張雪嬌, 劉官廳,2

(1.內(nèi)蒙古師范大學 數(shù)學科學學院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022;2.內(nèi)蒙古師范大學 應用數(shù)學中心,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

繞流現(xiàn)象是生活生產(chǎn)和工業(yè)工程中非常普遍的現(xiàn)象,無論是氣體還是液體繞流都會對物體產(chǎn)生一定的影響[1-4]。因此,研究繞流現(xiàn)象具有重要的現(xiàn)實意義。目前,關于圓柱繞流的研究在數(shù)值和實驗上都有許多成熟的結果[5-8]。此外,人們一直致力于研究具有簡單邊界的物體繞流。Zhou等[9]對帶有上游分流板的圓柱體周圍的流動進行了實驗研究。紀雪林等[10]對橢圓柱繞流問題進行了分析,得出了橢圓柱周圍流場的壓強和速度的一些特征。

與圓柱繞流運動相比,帶有板的圓柱繞流運動要復雜得多,這是由于板與圓柱之間相互影響,并且板包含端點。本文研究了無粘性不可壓縮流體的帶有兩對對稱平板的圓柱繞流運動問題。該模型的實際應用也非常廣泛,海底石油鉆井平臺就是一個典型例子。對于具有復雜邊界物體的繞流運動,使用奇點迭代方法和鏡像法很難求出此種復雜繞流問題的復勢函數(shù)。因此,根據(jù)復勢函數(shù)的特征,用復變方法中的保角變換[11]來得出本文所研究問題的復勢函數(shù),然后利用復變方法得到速度勢函數(shù)和流函數(shù)。進行對比分析發(fā)現(xiàn)本文的研究結果與實際流動非常吻合。

1 問題陳述

速度為V∞、流動沖角為α的無粘性不可壓縮均勻流體繞帶有兩對對稱平板的圓柱體流動。圓柱的半徑為R,平板的長度分別為a-R和c-R。流體做平面運動,并把該平面看作物理平面z,設在z平面的流動是平面定常無旋的且不考慮環(huán)量。流動形式如圖1所示,分析該流場的速度和壓力分布。

圖1 物理平面zFig.1 Physical plane z

2 基本方程

2.1 無粘性不可壓縮流體無旋運動的速度勢函數(shù)

無粘性不可壓縮流體的無旋運動是真實流體運動在一定條件下的簡化,其研究具有重要的實際意義。無粘性不可壓縮流體運動滿足連續(xù)性方程[12]

divv=0

(1)

和運動方程

(2)

其中v是流體速度,Fb是質(zhì)量力,ρ是流體密度,p是流體壓強。此外,還應滿足邊界條件。顯然這組方程是非線性的,而且速度和壓強耦合,直接求解比較困難。

?2φ=0。

(3)

這是一個拉普拉斯方程,在一定的邊界條件下可以求解。對于正壓流體和體力有勢的情況,當流動無旋時,有拉格朗日積分

(4)

這樣,無粘性不可壓縮流體無旋運動的基本方程組變?yōu)?/p>

?2φ=0,

(5)

(6)

邊界條件視具體邊界而定。方程(5)是拉普拉斯方程,數(shù)學上已有許多方法可求其通解。當流體在流動過程中,各場變量不隨z方向發(fā)生變化時,其流動可看作是平面流動,本文只討論平面無旋流動。

2.2 不可壓縮流體平面運動的流函數(shù)

如果流體做平面運動,取此平面為x-y平面,則連續(xù)性方程可以寫為[12]

(7)

對于平面流動,流體渦量ω只有z軸方向上的分量,記為ω=ωk。從而有ω=-?2ψk,又可以寫為

ω=-?2ψ。

(8)

且在無旋運動的情況下,方程(8)化為

?2ψ=0。

(9)

于是,對于本文所討論的無粘性不可壓縮流體的平面無旋運動,流函數(shù)ψ(x,y)也滿足拉普拉斯方程。

2.3 平面無旋運動的復勢

無粘性不可壓縮流體的平面無旋運動可以引進速度勢函數(shù)φ或流函數(shù)ψ來求解,且從上述討論可知道其滿足拉普拉斯方程。根據(jù)定義,在直角坐標系中有[12]

(10)

即這兩個調(diào)和函數(shù)還滿足柯西-黎曼條件。因此它們可以組成一個解析函數(shù),即

W(z)=φ(x,y)+iψ(x,y),

(11)

2.4 流場中的速度及壓強分布

平面運動流場中任意一點處的流體速度大小為

(12)

流場中任意一點處的壓強p可由伯努利方程求出

(13)

其中V∞、p∞、ρ∞分別為均勻來流的速度、壓強和密度。此處定義壓強系數(shù)[12]

(14)

以此來描述流場中的壓強分布。

3 帶兩對對稱平板的圓柱繞流問題的解析解

3.1 基本思想

如果C*是半徑為r的圓,則ζ平面上的復勢函數(shù)為[12]

(15)

W*(ζ)=W*(F-1(z))=W(z)。

(16)

3.2 保角變換和復勢函數(shù)

