李德奎

(甘肅中醫(yī)藥大學(xué) 定西校區(qū) 理科教學(xué)部，甘肅 定西 743000)

自從美國(guó)氣象學(xué)家LORENZ提出了LORENZ混沌系統(tǒng)[1]以來，混沌系統(tǒng)的構(gòu)造和控制得到了廣大學(xué)者的普遍關(guān)注。陳關(guān)榮和呂金虎利用混沌反控制方法，分別發(fā)現(xiàn)了著名的CHEN系統(tǒng)[2]和Lü系統(tǒng)[3]。隨后LIU構(gòu)造了一個(gè)四翼混沌系統(tǒng)[4]，盡管后來被證明該四翼混沌系統(tǒng)是假的, 卻引起了學(xué)術(shù)界對(duì)四翼和多翼混沌系統(tǒng)研究的興趣。文獻(xiàn)[5]提出一個(gè)具有雙曲正弦非線性項(xiàng)的四翼三維混沌系統(tǒng)。文獻(xiàn)[6]構(gòu)造了一個(gè)具有四翼吸引子的超混沌系統(tǒng)，計(jì)算出其最大Lyapunov指數(shù)值為5.879 4，并分析了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。文獻(xiàn)[7]構(gòu)造了一個(gè)四翼超混沌系統(tǒng)，利用數(shù)值仿真的方法，繪制了系統(tǒng)的分岔圖及Lyapunov指數(shù)譜，分析了隨參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的演化，但其最大Lyapunov指數(shù)值小于1，系統(tǒng)的混沌特性不強(qiáng)。文獻(xiàn)[8]基于三八超混沌系統(tǒng)[9]，通過增加一個(gè)外激勵(lì)信號(hào)的方法，得到了一個(gè)新四翼超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有兩個(gè)正的Lyapunov指數(shù)值，且最大Lyapunov指數(shù)值為6.146 2，具有較強(qiáng)的混沌特性，在工程技術(shù)領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。

混沌系統(tǒng)是非線性隨機(jī)系統(tǒng)，對(duì)初值具有極端敏感性，因此對(duì)混沌的控制和應(yīng)用是科學(xué)界長(zhǎng)期以來普遍關(guān)注的焦點(diǎn)課題，并取得了豐碩的研究成果[10]?；煦缈刂频闹姆椒ㄓ校簠?shù)微擾法[10]、時(shí)滯反饋控制法[11]、自適應(yīng)控制法[12]、滑?？刂品╗13]、線性反饋控制法等。其中，參數(shù)微擾法是1990年美國(guó)Maryland大學(xué)的三位科學(xué)家OTT,GRELOGI和YORKE提出的一種混沌控制方法，后來為了紀(jì)念這三位科學(xué)家，將這種方法稱為OGY方法。在混沌系統(tǒng)參數(shù)已知的條件下，線性反饋控制法具有控制系數(shù)易于計(jì)算、控制器結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單，電路實(shí)現(xiàn)容易等優(yōu)點(diǎn)。

基于以上討論，本文通過Lyapunov指數(shù)方法，分析新四翼超混沌系統(tǒng)的混沌特性，并構(gòu)造線性反饋控制器，對(duì)其進(jìn)行線性反饋控制，為新四翼超混沌系統(tǒng)在工程技術(shù)中的應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)。

1 新四翼超混沌系統(tǒng)

文獻(xiàn)[8]基于三八超混沌系統(tǒng)[9]，通過增加一個(gè)外激勵(lì)信號(hào)的方法，得到了一個(gè)新四翼超混沌系統(tǒng)，其微分方程組為，

(1)

式中：g(t)=sgn(sinωt)是周期為2π/ω的符號(hào)函數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)a=10,b=28,c=2,θ=4,k=8，ω=1時(shí)，系統(tǒng)處于超混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，且具有如圖1所示的四翼超混沌吸引子。

