孫利民，狄方殿，陳 林，許映梅

（1.同濟大學土木工程學院，上海 200092；2.同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，上海200092；3.江蘇蘇通大橋有限責任公司，江蘇南通 226017）

纜索承重結構是一種非常重要的土木建筑結構，主要包括斜拉橋結構、懸索橋結構和桅桿結構。拉索承受軸向拉力，索的截面尺寸、單位長度質量和橫向剛度小，自身阻尼較小，易發(fā)生振動，并且振動呈現(xiàn)出多模態(tài)、多機理的特點［1］。目前，拉索振動最常用的控制方法主要有：對拉索護套表面進行氣動措施處理，包括繞螺旋線和壓制凹坑等方式，主要通過破壞拉索與風雨的耦合機制減振［2-4］；拉索在靠近錨固點的位置增設阻尼器，使索在跨內橫向與其連接的結構（如塔、梁）相連，增加索橫向振動時的能量耗散能力，達到減振抑振的目的［5-7］；采用輔助索將相鄰的拉索進行連接，提高索整體剛度和耗能能力［8-10］。

拉索減振方案中，綜合采用氣動措施和索端阻尼器方案的應用最為廣泛。阻尼器起主要的耗能作用，對不同機理和模態(tài)的振動均有抑制效果［7］。拉索易發(fā)生低階模態(tài)的風雨振動，如前5階振動或者振動頻率為0～3.0 Hz的模態(tài)振動，因此安裝在索與梁之間的阻尼器需要針對這些模態(tài)進行參數優(yōu)化［11］。采用的阻尼器一般為黏滯阻尼器、油阻尼器或者黏性剪切阻尼器［7，12］。相比于長索（如300 m以上），短索的基頻相對較大，在外部激勵荷載作用下可能出現(xiàn)的振動階數較少，通常為前5階以下。因此，在阻尼器的優(yōu)化設計時通常只考慮少數幾階振動模態(tài)，安裝單個阻尼器一般可以滿足減振要求。對于長索，索基頻較低，外部荷載作用下可能激勵起的索振動模態(tài)較多［7，13］。為了控制拉索的多階模態(tài)振動，阻尼器需要較大的安裝高度。長索安裝單個阻尼器已經難以滿足減振要求。另外，安裝阻尼器的長索仍然存在高階高頻渦激振動的隱患，在實際橋梁中已經觀測到此類振動［14-15］。已安裝的阻尼器不能有效控制長索高階渦振的原因主要有兩點：出現(xiàn)的高階渦激振動振型在阻尼器處剛好為駐點，即渦激振動時該阻尼器位置不振動，阻尼器在索振動中不發(fā)生變形就不能起到減振作用；一般采用黏滯阻尼器、黏性剪切阻尼器或者其他阻尼器，這些阻尼器在較低頻率下具有較好的耗能作用，在高頻渦振下阻尼器的減振性能不足［16］。

工程實踐中，已有在索套管口處安裝橡膠填充物的案例，用于防止索大幅振動導致錨固位置出現(xiàn)過大的二次應力，同時起到防塵、防潮和減振的作用［17］；工程中采用梁端阻尼器結合塔端套管口橡膠填充器的方式，如中國香港的昂船洲大橋。米田昌弘等［18］提出了一種將拉索-雙阻尼器系統(tǒng)等效成索-單阻尼器系統(tǒng)的分析方法，得到了考慮內側減振器對外側阻尼器影響的拉索模態(tài)阻尼。Takano等［17］以日本的Tsurumi Tsubasa橋為例，將安裝在拉索鋼套管口處的橡膠填充物簡化成彈簧模型，理論分析了內置阻尼器安裝對外置阻尼器的影響，并通過實橋拉索試驗驗證了外置阻尼器和橡膠填充物并用措施對拉索振動控制的有效性。Main等［19］建立了拉索（張緊弦）-內置環(huán)形橡膠（線性彈簧）-外置黏性阻尼器（黏滯阻尼器）系統(tǒng)模型，并得到了拉索系統(tǒng)模態(tài)阻尼的近似解析解。Zhou等［20］建立了拉索-阻尼器（黏滯阻尼器）-彈簧系統(tǒng)模型，分析了近錨固端安裝彈簧對阻尼器減振性能的影響。Caracoglia等［21］建立了拉索-雙阻尼器（黏滯阻尼器）系統(tǒng)模型，分析了雙阻尼器的組合減振效果。Hoang等［22］也開展了類似的研究，同時對拉索異端安裝黏滯阻尼器和高阻尼橡膠阻尼器的情況進行了分析。近年來，國內外學者進一步考慮了拉索安裝其他類型阻尼器組合［23-26］。

