王紅娟

(內(nèi)江師范學(xué)院，四川 內(nèi)江 641100)

1 引言

決策方法是經(jīng)過專家對方案的屬性進(jìn)行評價然后通過聚合算子聚合決策信息最終從有限個方案里選出最優(yōu)方案的過程，近年來受到越來越多的關(guān)注[1～3]。企業(yè)可以通過決策方法從幾家供應(yīng)商中選最好的一家。因?yàn)闆Q策問題的模糊性，專家難以通過一個精確的數(shù)來刻畫決策問題的不確定性。因此，模糊集是一個很好的選擇，直覺模糊集被提出[4]。Atanassov等[5]介紹了區(qū)間直覺模糊集，通過隸屬度和非隸屬度來描述滿意度和不滿意度，它比直覺模糊集能夠更好地刻畫決策問題的模糊性，因?yàn)閷＜覍傩栽u價的滿意度和不滿意度是用區(qū)間來表示。因此區(qū)間直覺模糊集受到許多學(xué)者的關(guān)注[6，7]。

在實(shí)際決策問題中，等級值可以用其他種類的變量，比如語言變量。語言表達(dá)要更符合專家的評價考慮并且更容易提供比直覺模糊集，比如專家要評價某種用品的質(zhì)量，可以直接給出一些語言術(shù)語，如“好”“中等”“差”來表示評估值。Zadeh[8～10]提出了語言變量的定義并且提出了決策方法基于語言變量。Chen等[11]將直覺模糊集推廣到了語言直覺模糊集，它的隸屬度和非隸屬度都是語言變量。 為了進(jìn)一步提高語言直覺模糊集的描述性，Garg等[12]介紹了語言區(qū)間直覺模糊集，隸屬度和非隸屬度用語言變量的區(qū)間來表示。許多學(xué)者提出了關(guān)于語言區(qū)間直覺模糊集的算子，Qin等[13]介紹了語言區(qū)間直覺模糊Archimedean power Muirhead均值(LIVIFAPMM)和語言區(qū)間直覺模糊Archimedean 加權(quán)power Muirhead均值(LIVIFAWPMM)。為了更好地描述決策問題中的不確定性，Xu[14]介紹了不確定語言變量的定義。此后，在不確定語言環(huán)境之下多屬性決策方法受到了廣泛關(guān)注并且得到了不同的語言集，如畢達(dá)哥拉斯不確定集[15]，區(qū)間畢達(dá)哥拉斯不確定集[16]。

聚合算子對決策方法是一種非常有用和重要的工具。Choquet積分在決策問題中是聚合決策信息非常有用的工具，可以考慮決策問題中屬性的重要性和屬性間的關(guān)聯(lián)通過模糊測度。因此，Choquet積分在模糊環(huán)境中應(yīng)用非常廣泛[17，18]。

根據(jù)語言區(qū)直覺模糊，為了能夠更好地刻畫決策問題的不確定性和模糊性，屬性的重要性和相互關(guān)聯(lián)，本文提出不確定語言區(qū)間直覺模糊Choquet積分平均(ULIVIFCA)算子和不確定語言區(qū)間直覺模糊Choquet積分幾何(ULIVIFCG)算子。

本文主要由以下幾部分構(gòu)成： 首先給出基本概念，如區(qū)間直覺模糊集、不確定變量、模糊測度和Choquet積分等的概念； 然后給出不確定區(qū)間直覺模糊集的定義和比較不確定區(qū)間直覺模糊數(shù)大小的方法；其次給出ULIVIFCA和ULIVIFCG，且分別介紹這兩個算子的性質(zhì)；再次介紹了一個多屬性群決策方法基于ULIVIFCA和ULIVIFCG在不確定區(qū)間直覺模糊的環(huán)境中，并且運(yùn)用介紹的方法在實(shí)例中，最終選出一個最優(yōu)的方案且說明介紹的方法的實(shí)用性。

2 基礎(chǔ)知識

2.1 區(qū)間直覺模糊集和不確定變量

定義1[6]假設(shè)Χ是一個給定的集合，則區(qū)間直覺模糊集定義為：

y={〈x,[ζL(x),ζU(x)],[?L(x),?U(x)]〉|x∈Χ}

其中[ζL(x),ζU(x)]?[0,1],[?L(x),?U(x)]?[0,1]滿足0≤ζU(x)+?U(x)≤1。

假設(shè)S={st|t=0，…,l}是一個基數(shù)為基數(shù)的語言項(xiàng)集，其中st表示語言變量的可能值。例如下面集合:

