shù)對耦合散射的影響較大。本文的耦合散射理論為進一步研究和應(yīng)用手征媒質(zhì)提供了一個新的途徑，而耦合散射也在諸多理論和應(yīng)用問題的研究中體現(xiàn)出了重要的價值。