綜上所述，在建模分析中采用了因簡化而不夠精確的數學模型，并且僅關注2種阻尼器對索某特定階（通常為索易發(fā)生風雨振動的低階模態(tài)）的共同阻尼效果，未考慮雙阻尼器對索多階模態(tài)的綜合阻尼效果。采用精細化建模分析技術，研究索端2個位置安裝阻尼器系統(tǒng)的動力特性。首先，考慮索的垂度建立索-黏彈性阻尼器-高阻尼橡膠（HDR）阻尼器系統(tǒng)的復頻率方程；然后，建立系統(tǒng)復頻率求解的數值方法，并推導低階模態(tài)頻率和阻尼的顯式表達式；最后，將提出的方法應用于一根實際拉索和雙阻尼器系統(tǒng)的設計，實橋安裝了阻尼器，結合監(jiān)測、阻尼測試和理論分析討論拉索-雙阻尼器系統(tǒng)的阻尼特性和高階渦振減振效果。

1 斜拉索-雙阻尼器系統(tǒng)的復頻率特征方程

現(xiàn)有針對拉索-雙阻尼系統(tǒng)的研究如表1所示。在現(xiàn)有研究的基礎上建立通用的系統(tǒng)精細化分析模型。首先推導拉索-雙阻尼器系統(tǒng)的動力方程，然后采用復模態(tài)分析方法得到復頻率方程，最后提出復頻率方程數值求解方法。

表1 拉索雙阻尼器系統(tǒng)研究文獻總結Tab.1 Summary of existing studies on the cable attached with two dampers

1.1 動力方程

一個阻尼器為黏彈性阻尼器（Kelvin-Voigt模型），用于模擬工程中常用的黏滯液體阻尼器和黏性剪切阻尼器等，通常在近索梁端錨固點采用支架安裝，記作阻尼器Ⅰ；另外一個阻尼器為高阻尼橡膠阻尼器，一般安裝在拉索套管口，記作阻尼器Ⅱ?？紤]拉索的垂度效應，拉索兩端為鉸接約束，拉索雙阻尼器系統(tǒng)理論模型如圖1所示。拉索弦長為L，水平張力為T，單位長度質量為m，彈性模量為E，截面面積為A。kⅠ為阻尼器Ⅰ剛度，cⅠ為阻尼器Ⅰ阻尼參數；kⅡ為阻尼器Ⅱ剛度，φ為阻尼器Ⅱ損耗因子。對于長索，其抗彎剛度和自身阻尼可以忽略不計［27］。定義如圖1所示的坐標系描述拉索的靜態(tài)線形和動位移。以拉索弦線為x軸，y(x)和v(x，t)分別表示拉索在自身重力作用下的靜力位移和相對于索靜止位置的動位移。

圖1 斜拉索-雙阻尼器系統(tǒng)模型Fig.1 Cable-two dampers system model

對于斜拉索，其靜止狀態(tài)形狀可以假定為拋物線函數［28］，表達式如下所示：

式中：d為拉索跨中的垂度。

拉索被2個阻尼器分為3個索節(jié)段。為了推導方便，連接點用Pj編號，j=0，1，2，3。P0和P3分別表示拉索的左、右錨固點，2個阻尼器分別安裝在P1和P2連接點。l p為第p個拉索單元的長度（Pj-1和Pj點間的水平距離）。定義各單元的局部坐標系，vp(x p，t)為第p個拉索單元在t時刻的豎向動位移，水平x p軸由Pj-1沿著索弦線指向Pj。拉索振動產生一個隨時間變化的附加水平張力τ(t)。各拉索單元面內自由振動時的運動方程為