S={s0=很差，s1=比較差，s2=中等，s3=比較好，s4=很好}。

語言集滿足下面的特征：

(1)sk≥st當(dāng)且僅當(dāng)k≥t；

(2)否定算子：neg(sk)=st使得t=1-k;

(3)最大算子：max(sk,st)=sk，如果sk≥st;

(4)最小算子：min(sk,st)=sk，如果sk≤st。

2.2 模糊測度和Choquet積分

Sugeno[20]介紹了模糊測度，Choquet積分可以來表示決策屬性的重要性通過模糊測度。下面將介紹模糊測度和Choquet積分。

定義3[20]如果Χ是一個給定集合，P(Χ)是Χ的冪集， 函數(shù)χ:P(Χ)→[0,1]叫做Χ上的模糊測度，滿足兩個條件：

(1)χ(Φ)=0,χ(Χ)=1;

(2)滿足ε,F∈P(Χ)和ε?F,則χ(ε)≤χ(F)。

Sugeno[20]定義了κ模糊測度， 因?yàn)橛蒙厦娑x難以計算模糊測度。

χ(ε∪F)=χ(ε)+χ(F)+κχ(ε)χ(F),

其中ε∩F=Φ參數(shù)κ∈[-1,+∞]表示元素之間的關(guān)聯(lián)。

如果Χ是有限的，則κ-模糊測度滿足：

此外，對于任意ε∈P(Χ),有

設(shè)Χ是一個有限集合，元素xt(1≤t≤m)滿足0<χ(xt)<1,則存在唯一的κ∈(-1,∞),κ≠0滿足(3)[21]。

定義4[22]設(shè)Χ是一個給定集合,函數(shù)y:Χ→R+，χ是Χ上的模糊測度，Choquet積分為：

其中(1),…,(n)為(1,…,n)的一個排列滿足y(x(n))≥…≥y(x(1)),

Ψ(t)={x(t),x(t+1),…,x(n)},并且Ψ(n+1)=Φ。

3 不確定語言區(qū)間直接模糊集

下面將給出不確定語言區(qū)間直接模糊集的概念。

定義5 假設(shè)Χ是一個給定的集合，Χ上的不確定語言區(qū)間直覺模糊集X表示為：

X={〈x,[sζL(x),SζU(x)],[s?L(x),S?U(x)]〉x∈Χ},

下面介紹不確定語言區(qū)間直覺模糊數(shù)的運(yùn)算，?=([se,sf],[sg,sh]),

?1=([se1,sf1],[sg1,sh1]),

?2=([se2,sf2],[sg2,sh2]),：

t>0,

t>0,

設(shè)?1=([se1,sf1],[sg1,sh1])，

?2=([se2,sf2],[sg2,sh2])則

4 不確定語言區(qū)間直覺模糊Choquet積分

下面介紹不確定語言區(qū)間直覺模糊Choquet積分平均(ULIVIFCA)和不確定語言區(qū)間直覺模糊Choquet積分幾何(ULIVIFCG)。

定義6 設(shè)?t=([set,sft],[sgt,sht])(t=1,…,m)， 如果

ULIVIFCA(?1,…,?m)=

則稱ULIVIFCA為不確定語言區(qū)間直覺模糊Choquet積分平均算子。

例1 設(shè)?1=([s3,s4],[s2,s3])，?2=([s4,s5],[s3,s3])和?1=([s3,s5],[s2,s2]),

下面是ULIVIFCA的幾個性質(zhì)：

(1)冪等性:對于任意的t，如果?t=?，則ULIVIFCA(?1,…,?m)=?。

(2)有界性:設(shè)?t=([set,sft],[sgt,sht])(t=1,…,m)，則min{?1,…,?m}≤ULIVIFCA(?1,…,?m)≤max{?1,…,?m}。

定義7 設(shè)?t=([set,sft],[sgt,sht])(t=1,…,m)， 如果

ULIVIFCA(?1,…,?m)=

則稱ULIVIFCG為不確定語言區(qū)間直覺模糊Choquet積分幾何算子。

例2 設(shè)?1=([s3,s4],[s2,s3])，?2=([s4,s5],[s3,s3])和?1=([s3,s5],[s2,s2]),

下面是ULIVIFCG的幾個性質(zhì)：

(1)冪等性: 對于任意的t，如果?t=?，則ULIVIFCA(?1,…,?m)=?。

(2)有界性:設(shè)?t=([set,sft],[sgt,sht])(t=1,…,m)，則min{?1,…,?m}≤ULIVIFCA(?1,…,?m)≤max{?1,…,?m}。