圖1 四翼超混沌系統(tǒng)(1)的吸引子相圖

Lyapunov指數(shù)是對(duì)系統(tǒng)任意相鄰相軌線平均發(fā)散程度或收斂程度的一種度量，是判斷混沌最有效的一種定量方法。當(dāng)系統(tǒng)沒有正Lyapunov指數(shù)時(shí)，認(rèn)為系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)具有一個(gè)正Lyapunov指數(shù)時(shí)，認(rèn)為系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)具有兩個(gè)或兩個(gè)以上正Lyapunov指數(shù)時(shí)，認(rèn)為系統(tǒng)處于超混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。同時(shí)，當(dāng)混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)越大，系統(tǒng)的混沌行為越強(qiáng)。表1給出了新四翼超混沌系統(tǒng)和其它經(jīng)典混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)值。

表1 系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)值表

從表1可以看出，與其它經(jīng)典混沌系統(tǒng)或超混沌系統(tǒng)相比較，新四翼超混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)值最大，新四翼超混沌系統(tǒng)的混沌特性更強(qiáng)。因此，該系統(tǒng)在保密通信、圖像加密、生物醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。

混沌控制是混沌應(yīng)用的前提，也是混沌研究的最重要領(lǐng)域。同時(shí)，利用結(jié)構(gòu)形式最簡(jiǎn)單、電路容易實(shí)現(xiàn)的控制器實(shí)現(xiàn)混沌控制，是混沌控制研究的不懈追求。本文對(duì)新四翼超混沌系統(tǒng)利用狀態(tài)反饋控制器進(jìn)行控制，將系統(tǒng)的混沌狀態(tài)控制到預(yù)期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

2 線性反饋控制

設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，使系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期的穩(wěn)定狀態(tài)，最常見的反饋控制就是對(duì)系統(tǒng)的所有狀態(tài)進(jìn)行線性反饋控制。若能夠?qū)ο到y(tǒng)(1)盡可能少的狀態(tài)變量進(jìn)行線性反饋控制，則控制的結(jié)構(gòu)形式就更加簡(jiǎn)單，電路實(shí)現(xiàn)更加容易。但經(jīng)過推算，僅對(duì)系統(tǒng)(1)的某一個(gè)狀態(tài)變量實(shí)施線性反饋控制，不能夠消除其混沌行為而趨于穩(wěn)定狀態(tài)。若對(duì)系統(tǒng)(1)的任意兩個(gè)及以上狀態(tài)變量實(shí)施線性反饋控制，就能夠使系統(tǒng)穩(wěn)定到預(yù)期的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

不失一般性，僅對(duì)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)變量y和u進(jìn)行控制，取線性反饋控制器為v2=my，v4=nu，新四翼超混沌系統(tǒng)(1)對(duì)應(yīng)的受控系統(tǒng)描述為，

(2)

在參數(shù)已知情況下，為了討論反饋增益系數(shù)m和n滿足什么條件時(shí)，受控的四翼新超混沌系統(tǒng)(2)能夠穩(wěn)定到原點(diǎn)，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為，

(3)

顯然V是正定的，V對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為，

-XTP(m,n)X

(4)

系統(tǒng)(1)在其所給參數(shù)空間處于超混沌運(yùn)動(dòng)，通過線性反饋控制器作用，要使得系統(tǒng)(2)消除混沌處于穩(wěn)定狀態(tài)，需要矩陣P(m,n)是正定的。根據(jù)系統(tǒng)(1)給出的參數(shù)a=10，b=28，c=2，θ=4，k=8，ω=1可知，矩陣正定的充要條件，也就是系統(tǒng)(2)穩(wěn)定于原點(diǎn)的充分條件為，

(5)

由式(4)可得，

(6)

根據(jù)式(3)，式(6)可寫成，

V≤V(0)e-2λmin(P(m,n))t

(7)

式中：V(0)為式(3)所述的Lyapunov函數(shù)的初值條件，于是可得到下面的結(jié)論。

定理1如果線性反饋控制器的增益系數(shù)m和n滿足(5)式，那么受控的新四翼超混沌系統(tǒng)(2)指數(shù)穩(wěn)定于原點(diǎn)。

3 數(shù)值仿真

根據(jù)系統(tǒng)(2)參數(shù)a=10，b=28，c=2，θ=4，k=8，ω=1，系統(tǒng)(2)穩(wěn)定于原點(diǎn)的充分條件(5)可化為，