對于圖1所示的流動問題,利用如下保角變換[11]

(17)

(18)

該逆變換把z平面上帶兩對對稱平板的圓柱的外部區(qū)域映射到ζ平面上單位圓的外部區(qū)域,如圖2所示。

圖2 輔助平面ζ Fig.2 Auxiliary plane ζ

(19)

分離W(z)的實部和虛部,有

(20)

3.3 速度勢函數(shù)和流函數(shù)

從(20)式,可得φ(x,y)和ψ(x,y)分別為

(21)

(22)

其中:θ,β,k1和k2與上述相同。由此可見速度勢函數(shù)φ(x,y)和流函數(shù)ψ(x,y)與θ,β,k1和k2是相關的。

根據(jù)勢函數(shù)和流函數(shù)的定義,令φ(x,y)=const,可以得到等勢線。同理,令ψ(x,y)=const,可以得到流線。再由(12)式-(13)式,根據(jù)勢函數(shù)和流函數(shù)可以得到壓強系數(shù),并且可以據(jù)此分析流場的速度和壓強分布。

4 數(shù)值算例

4.1 速度勢函數(shù)與流函數(shù)的計算

(23)

(24)

根據(jù)θ和β的不同取值,將物理平面z(除圓柱外)分為幾個不同區(qū)域,如圖3所示。

圖3 幾個不同區(qū)域Fig.3 Several different areas

為了保證物理平面z和輔助平面ζ的一一對應,需要對k1和k2的值進行討論,在區(qū)域1至區(qū)域5取k1=k2=1,在區(qū)域6至區(qū)域10取k1=k2=0。

(25)

(26)

同理,可以得到其他9個區(qū)域的速度勢函數(shù)和流函數(shù),不再贅述。

4.2 流線圖和等勢線圖

根據(jù)每個區(qū)域中流函數(shù)的表達式,令ψ(x,y)=const并取適當?shù)腸onst值,可以繪制出每個區(qū)域的流線圖,進而可以得到完整的流線圖,如圖4所示。類似地,可以得到完整的等勢線圖,如圖5所示。

圖4 完整流線圖 圖5 完整等勢線圖Fig.4 Complete streamline diagram Fig.5 Complete equipotential line diagram

由圖4可知,流動情況與實際流動相符,在點(-1,0),(1,0),(0,-i)和(0,i)沒有流線通過,因此這四個點處的流體速度為0 m/s。在大約(0,-2.1i)和(0,2.1i)處,流線垂直于豎直方向的平板,因此這兩點的流體速度也為0 m/s。這些點稱為流場的駐點。流線在(-2,0),(2,0)和大約(0,-3.5 i),(0,3.5 i)點處匯集,因此理論上在這些點處的流體速度是無窮大的,這些點稱為流場的奇點。如圖5所示,物體附近的等勢線垂直于平板,遠離物體的等勢線逐漸變直。

4.3 壓強系數(shù)

不同區(qū)域的壓強系數(shù)不相同,從圖3可以看出,水平板的下側(cè)在區(qū)域7中,因此可以利用區(qū)域7的勢函數(shù),根據(jù)(12)式-(14)式,可以得出位于區(qū)域7中的水平板下側(cè)的壓強系數(shù)為

(27)

然后,繪制出區(qū)域7中水平板下側(cè)的壓強系數(shù)圖,如圖6所示。類似地,可以繪制出區(qū)域7中的圓柱表面的壓強系數(shù)圖,如圖7所示。

從圖6和圖7可得,在x=-1和x=0處cp=1,這是cp的最大值。表明壓強也達到最大值2 000+p∞,在這里的流體速度是0 m/s。大約在x=-1.77處,cp=0,壓強等于p∞,速度等于V∞=2 m/s。在x=-2處,cp=-∞,壓強為負無窮大,速度為無窮大。這與流線圖反映的流動情況一致。

圖6 區(qū)域7中水平板下側(cè)的壓強系數(shù)圖 圖7 區(qū)域7中圓柱表面的壓強系數(shù)圖Fig.6 Pressure coefficient diagram of the lower Fig.7 Pressure coefficient diagram of side of the horizontal plate is in area 7 cylindrical surface in the area 7

同理,可得其他區(qū)域的壓強系數(shù)圖,進而分析出特殊點處的壓強和速度,此處不再贅述。

5 幾種流動沖角取其他值的情形

5.1 流動沖角α=0

(28)

(29)

同理,可得到其他幾個區(qū)域的速度勢函數(shù)和流函數(shù),并繪制流線圖和等勢線圖,如圖8和圖9所示。

圖8 α=0時的流線圖 圖9 α=0時的等勢線圖Fig.8 Streamlines diagram of α=0 Fig.9 Equipotential lines diagram of α=0

如圖8、圖9所示,在這種情況下,水平平板對流場沒有影響。在點(-1,0),(1,0),(0,-i)和(0,i)沒有流線經(jīng)過,這四個點的流體速度為0 m/s。在點(-2,0)和(2,0)處,流線垂直于水平平板,這兩點的流體速度也為0 m/s,這些點稱為流場的駐點。流線在(0,-3.5 i)和(0,3.5 i)處匯集,理論上在這些點處的流體速度是無窮大的,這些點稱為流場的奇點。

