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        一道2020年高考數(shù)列題的十種證法探究

        2021-08-05 09:51:52武增明
        數(shù)理化解題研究 2021年10期
        關(guān)鍵詞:證法考題通項(xiàng)

        武增明

        (云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

        試題設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n.

        (1)計(jì)算a2,a3,猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明;

        (2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn.

        這是2020年高考全國Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)第17題.

        這道考題的第(1)問是以數(shù)列遞推式為背景,求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題,此問題符號(hào)優(yōu)美,題面簡潔,構(gòu)思巧妙,立意新穎,讓人賞心悅目,耐人尋味,回味無窮,涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富,邏輯推理性很強(qiáng),具有很大的探究價(jià)值,具有很高的訓(xùn)練價(jià)值,具有很強(qiáng)的代表性,是一道訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的好題,很值得深入探究.于是,引起筆者極大的探究興趣與熱情.下面給出此題第(1)問的十種證法,旨在供同仁在教學(xué)過程中作參考,旨在對(duì)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這類問題時(shí)有所幫助和啟示.

        證法1 (試驗(yàn)法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

        若an=2n+1,則an+1=2(n+1)+1=2n+3,

        又3an-4n=3(2n+1)-4n=6n+3-4n=2n+3,

        此時(shí)an+1=3an-4n成立,所以an=2n+1.

        證法2 (數(shù)學(xué)歸納法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

        (1)當(dāng)n=1時(shí),由an=2n+1知,a1=3,符合題意,故當(dāng)n=1時(shí),an=2n+1成立.

        (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),an=2n+1成立,即ak=2k+1成立.

        則n=k+1時(shí),因?yàn)閍k+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2(k+1)+1,

        所以當(dāng)n=k+1時(shí),an=2n+1成立.

        由(1),(2)可知,對(duì)于任意正整數(shù)n,an=2n+1成立.

        證法3(正向思維迭代遞推法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

        因?yàn)閍n+1=3an-4n,

        所以a2-5=3(a1-3),

        a3-7=3(a2-5),

        a4-9=3(a3-7),

        ……

        an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)].

        因?yàn)閍1-3=0,

        所以an-(2n+1)=0,即an=2n+1.

        證法4(逆向思維迭代遞推法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

        由已知可得an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)],

        an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)],

        ……

        a2-5=3(a1-3).

        因?yàn)閍1=3,即a1-3=0,

        所以an-(2n+1)=0,即an=2n+1.

        證法5(逆向思維迭代遞推法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

        因?yàn)閍n+1=3an-4n,①

        所以an=3an-1-4(n-1),②

        ①-②,得an+1-an=3an-3an-1-4,

        所以an+1-an-2=3(an-an-1-2),

        所以an-an-1-2=3(an-1-an-2-2),

        ……

        a4-a3-2=3(a3-a2-2),

        a3-a2-2=3(a2-a1-2).

        因?yàn)閍2-a1-2=0,所以an+1-an-2=0.

        于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=3,公差d=2的等差數(shù)列,故an=a1+(n-1)d,從而an=3+(n-1)·2,即an=2n+1.

        證法6(逆向思維迭代遞推法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

        因?yàn)閍n+1=3an-4n

        所以an=3an-1-4(n-1)

        ①-②,得an+1-an=3an-3an-1-4,

        所以an+1-an-2=3(an-an-1-2),

        所以an+1-an-2=3(an-an-1-2)=32(an-1-an-2-2)=33(an-2-an-3-2)=…=3n-1(a3-a2-2)=3n(a2-a1-2).

        因?yàn)閍2-a1-2=0,所以an+1-an-2=0.

        于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=3,公差d=2的等差數(shù)列,故an=a1+(n-1)d,從而an=3+(n-1)·2,即an=2n+1.

        證法7 (逆向思維迭代遞推法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

        令bn=an-(2n+1),因?yàn)閍n+1=3an-4n,所以bn+1=3bn,從而bn+1=3bn=32bn-1=33bn-2=…=3n-1b2=3nb1.

        所以b1=0,故bn=0,即an-(2n+1)=0,于是an=2n+1.

        證法8(逆向思維待定系數(shù)法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

        設(shè)an+1+k(n+1)+b=3an+(k-4)n+k+b,則

        從而an+1-2(n+1)-1=3(an-2n-1),

        所以an-2[(n-1)+1]-1=3[an-1-2(n-1)-1]

        ……

        a4-2(3+1)-1=3(a3-2×3-1),

        a3-2(2+1)-1=3(a2-2×2-1),

        a2-2(1+1)-1=3(a1-2×1-1),

        因?yàn)閍1-2×1-1=0,所以an-2n-1=0,即an=2n+1.

        證法9 (待定系數(shù)法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

        將an+1=3an-4n兩邊同除3n+1,得

        證法10 (迭加法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:

        將an+1=3an-4n兩邊同除3n+1,得

        ①-②,得

        ……

        從而an=2n+1.

        作為學(xué)生領(lǐng)路人的教師,一些前因后果需要我們教者從其背后去思考、挖掘,只有潛心研究高考試題,從中探究出更多潛在價(jià)值,才能在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中高屋建瓴、有的放矢,才能確保對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)方法得當(dāng)、條理清楚、思路流暢.潛心研究高考試題,在尋求解法的同時(shí),要領(lǐng)略考題的本質(zhì),挖掘其深刻的內(nèi)涵,才能充分發(fā)揮考題的功能和作用.

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