方程（2）的解通常具有以下形式：

式中：ω為復頻率；v~p為振型函數；τ~為拉索附加水平張力幅值。將方程（3）代入方程（2），可以得到

式中：β為復波數

振動中拉索在附加水平張力作用下發(fā)生彈性變形，滿足如下的關系：

式中：λ2為Irvine參數［28］；θ為斜拉索的傾角。根據拉索附加阻尼器位置處的內力平衡，可以得到

將式（7）和式（8）寫成矩陣形式，如下所示：

拉索-高阻尼橡膠阻尼器-黏彈性阻尼器系統(tǒng)的復頻率特征方程由式（9）系數矩陣S的行列式等于0確定。

1.2 頻率方程

定義量綱一參數，如下所示：

式中：βn為拉索第n階模態(tài)復波數；為拉索第n階模態(tài)的量綱一頻率分別為阻尼器Ⅰ的量綱一剛度和阻尼；為阻尼器Ⅱ的量綱一剛度；和為對應的索段長度，滿足的關系。頻率方程可以寫成

上述關于索復頻率的超越方程可以采用常用的數值方法如牛頓法求解，將無阻尼器安裝時的解-ωn0

式中：Im()表示求復數的虛部；|| 表示取復數的模。

為方便分析雙阻尼器異端安裝與同端安裝2種情況，將阻尼器Ⅰ與相近拉索錨固點之間的距離統(tǒng)一定義為lⅠ，將阻尼器Ⅱ與相近拉索錨固點之間的距離記為lⅡ，如圖2所示。對于雙阻尼器異端安裝的情況（見圖2a），lⅠ=l1，lⅡ=l3。對于雙阻尼器同端安裝的情況（見圖2b），lⅠ=l2+l3，lⅡ=l3。2個阻尼器之間的距離記作。當2個阻尼器異端安裝時，；當2個阻尼器同端安裝時，

圖2 斜拉索-雙阻尼器系統(tǒng)布置方案Fig.2 Layout scheme of cable-two dampers system

1.3 數值求解方法

1.3.1 異端安裝

為了方便求解，文獻［13］中對式（10）進行變換，可以得到如下不動點迭代求解表達式：

1.3.2 同端安裝

對于拉索同端安裝雙阻尼器的情況，即高阻尼橡膠阻尼器在內側，黏彈性阻尼器在外側，式（10）寫成相應的不動點迭代求解表達式［13］，如下所示：

2 斜拉索-雙阻尼器系統(tǒng)模態(tài)阻尼近似公式

基于系統(tǒng)的頻率方程，考慮2個阻尼器安裝位置均靠近索錨固點，進而推導系統(tǒng)阻尼計算的顯式表達式，詳細的推導過程可參考文獻［13］。

2.1 阻尼器異端安裝

如圖2a所示，2個阻尼器分別安裝在索兩端時，距離錨固點較遠的阻尼器Ⅰ選用黏滯阻尼器或者黏彈性阻尼器。理想狀態(tài)下，黏彈性阻尼器兩端之間的力與其相對位移成線性關系。kⅠ和cⅠ具有頻率和變形幅值依存性［7］，實際設計中優(yōu)先地采用試驗方法確定阻尼器在設計頻段內的剛度和阻尼特性。2個阻尼器分別安裝在索兩端時，現(xiàn)有研究表明其共同阻尼效果可近似為兩者單獨安裝時阻尼效果的線性疊加。將2個阻尼器單獨安裝時索的第n階附加阻尼分別記作ξⅠ,n和ξⅡ,n。采用文獻[29]中的近似方法，阻尼器Ⅰ提供的阻尼按下式近似計算：