利用相同的方法,繪制區(qū)域7和區(qū)域9中y軸左側(cè)和圓柱表面的壓強系數(shù)圖,如圖10所示。

根據(jù)圖10(a)和(c),并結合計算,可知大約在y=±3.6處,cp取最小值負無窮大,這表明此處的速度為無窮大,壓強為負無窮大。通過圖10(b),可知在y=0和y=±1處,cp取最大值1,此時壓強也取最大值2 000+p∞,流體速度為0 m/s。這與流線圖中的結果一致。

圖10 區(qū)域7和區(qū)域9中的壓強系數(shù)圖Fig.10 Pressure coefficient diagram in regions 7 and 9

5.2 流動沖角

與上述算例相同,這種情形下區(qū)域1中的速度勢函數(shù)和流函數(shù)分別為

(30)

(31)

流線圖和等勢線圖如圖11-圖12所示。流線圖中,在點(-1,0),(1,0),(0,-1)和(0,1)處沒有流線,表明當流體流過這些點時,流體速度等于0 m/s。在(0,-3 i)和(0,3 i)處,流線垂直于豎直平板,這兩點的流體速度也為0 m/s,這些點稱為流場的駐點。在(-2,0)和(2,0)處流線匯集,此處的流體速度等于無窮大,這兩個點稱為流場的奇點。流動形式與實際情況相符。

圖11 α=π/2時的流線圖 圖12 α=π/2時的等勢線圖 Fig.11 Streamlines diagram at α=π/2 Fig.12 Equipotential lines at α=π/2

區(qū)域4和區(qū)域7中的平板和圓柱表面的壓強系數(shù)如圖13所示。從圖13(a)可知,在x=-2處,cp=-∞,這表明此處的流體速度為無窮大,壓強為負無窮大。從圖13(b)可知,在x=±1和x=0處,cp=1,這是cp的最大值。此處壓強也取最大值2 000+p∞,流體速度為0 m/s。這與流線圖中的結果一致。

6 十字型平板繞流問題

6.1 保角變換、速度勢函數(shù)和流函數(shù)

下面研究無粘性不可壓均勻流體的十字型平板繞流問題。流動形式如圖14所示。

保角映射退化為

(32)

(32)式的逆映射為

(33)

該逆映射把十字型平板外部區(qū)域映射到單位圓外部區(qū)域,如圖15所示。

(34)

分離W(z)的實部和虛部,得到速度勢函數(shù)和流函數(shù)如下

(35)

(36)

其中γ是(x2-y2+c2)+i2xy的輻角,k1=0或1。λ是(x2-y2-a2)+i2xy的輻角,k2=0或1。

6.2 數(shù)值算例

(37)

(38)

其中:γ是(x2-y2+4)+i 2xy?X1′+iY′的輻角,k1=0或1;λ是(x2-y2-1)+i 2xy?X2′+iY′的

輻角,k2=0或1。根據(jù)γ和λ的不同取值,將平面分成如圖16所示的幾個區(qū)域,并且在區(qū)域1-區(qū)域5令k1=k2=1,在區(qū)域6-區(qū)域10令k1=k2=0。

圖16 不同區(qū)域Fig.16 Different regions

(39)

(40)

同理,還可以得出其他區(qū)域的速度勢函數(shù)和流函數(shù),并繪制出流線圖和等勢線圖,如圖17和圖18所示。如流線圖所示,原點處不存在流線,并且在(0,-1.25 i)和(0,1.25 i)處流線垂直于平板,因此這三個點處的流體速度均為0 m/s。在(-1,0),(1,0),(0,-2 i)和(0,2 i)處流線匯集,這表示此處的流體速度等于無窮大。

圖17 流線圖 圖18 等勢線圖Fig.17 Streamline diagram Fig.18 Equipotential line diagram

區(qū)域7中物體表面的壓強系數(shù)如圖19所示,在x=-1處,cp=-∞,這表明此處流體速度為無窮大,壓強為負無窮大。在x=0處,cp=1,這是cp的最大值。此處壓強也達到最大值2 000+p∞,速度為0 m/s。這些均與流線圖的結果一致。

圖19 區(qū)域7中水平平板的壓強系數(shù)圖Fig.19 Pressure coefficient diagram of horizontal plate in area 7

7 結論

本文通過共形映射方法,研究了無粘性不可壓縮均勻流體繞帶兩對對稱平板的圓柱和十字型平板流動的問題?？梢缘玫揭韵陆Y果：

(1) 在流場駐點處,流體速度為0,壓強達到最大值;

(2) 在流場奇點處,流體速度是無窮大,壓強是負無窮大;

(3) 當均勻來流的方向平行于平板時,平板對流場無影響;

(4) 不同的流動沖角對壓強系數(shù)的影響不同,對流場中壓強和速度的影響也不同。

這些結果為后續(xù)研究提供了理論基礎,從流線圖和等勢線圖可以看出,本文的流動情況與實際流動情形吻合較好。