(8)

反饋控制增益系數(shù)m和n所表示的平面被分成三部分(如圖2所示)，分別為區(qū)域(I)、(II)和(III)，其中不等式組表示的區(qū)域(I)稱為控制域，區(qū)域(II)和(III)為非控制域。

圖2 反饋控制增益系數(shù)m和n所示的區(qū)域圖

從圖2可以看出，新四翼超混沌系統(tǒng)具有很大的控制域。為了驗(yàn)證控制器對(duì)新四翼超混沌系統(tǒng)(1)的控制效果，分別任意選取控制域(I)中的A點(diǎn)和非控制域中的B點(diǎn)設(shè)置控制器，選取系統(tǒng)(1)初始值為(x(0),y(0),z(0),u(0))=(6，2，2，3)，觀察受控系統(tǒng)(2)狀態(tài)變量的變化情況。

圖3所示為控制域(I)中A點(diǎn)線性反饋控制器對(duì)新四翼超混沌系統(tǒng)的控制效果。當(dāng)t∈[0,20]時(shí)，系統(tǒng)(1)處于超混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在t=20 s時(shí)，對(duì)系統(tǒng)(1)施加線性反饋控制器v2=my，v4=nu，其中m=40和n=30。當(dāng)t∈[20,40]時(shí)，受控系統(tǒng)(2)的各狀態(tài)變量迅速趨于零，說明在控制域(I)中任意選取一點(diǎn)，設(shè)計(jì)線性反饋控制器，能夠?qū)⑿滤囊沓煦缦到y(tǒng)(1)的各狀態(tài)變量控制到原點(diǎn)。

圖3 反饋控制增益系數(shù)m=40和n=30時(shí)受控系統(tǒng)(2)狀態(tài)變量的時(shí)間序列圖

圖4所示為非控制域(II)中B點(diǎn)線性反饋控制器對(duì)新四翼超混沌系統(tǒng)的控制效果。當(dāng)t∈[0,20]時(shí)，系統(tǒng)(1)處于超混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在t=20 s時(shí)，對(duì)系統(tǒng)(1)施加線性反饋控制器v2=my，v4=nu，其中m=20和n=20。當(dāng)t∈[20,40]時(shí)，受控系統(tǒng)(2)的狀態(tài)變量z不能趨向于零，說明在控制域外的區(qū)域任意選取一點(diǎn)，設(shè)計(jì)線性反饋控制器，不能夠?qū)⑿滤囊沓煦缦到y(tǒng)(1)的狀態(tài)變量控制到原點(diǎn)。

圖4 反饋控制增益系數(shù)m=20和n=20系統(tǒng)(2)狀態(tài)變量的時(shí)間序列圖

4 結(jié)論

對(duì)新四翼超混沌系統(tǒng)的Lyapunov研究發(fā)現(xiàn)，其最大Lyapunov指數(shù)值大于一些經(jīng)典混沌系統(tǒng)或超混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)值。進(jìn)一步說明新四翼超混沌系統(tǒng)的具有更強(qiáng)的混沌特性，在實(shí)際工程技術(shù)領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。

通過推算發(fā)現(xiàn)僅對(duì)新四翼超混沌系統(tǒng)中某一個(gè)狀態(tài)變量實(shí)施線性反饋控制，不能夠徹底消除其混沌行為，如果對(duì)其任意兩個(gè)及以上狀態(tài)變量實(shí)施線性反饋控制，就能夠使系統(tǒng)穩(wěn)定到原點(diǎn)。通過對(duì)其狀態(tài)變量y和u進(jìn)行線性反饋控制，發(fā)現(xiàn)新四翼超混沌系統(tǒng)具有很大的控制域。

在控制域內(nèi)任取一點(diǎn)，設(shè)計(jì)線性反饋控制器，能夠?qū)⑿滤囊沓煦缦到y(tǒng)的狀態(tài)變量指數(shù)穩(wěn)定到原點(diǎn)，在控制域以外的非控制域所取的點(diǎn)，設(shè)計(jì)的線性反饋控制器不能使其狀態(tài)變量穩(wěn)定到原點(diǎn)。