高阻尼橡膠阻尼器主要針對索的高階振動，索垂度主要影響索的一階附加阻尼。2個阻尼器異端安裝，組合阻尼效果為各阻尼器貢獻的疊加，計算式如下所示：

2.2 阻尼器同端安裝

阻尼器Ⅰ和Ⅱ同端安裝時（見圖2b），一般均安裝在索梁端錨固點附近。2個阻尼器對索偶數階振動的綜合阻尼效果按下式計算：

可見，阻尼器同端安裝時，兩者的減振效果存在互相影響，不再是各自效果的簡單疊加。

3 斜拉索-雙阻尼器系統(tǒng)減振試驗研究

對于某大跨斜拉橋的拉索，L=546.9 m，m =91.3 kg.m-1，T =6 240.5 kN，拉索垂度參數λ2=1.9。根據垂度求解頻率方程，得到。索的振動頻率

索在梁端附近安裝了阻尼器Ⅰ，安裝位置lⅠ=12.08 m，采用的是黏彈性阻尼器。幅值為10 mm、頻率分別為0.24、0.48、1.20、1.92、3.12 Hz的周期性強迫位移下，阻尼器的剛度系數和阻尼系數及對應的量綱一阻尼系數如表2所示，測試頻率分別對應索振動的第1、2、5、8和13階模態(tài)。阻尼器Ⅰ的量綱一安裝位置-lⅠ=0.022。阻尼器Ⅱ采用高阻尼橡膠阻尼器，安裝在阻尼器Ⅰ同端的索套管內，安裝位置lⅡ=4.592m，損耗因子φ=0.32，剛度kⅡ=1 439.62 kN·m-1。對應的量綱一安裝位置和剛度系數分別為

表2 阻尼器Ⅰ的實測剛度系數和阻尼系數Tab.2 Measured stiffness coefficient and damping coefficient of damperⅠ

采用上述參數計算得到的僅安裝阻尼器Ⅰ和安裝雙阻尼器的阻尼效果如表3所示。安裝阻尼器Ⅱ后，阻尼器Ⅰ的低階減振效果有所降低，前幾階阻尼降低更為明顯。為了滿足抑制風雨振的要求，需要索的阻尼滿足Scruton數（Sc）大于10的要求［30］。Sc按下式計算：

式中：δ為索振動的對數衰減率；ρ為空氣密度，ρ=1.225 kg·m-3。滿足Sc＞10時δ=0.019。由表3可知，阻尼器Ⅱ安裝前后，索低階模態(tài)阻尼均滿足要求［30］。

表3 僅安裝阻尼器Ⅰ和安裝雙阻尼器時索低階模態(tài)的阻尼比（3 Hz以內）Tab.3 Damping ratios of the cable with damperⅠand with two dampers in low-order modes（within 3 Hz）

對于高階渦振，關注阻尼器Ⅰ位于振動駐點附近而失效的模態(tài)，對應的模態(tài)階數

式中：int()表示取整數。因此，索第43階到47階模態(tài)振動對應頻率在10～12 Hz附近。不考慮阻尼器Ⅰ的作用，拉索的模態(tài)阻尼比如表4所示。高阻尼橡膠阻尼器的安裝位置離索端點很近，而且高阻尼橡膠阻尼器的耗能效果低于黏滯阻尼器，因此索的附加阻尼值較小。從表2可見，隨著振動頻率的提高，黏彈性阻尼器的剛度系數變大、阻尼系數變小，兩者與頻率近似成指數函數關系［31］。因此，振動頻率在10 Hz附近時，根據表2的數據采用指數函數進行外插值，近似得到

表4 拉索高階模態(tài)的阻尼效果Tab.4 Damping effect of the cable in high-order modes

考慮阻尼器Ⅰ的剛度效應，采用式（14）和式（15）理論分析同時安裝2個阻尼器后索高階振動模態(tài)的阻尼，如表4所示?？梢?，考慮黏彈性阻尼器Ⅰ的作用時，阻尼器Ⅱ對高階的阻尼效果有較大提升。原因在于，阻尼器Ⅰ的剛度效應改變了索第45階附近模態(tài)的振型，模態(tài)振型駐點被限制在阻尼器Ⅰ的位置處，阻尼器Ⅱ位置的相對振幅有所提高進而耗能效果得到提升，即表現(xiàn)為索阻尼比的提升。由表4可知，索第43到47階模態(tài)的對數衰減率達到0.011 1以上，滿足抑制索渦振對數衰減率需大于0.010～0.015的要求［32］。