5 決策方法

群決策方法是從幾種方案里選最優(yōu)方案，下面介紹一種新的多屬性群決策方法。首先介紹多屬性群決策方法的模型。

步驟2：分別建立專家和屬性集的模糊測度；

步驟3：對矩陣?yán)锏牟淮_定語言區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行排序；

步驟5：對矩陣Λ=(?qt)a×m里的不確定語言區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行排序；

步驟6：分別用ULIVIFCA和ULIVIFCG對Λ=(?qt)a×m進(jìn)行聚合，得到?q=(q=1,…,a)；

步驟7：計算得分值和精確值, 選出最優(yōu)方案。

例：某企業(yè)為了更高效地生產(chǎn)產(chǎn)品，根據(jù)專家的評價要從Α1,Α2,Α3這3家供應(yīng)商里選一家來提供原材料，三位專家Β1,Β2,Β3對這3家供應(yīng)商的原材料成本(С1)、原材料質(zhì)量(С2)和風(fēng)險因素(С3)用不確定語言區(qū)間直覺模糊數(shù)?=([se,sf],[sg,sh])進(jìn)行評價[se,sf],[sg,sh]?[s0,s8]，專家對三家供應(yīng)商的評價結(jié)果，如表1。

表1 矩陣

步驟1：分別建立專家和屬性集的模糊測度；

令χ({Β1})=0.4,χ({Β2})=0.35,χ({Β3})

=0.35,則

Χ({Β1,Β2})=0.71,Χ({Β1,Β3})=0.71,Χ({Β2,Β3})=0.67,Χ({Β1,Β2,Β3})=1;

令χ({С1})=0.3,χ({С2})=0.3,χ({С3})

=0.35,則

χ({С1,С2})=0.61,χ({С1,С3})=0.67,

χ({С2,С3})=0.67,χ({С1,С2,С3})=1。

步驟2：對矩陣?yán)锏牟淮_定語言區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行排序；

步驟3： 分別用ULIVIFCA和ULIVIFCG對排序后的不確定語言區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行聚合，得到矩陣Λ=(?qt)a×m，表2、3；

步驟4：對矩陣Λ=(?qt)a×m里的不確定語言區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行排序；

步驟5：分別用ULIVIFCA和ULIVIFCG對排序后的不確定語言區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行聚合，得到?q(q=1,…,3)；

?1=([s3.446,s4.267],[s1.404,s2.337]),

?2=([s3.111,s4.638],[s1.255,s2.475]),

?3=([s3.377,s4.779],[s1.807,s2.610]);

?1=([s3.280,s4.171],[s1.482,s2.459]),

?2=([s2.876,s4.523],[s1.312,s2.542]),

?3=([s3.072,s4.657],[s2.035,s2.774])。

表2 矩陣(ULIVIFCA)

表3 矩陣(ULIVIFCA)

對上面結(jié)果分別計算得分值：

S(?1)=1.987,S(?2)=2.010,S(?3)=1.869;

S(?1)=1.755;S(?2)=1.773,S(?3)=1.460。

分別用ULIVIFCA和ULIVIFCG算子得到3家供應(yīng)商的排序都是Α3<Α1<Α2，可見Α2是最優(yōu)的一種方案，該企業(yè)可以和供應(yīng)商Α2合作提供原材料。在多屬性決策問題中，屬性之間存在關(guān)聯(lián)，通過集成Choquet積分和不確定語言區(qū)間直覺模糊數(shù)，介紹的方法可以考慮屬性之間的關(guān)聯(lián)屬性的重要性通過模糊測度，并且不確定語言區(qū)間直覺模糊數(shù)能夠很好地描述決策中的不確定性。

6 結(jié)語

本文首先介紹了不確定語言區(qū)間直覺模糊數(shù)，根據(jù)不確定語言區(qū)間直覺模糊數(shù)和Choquet積分介紹了不確定語言區(qū)間直覺模糊Choquet積分平均和不確定語言區(qū)間直覺模糊Choquet積分幾何，不確定語言區(qū)間直覺模糊集比語言集能更好的描述決策問題中的不確定性和模糊性，Choquet積分能夠刻畫屬性間的關(guān)聯(lián)和屬性的重要性通過模糊測度。并且介紹了比較不確定語言區(qū)間直覺模糊數(shù)大小的方法，還介紹了ULIVIFCA和ULIVIFCG各自的冪等性和有界性。最后介紹了多屬性群決策方法并且應(yīng)用到供應(yīng)商的選擇中，最終選出最優(yōu)的一家供應(yīng)商， 此實(shí)例也說明所介紹的多屬性群決策方法的實(shí)用性。接下來的工作可以將不確定語言區(qū)間直覺模糊數(shù)和其他算子結(jié)合，語言變量要更容易提高評價值。