上述理論分析表明，采用雙阻尼器方案能滿足索的低階風雨振和高階渦振控制要求。在實際拉索上安裝2種阻尼器，如圖3所示。僅安裝阻尼器Ⅰ和安裝雙阻尼器后，對低階振動的阻尼采用自由衰減方法進行試驗測量。根據目標索模態(tài)振動頻率對拉索進行單階振動激勵，當拉索振幅達到一定值后讓其自由衰減，通過安裝在拉索上的加速度傳感器記錄索振動時程數據。由衰減時段的加速度時程數據計算拉索對應工況下的模態(tài)阻尼。具體試驗方法參考相關文獻［7，33］，結果如圖4所示。理論結果由式（14）和式（15）數值求解得到。為了與實測結果進行對比，理論結果中疊加了不安裝任何阻尼器時對應模態(tài)的阻尼比［7］。由圖4可見，試驗結果與理論結果基本吻合。阻尼器Ⅱ導致阻尼效果有一定程度的降低，但降低后仍滿足要求。對于拉索的高階渦振，振動頻率較高，難以采用自由衰減方式獲得索渦振階模態(tài)的阻尼。為此，對安裝了2種阻尼器的索的振動進行監(jiān)測，并與一根長度相同但未安裝阻尼器Ⅱ的索進行對比。分別在2根拉索距離橋面約10 m的位置處安裝加速度傳感器，并進行長期振動監(jiān)測。僅安裝阻尼器Ⅰ的索出現(xiàn)了明顯的渦振，而采用雙阻尼器減振的拉索沒有出現(xiàn)明顯的渦振，如圖5所示。這表明，安裝高阻尼橡膠阻尼器后索第45階振動的模態(tài)阻尼比有明顯提升，這與理論分析結果相一致（見表4）。

圖3 安裝雙阻尼器的拉索Fig.3 Cable with two dampers

圖4 阻尼比的試驗結果與理論結果對比Fig.4 Comparison of damping ratio between measurment and theoretical analysis

圖5 僅安裝阻尼器Ⅰ和安裝雙阻尼器的拉索日最大振動加速度Fig.5 Daily maximum vibration acceleration of the cables with damperⅠand with two dampers repectively

4 結語

（1）對一根小垂度拉索，在近錨固點2個位置分別安裝工程中常見的黏彈性阻尼器和高阻尼橡膠阻尼器，建立了垂索-雙阻尼器系統(tǒng)精細化分析模型?？紤]阻尼器異端安裝和同端安裝的2種實際情況，推導了索模態(tài)阻尼比數值計算的迭代式和近似顯式表達式。

（2）通過對實橋拉索-雙阻尼器系統(tǒng)的實索測試和長期監(jiān)測，驗證了所提出分析方法的精確性。

監(jiān)測結果表明，高阻尼橡膠阻尼器的安裝可以有效抑制拉索在僅安裝阻尼器Ⅰ時出現(xiàn)的高階渦振。在安裝高阻尼橡膠阻尼器后實測阻尼器Ⅰ的前幾階模態(tài)有一定降低，與理論分析吻合。同時，理論分析發(fā)現(xiàn)，阻尼器Ⅰ的剛度效果對阻尼器Ⅱ的高階阻尼有提升作用。

作者貢獻說明：

孫利民：提出研究內容，指導實橋試驗和監(jiān)測方案，修改論文。

狄方殿：完成理論推導、編程計算，參與試驗，撰寫論文初稿。

陳 林：指導理論模型的建立，主持現(xiàn)場試驗，完成數據處理，論文定稿。

許映梅：協(xié)助實橋試驗和監(jiān)測，修改論文。